Рабочая программа. Наименование дисциплины Экономико-математические методы и модели в таможенной статистике (стр. 13 )

,

и достаточное условие идентифицируемости выполняется.

2 уравнение.

Это уравнение включает две эндогенные переменные (St ,Rt) и две экзогенные переменные (Rt-1, t). Таким образом, H = 2; число экзогенных переменных, не входящих в это уравнение, равно одному D = 1. Получаем: D + 1 = H, и второе уравнение является точно идентифицируемым.

Теперь проверим достаточное условие идентифицируемости.

Запишем матрицу коэффициентов при переменных, не входящих во второе уравнение (Ct, Pt):

Номер уравнения	Сt	Pt
1	-1	b12
3	0	1

Определитель этой матрицы не равен нулю, а ее ранг равен 2:

.

Таким образом, второе уравнение системы точно идентифицируемо. Но так как первое уравнение системы сверхидентифицируемо, то вся модель является сверхидентифицируемой.

Запишем приведенную форму модели в общем виде:

Здесь ν1, ν2, и ν3 - случайные ошибки.

Поскольку модель является сверхидентифицируемой, то для оценки
параметров уравнений следует применять двухшаговый метод наименьших квадратов. ¨

Тема 8. Идентификация систем одновременных уравнений.

Наиболее распространенные методы оценки параметров системы одновременных уравнений:

·  косвенный метод наименьших квадратов;

·  двухшаговый метод наименьших квадратов;

·  трехшаговый метод наименьших квадратов;

·  метод максимального правдоподобия с полной информацией;

·  метод максимального правдоподобия при ограниченной информации.

Для оценки параметров идентифицируемой системы применяется косвенный метод наименьших квадратов (КМНК), а для оценки коэффициентов сверхидентифицируемой системы применяется двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК).

Процедура применения КМНК состоит из следующих этапов:

1.  структурная модель преобразовывается в приведенную форму модели;

2.  для каждого уравнения приведенной формы модели оцениваются приведенные коэффициенты (δij) обычным МНК;

3.  коэффициенты приведенной формы модели преобразовываются в параметры структурной формы.

Основная идея ДМНК – на основе приведенной формы модели получить для сверхидентифицируемого уравнения теоретические значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части уравнения.

1.  составляется приведенная форма модели, и определяются численные значения параметров каждого уравнения обычным МНК;

2.  выявляются эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяются двухшаговым МНК, и находятся расчетные значения по соответствующим уравнениям приведенной формы модели;

3.  обычным МНК определяются параметры структурного уравнения, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и расчетные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части данного структурного уравнения.

Таким образом, метод наименьших квадратов применяется дважды: при определении приведенной формы модели и нахождении на ее основе оценок теоретических значений эндогенной переменной и на втором шаге применительно к структурному сверхидентифицируемому уравнению при определении структурных коэффициентов модели по данным теоретических значений эндогенных переменных.

ДМНК является более общим и широко распространенным методом решения системы одновременных уравнений. Для точно идентифицируемых уравнения ДМНК дает тот же результат, что и КМНК, поэтому в ряде компьютерных программ реализован только ДМНК.

Трехшаговый метод наименьших квадратов заключается в том, что на первом шаге к исходной модели применяется обобщенный метод наименьших квадратов с целью устранения корреляции случайных членов. Затем к полученным уравнениям применяется двухшаговый метод наименьших квадратов. Если случайные члены в модели не коррелируют, то трехшаговый метод наименьших квадратов сводится к двухшаговому.

Пример 7. Рассмотрим систему линейных одновременных уравнений, структурная форма которой приведена в примере 6:

Задание:

1.  Определите метод оценки параметров модели.

2.  Изложите методику оценки структурных параметров модели.

Решение.

Проверка модели на идентифицируемость показала, что первое уравнение является сверхидентифицируемым, а второе – точно идентифицируемым (см. пример 6). Следовательно, для оценки параметров первого уравнения следует применять двухшаговый метод наименьших квадратов, а для оценки параметров второго уравнения - косвенный метод наименьших квадратов.

Методика оценки параметров первого уравнения.

1. В соответствии со схемой ДМНК на первом этапе запишем приведенную форму модели:

Параметры δij каждого уравнения приведенной формы определяются обычным методом наименьших квадратов.

2. На втором этапе выявляются эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяются двухшаговым МНК, и нахо-дятся расчетные значения по соответствующим уравнениям приведенной формы модели.

В нашем примере это переменная St, расчетные значения которой можно определить из второго уравнения приведенной формы модели.

3. В первое структурное уравнение, которое является сверхидентифицируемым, вместо фактических значений переменной St, подставляем расчетные значения , найденные на втором шаге. Таким образом, получаем уравнение:

.

Параметры этого уравнения уже можно оценивать обычным методом наименьших квадратов.

Методика оценки параметров второго уравнения.

Параметры приведенной формы модели δij уже были определены на первом этапе.

Сравнивая второе уравнение структурной формы модели и второе уравнение приведенной формы, видно, что для получения соответствия между ними необходимо из второго уравнения приведенной формы исключить переменную Pt и ввести переменную Rt.

Для этого из третьего уравнения приведенной формы модели выражаем переменную Pt:

Pt = 1/δ32(Rt – δ30 – δ31Rt-1 – δ33t –ν3)

и подставляем ее во второе уравнение приведенной формы:

St = δ20 + δ21Rt-1 + δ22/δ32(Rt – δ30 – δ31Rt-1 – δ33t –ν3) + δ23t +ν2.

