Рабочая программа. Наименование дисциплины Экономико-математические методы и модели в таможенной статистике (стр. 10 )

Значение = 0,8144 свидетельствует о том, что вариация зависимой переменной (балансовой прибыли) по-прежнему в основном (на 81,44%) можно объяснить вариацией включенных в модель объясняющих переменных – Х2, и Х4. Это свидетельствует об адекватности модели.

Значение поправленного коэффициента детерминации (0,7967) возросло по сравнению с первой моделью, в которую были включены все объясняющие переменные (0,7794).

Стандартная ошибка регрессии во втором случае меньше, чем в первом
(5515 < 5745).

Расчетное значение F-критерия Фишера составляет 46,08. Значимость F = 2,08847E-08, что меньше 0,05. Таким образом, полученное уравнение в целом значимо.

Далее оценим значимость отдельных параметров построенной модели. Из таблицы 3 видно, что теперь на уровне значимости все включенные в модель факторы являются значимыми: Р-значение < 0,05.

Границы доверительного интервала для коэффициентов регрессии не содержат противоречивых результатов:

-  с надежностью 0,95 (c вероятностью 95%) коэффициент b1 лежит в интервале 0,64 ≤ b1 ≤ 1,19;

-  с надежностью 0,95 (c вероятностью 95%) коэффициент b2 лежит в интервале 0,01 ≤ b2 ≤ 0,12

Таким образом, модель балансовой прибыли предприятия торговли запишется в следующем виде:

Рассмотрим теперь экономическую интерпретацию параметров модели.

Коэффициент b1 = 0,916, означает, что при увеличении только фонда оплаты труда (Х2) на 1 тыс. руб. балансовая прибыль в среднем возрастает на 0,916 тыс. руб., а то, что коэффициент b2 = 0,065, означает, что увеличение только объема продаж по безналичному расчету (Х4) на 1 тыс. руб. приводит в среднем к увеличению балансовой прибыли на 0,065 тыс. руб. Как было отмечено выше, анализ P-значений показывает, что оба коэффициента значимы.¨

При эконометрическом моделировании реальных экономических процессов предпосылки КЛММР нередко оказываются нарушенными: дисперсии остатков модели не одинаковы (гетероскедастичность остатков), или наблюдается корреляция между остатками в разные моменты времени (автокоррелированные остатки). Тогда предпосылка 3 запишется следующим образом:

3. М(εεТ)=Ω, где Ω – положительно определенная матрица.

Принимая, что дисперсии объясняющих переменных могут быть произвольными, мы получаем обобщенную линейную модель множественной регрессии (ОЛММР).

В этом случае оценка параметров модели методом наименьших квадратов даст неэффективную оценку, поэтому следует применять обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК).

Теорема Айткена. В классе линейных несмещенных оценок вектора β для обобщенной регрессионной модели оценка b* =(XТΩ-1X)-1XТΩ-1Y имеет наименьшую ковариационную матрицу.

Если модель гетероскедастична, то матрица Ω – диагональная. Тогда имеем:

b* =(XТΩX)-1XТΩY.

В этом случае обобщенный метод наименьших квадратов называется взвешенным методом наименьших квадратов, поскольку мы «взвешиваем» каждое наблюдение с помощью коэффициента 1/σi.

На практике, однако, значения σi почти никогда не бывают известны. Поэтому сначала находят оценку вектора параметров обычным методом наименьших квадратов. Затем находят регрессию квадратов остатков на квадратичные функции объясняющих переменных, т. е. уравнение

е2i =f(xi) + ui, i = 1, …, n,

где f(xi) – квадратичная функция.

Далее по полученному уравнению рассчитывают теоретические значения и определяют набор весов . Затем вводят новые переменные Y*i = Y/σi, X*ji = Xji/σi, (j = 1,…,m; i = 1,…, n) и находят уравнение . Полученная оценка и есть оценка взвешенного метода наименьших квадратов.

Проверить модель на гетероскедастичность можно с помощью следующих тестов: ранговой корреляции Спирмена; Голдфельда-Квандта; Уайта; Глейзера.

Рассмотрим тест на гетероскедастичность, применяемый в случае, если ошибки регрессии можно считать нормально распределенными случайными величинами, – тест Голдфельда-Квандта.

Все n наблюдений упорядочиваются в порядке возрастания значений фактора X. Затем выбираются m первых и m последних наблюдений.

Гипотеза о гомоскедастичности равносильна тому, что значения остатков e1,…,em и en-m+1,…,en представляют собой выборочные наблюдения нормально распределенных случайных величин, имеющих одинаковые дисперсии.

Гипотеза о равенстве дисперсий двух нормально распределенных совокупностей проверяется с помощью F-критерия Фишера.

Расчетное значение вычисляется по формуле (в числителе всегда бо́льшая сумма квадратов):

.

Гипотеза о равенстве дисперсий двух наборов по m наблюдений (т. е. гипотеза об отсутствии гетероскедастичности остатков) отвергается, если расчетное значение превышает табличное F >Fα;m-p;m-p, где p – число регрессоров.

Мощность теста (вероятность отвергнуть гипотезу об отсутствии гетероскедастичности, когда гетероскедастичности действительно нет) максимальна, если выбирать m порядка n/3.

Тест Голдфельда-Квандта позволяет выявить факт наличия гетероскедастичности, но не позволяет описать характер зависимостей дисперсий ошибок регрессии количественно.

Если прослеживается влияние результатов предыдущих наблюдений на результаты последующих, случайные величины (ошибки) εi в регрессионной модели не оказываются независимыми. Такие модели называются моделями с наличием автокорреляции.

Как правило, если автокорреляция присутствует, то наибольшее влияние на последующее наблюдение оказывает результат предыдущего наблюдения. Наличие автокорреляции между соседними уровнями ряда можно определить с помощью теста Дарбина-Уотсона. Расчетное значение определяется по следующей формуле:

.

Затем по таблицам находятся пороговые значения dв и dн. Если расчетное значение:

-  dв< d <4-dв, то гипотеза об отсутствии автокорреляции не отвергается (принимается);

-  dн< d <dв, или 4-dв< d <4-dн, то вопрос об отвержении или принятии гипотезы остается открытым (расчетное значение попадает в зону неопределенности);

-  0< d <dн, то принимается альтернативная гипотеза о наличии положительной автокорреляции;

-  4-dн< d <4, то принимается альтернативная гипотеза о наличии отрицательной автокорреляции.

Недостаток теста Дарбина-Уотсона заключается прежде всего в том, что он содержит зоны неопределенности. Во-вторых, он позволяет выявить наличие автокорреляции только между соседними уровнями, тогда как автокорреляция может существовать и между более отдаленными наблюдениями.

Поэтому наряду с тестом Дарбина-Уотсона для проверки наличия автокорреляции используются тест серий (Бреуша-Годфри), Q-тест Льюинга-Бокса и другие.

Наиболее распространенным приемом устранения автокорреляции во временных рядах является построение авторегрессионных моделей.

Пример 2. Рассмотрим полученную в предыдущем примере модель зависимости балансовой прибыли предприятия торговли  (тыс. руб.) от следующих переменных:

- фонд оплаты труда, тыс. руб.;

- объем продаж по безналичному расчету, тыс. руб.

Задание: Для полученной модели проверьте выполнение условия гомоскедастичности остатков, применив тест Голдфельда-Квандта.

Решение.

Для выполнения этого задания снова воспользуемся "Пакетом анализа", встроенным в EXCEL.

В соответствии со схемой теста Голдфельда-Квандта упорядочим данные по возрастанию переменной Х4, предполагая, что дисперсии ошибок зависят от величины этой переменной.

В нашем примере m = n/3 = 8.

Результаты дисперсионного анализа модели множественной регрессии, построенной по первым 8 наблюдениям (после ранжирования по возрастанию переменной Х4), приведены в таблице 4.

Таблица 4

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	5,07E+08	2,53E+08	20,95996	0,003707
Остаток	5	ESS1 = = 6,04E+07	1,21Е+07
Итого	7	5,67E+08

Результаты дисперсионного анализа модели, построенной по последним 8 наблюдениям, приведены в таблице 5.

Таблица 5

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	1,77E+08		1,111617	0,398654
Остаток	5	ESS2 = = 3,98E+08
Итого	7	5,75E+08

Рассчитаем статистику Fрасч = ESS2/ESS1 (т. к. ESS2>ESS1). Для нашего примера
получаем: F = 3,98E+08/6,04E+07= 6,58.

Для того, чтобы узнать табличное значение, воспользуемся встроенной в EXCEL функцией FРАСПОБР(0,05;6;6) с параметрами 0,05 – заданная вероятность ошибки гипотезы ; m-p = 8-2 = 6; m-p = 6 – параметры распределения Фишера. Данная функция находится в категории «статистических» функций.

Статистика Fрасч больше табличного значения F= FРАСПОБР(0,05;6;6) = 4,28. Следовательно, модель гетероскедастична. ¨

Пример 3. Рассмотрим полученную в примере 1 модель зависимости
балансовой прибыли предприятия торговли  (тыс. руб.) от следующих переменных:

- фонд оплаты труда, тыс. руб.; - объем продаж по безналичному расчету, тыс. руб.

Задание: Проверьте полученную модель на наличие автокорреляции остатков с помощью теста Дарбина-Уотсона.

Решение.

Прежде всего, по эмпирическим данным необходимо методом наименьших квадратов построить уравнение регрессии и определить значения отклонений для каждого наблюдения i (i = 1, 2, …, n).

Для этого в диалоговом окне Регрессия в группе Остатки следует установить одноименный флажок Остатки.

Затем рассчитываем статистику Дарбина-Уотсона по формуле:

.

Результаты расчетов представлены в таблице 6.

Таблица 6

ei	ei-1	(ei - ei-1)^2	(ei)^2
11211,00896			1,3E+08
9809,816986	11211,01	19	9,6E+07
6652,565001	9809,817	91	4,4E+07
4367,949639	6652,565	54	1,9E+07
1141,570741	4367,95		1303184
2445,881613	1141,571	18	5982337
687,4294812	2445,882	39	472559
140,6630821	687,4295	5	19786,1
-4784,81741	140,6631		2,3E+07
-3182,828283	-4784,82	22	1E+07
-10324,78476	-3182,83		1,1E+08
1880,960336	-10324,8		3538012
-2301,490224	1880,96		5296857
-6360,626521	-2301,49		4E+07
-1887,83539	-6360,63		3563922
-1671,617647	-1887,84	46750,112	2794306
1701,17565	-1671,62		2893999
149,2560547	1701,176	24	22277,4
-6106,936579	149,2561		3,7E+07
53,	-6106,94		2824,45
-4554,494657	53,14551		2,1E+07
-426,4897698	-4554,49		181894
-5970,720141	-426,49		3,6E+07
7331,218328	-5970,72		5,4E+07
СУММА:	6,5E+08	6,4E+08

Таким образом, расчетное значение равно d = 6,5E+08/ 6,4E+08 = 1,02.