Теперь раскрываем скобки:

St = δ20 + δ22/δ32∙Rt + (δ21 – δ31δ22/δ32)Rt-1 + (δ23 – δ33δ22/δ32)t +ν2 – δ22/δ32∙ν3.

Сопоставляя полученной уравнение со вторым уравнением структурной формы, определяем коэффициенты:

a2 = δ20 – δ30/δ32;

b21 = δ22/δ32;

b22 = δ21 – δ31δ22/δ32;

b23 = δ23 – δ33δ22/δ32;

ε2 = ν2 – δ22/δ32∙ν3.

Таким образом, все параметры структурной формы модели определены. ¨

ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ.

ВАРИАНТ 1.

Задача 1.

Предполагается, что объем предложения некоторого блага для функционирующей в условиях конкуренции фирмы зависит линейно от цены этого блага и заработной платы сотрудников этой фирмы. Исходные данные за 16 месяцев представлены в таблице 10.

Таблица 10.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Y	20	25	30	45	60	69	75	90	105	110	120	130	130	130	135	140
X1	10	15	20	25	40	37	43	35	38	55	50	35	40	55	45	65
X2	12	10	9	9	8	8	6	4	4	5	3	1	2	3	1	2

Задание:

1.  Для заданного набора данных постройте линейную модель множественной регрессии. Оцените точность и адекватность построенного уравнения регрессии.

2.  Дайте экономическую интерпретацию параметров модели.

3.  Рассчитайте стандартизованные коэффициенты модели и запишите уравнение регрессии в стандартизованном виде. Верно ли утверждение, что цена блага оказывает большее влияние на объем предложения блага, чем заработная плата сотрудников?

4.  Для полученной модели (в естественной форме) проверьте выполнение условия гомоскедастичности остатков, применив тест Голдфельда-Квандта.

5.  Проверьте полученную модель на наличие автокорреляции остатков с помощью теста Дарбина-Уотсона.

6.  Проверьте, адекватно ли предположение об однородности исходных данных в регрессионном смысле. Можно ли объединить две выборки (по первым 8 и остальным
8 наблюдениям) в одну и рассматривать единую модель регрессии Y по X?

Задача 2.

Изучается зависимость объема ВВП (Y, млрд. долл.) от уровня прибыли в экономике (Хt, млрд. долл.). Получена следующая модель с распределенными лагами:

Yt = -5 + 1,5∙Xt + 2∙Xt-1 + 4∙Xt-2 + 2,5∙Xt-3 + 2∙Xt-4 + εt.

(2,2) (2,3) (2,5) (2,3) (2,4)

В скобках указаны значения t-критерия Стьюдента для коэффициентов регрессии. R2 = 0,90.

Задание:

4.  Проанализируйте полученные результаты регрессионного анализа.

5.  Дайте интерпретацию параметров модели: определите краткосрочный и долгосрочный мультипликаторы.

6.  Определите величину среднего лага и медианного лага.

Задача 3.

Структурная форма макроэкономической модели имеет вид:

где: Сt – расходы на потребление в период t ,

Yt – чистый национальный продукт в период t,

Yt-1 – чистый национальный продукт в период t-1,

Dt – чистый национальный доход в период t,

It – инвестиции в период t,

Tt – косвенные налоги в период t,

Gt – государственные расходы в период t.

Задание:

1.  Проверьте каждое уравнение модели на идентифицируемость, применив необходимое и достаточное условия идентифицируемости.

2.  Запишите приведенную форму модели.

3.  Определите метод оценки структурных параметров каждого уравнения.

ВАРИАНТ 2.

Задача 1.

По данным, представленным в таблице 11, изучается зависимость объема валового национального продукта Y (млрд. долл.) от следующих переменных: X1- потребление, млрд. долл., X2- инвестиции, млрд. долл.

Таблица 11

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	8	9,5	11	12	13	14	15	16,5	17	18
	1,65	1,8	2,0	2,1	2,2	2,4	2,65	2,85	3,2	3,55
	14	16	18	20	23	23,5	25	26,5	28,5	30,5

Задание:

1.  Для заданного набора данных постройте линейную модель множественной регрессии. Оцените точность и адекватность построенного уравнения регрессии. Дайте экономическую интерпретацию параметров модели.

2.  Рассчитайте стандартизованные коэффициенты модели и запишите уравнение регрессии в стандартизованном виде. Какой из факторов оказывает большее влияние на объем валового национального продукта?

3.  Для полученной модели проверьте выполнение условия гомоскедастичности
остатков, применив тест Голдфельда-Квандта.

4.  Проверьте полученную модель на наличие автокорреляции остатков с помощью теста Дарбина-Уотсона.

5.  Проверьте, адекватно ли предположение об однородности исходных данных в регрессионном смысле. Можно ли объединить две выборки (по первым 5 и остальным 5 наблюдениям) в одну и рассматривать единую модель регрессии Y по X?

Задача 2.

Производственная функция Кобба-Дугласа характеризуется следующим уравнением:

R2 = 0,96.

(0,43) (0,06) (0,15) F = 236,1

В скобках указаны значения стандартных ошибок для коэффициентов регрессии.

Задание:

4.  Оцените значимость коэффициентов модели по t-критерию Стьюдента и сделайте вывод о целесообразности включения факторов в модель.