Учебно-методический комплекс "Математика" (стр. 3 )

Тема №1. Векторы и действия над ними. Скалярное произведение векторов.

Прямоугольные декартовы координаты на плоскости и в пространстве. Понятия связанного и свободного вектора. Линейные операции над векторами: сложение векторов, умножение вектора на число. Координаты вектора. Линейные операции над векторами в координатах. Проекция вектора на ось, основные свойства проекций. Скалярное произведение векторов, свойства скалярного произведения, скалярное произведение векторов, заданных координатами. Косинус угла между векторами, направляющие косинусы.

Литература: [4], Т.1, С.5-10; [4], Т.1, С.14-24; [9], С.9-20; [12], Т.1, С.6-15

Тема №2. Уравнение прямой на плоскости. Уравнение плоскости в пространстве. Уравнение прямой в пространстве

Прямая на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой. Условие перпендикулярности двух прямых на плоскости. Условие параллельности двух прямых на плоскости. Плоскость в пространстве. Нормальное уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости. Условие перпендикулярности двух плоскостей. Условие параллельности двух плоскостей. Прямая линия в пространстве. Уравнения прямой линии. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Общие уравнения прямой. Угол между прямой и плоскостью. Пересечение прямой с плоскостью.

Литература: [4], Т.1, С.31-45; [9], С.59-68; [9], С.204-214; [12], Т.1, С.15-26; [12], Т.1, С.57-67

Тема №3. Комплексные числа и многочлены. Уравнения кривых второго порядка

Комплексные числа и действия над ними: сложение, умножение, деление. Тригонометрическая и показательные формы записи комплексного числа. Преобразование координат на плоскости: параллельный перенос, поворот, зеркальное отражение. Кривые второго порядка. Эллипс. Гипербола. Парабола. Классификация кривых второго порядка. Канонические уравнения кривых второго порядка.

Литература: [4], Т.1, С.184-189; [4], Т.1, С.46-63; [9], С.82-100; [12], Т.1, С.26-33

Тема №4. Матрицы. Операции над матрицами. Элементарные преобразования. Приведение к ступенчатому виду. Ранг матрицы. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

Матрицы: терминология и обозначения. Операции над матрицами: сложение, умножение матрицы на число. Умножение матриц. Транспонирование матрицы. Элементарные преобразования матрицы. Элементарные преобразования. Приведение к ступенчатому виду. Ранг матрицы. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Литература: [4], Т.1, С.75-90; [12], Т.1, С.81-90

Тема №5. Определители и их свойства. Определитель матрицы. Обратная матрица.

Определители и их свойства: линейность, антисимметричность, транспонирование определителя, определитель произведения квадратных матриц. Вычисление определителя. Обратная матрица. Метод Жордана. Способ построения обратной матрицы. Вычисление ранга матрицы через определитель.

Литература: [4], Т.1, С.90-110; [11], С.9-26; [12], Т.1, С.76-80; [12], Т.1, С.101-110

Тема №6. Собственные векторы, собственные значения матрицы. N-мерные линейные векторные пространства. Базис

N-мерные линейные векторные пространства: определение линейного пространства, простейшие свойства, примеры. Линейные подпространства. Свойства линейного подпространства, сумма и пересечение линейных подпространств, свойства пересечения и суммы линейных подпространств, линейная оболочка. Линейная зависимость. Базис, размерность. Замена базиса. Евклидовы пространства. Собственные векторы, собственные значения матрицы.

Литература: [4], Т.1, С.121-133, [4], Т.1, С.150-158; [10], С.7-30; [11], С.42-60; [12], Т.1, С.115-125

Тема №7. Прямые и плоскости в . Выпуклые множества в и их свойства. Понятие квадратичной формы. Поверхности

Прямые и плоскости в . Выпуклые множества в и их свойства. Понятие квадратичной формы. Критерий знакоположительности квадратной формы. Поверхности второго порядка. Поверхности вращения. Цилиндрические поверхности. Конические поверхности. Эллипсоид. Гиперболоиды. Эллиптический параболоид. Гиперболический параболоид. Цилиндры и конус второго порядка.

Литература: [4], Т.1, С.162-167; [12], Т.1, С.68-75

Раздел 2: Математический анализ

Тема №8. Множества. Операции над множествами. Функции. Способы задания функции. График. Элементарные функции. Предел последовательности. Предел функции. Непрерывные функции и их свойства. Точки разрыва и их классификация.

Множества. Числовая ось. Простейшие множества чисел. Операции над множествами. Числовая последовательность и ее предел. Арифметические операции над сходящимися последовательностями. Монотонные последовательности. Число e. Функция. Способы задания функции. График. Элементарные функции. Предел функции в точке. Теоремы о пределах. Предел функции в бесконечности. Замечательные пределы. Непрерывные функции и их свойства. Операции над непрерывными функциями. Точки разрыва и их классификация.

Литература: [4], Т.1, С.168-183; [4], Т.1, С.192-200; [3], Т.1, С.28-40; [4], Т.1, С.211-218; [12], Т.1, С.149-164

Тема №9. Производная функции. Правила дифференцирования. Основные свойства дифференцируемых функций. Производные основных элементарных функций. Производная сложной функции.

Производная функции. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к кривой. Производная с точки зрения механики. Дифференцируемость функции. Основные свойства дифференцируемых функций. Дифференциал функции. Дифференцирование суммы, произведения и частного. Производные основных элементарных функций. Производная сложной функции. Понятие обратной функции. Производная обратной функции.

Литература: [4], Т.1, С.232-249; [3], Т.1, С.121-140; [12], Т.1, С.165-175

Тема №10. Производные высших порядков. Дифференциал функции. Раскрытие неопределенностей.

Производные высших порядков. Механический смысл второй производной. Производные высших порядков суммы и произведения функций. Дифференциалы первого и высших порядков. Дифференцирование функции, заданной параметрически. Раскрытие неопределенностей.

Литература: [4], Т.1, С.253-258; [4], Т.1, С.269-273; [3], Т.1, С.148-155; [12], Т.1, С.176-181

Тема №11. Асимптоты графика. Исследование функции на монотонность и экстремумы. Исследование графика функции на выпуклость, вогнутость, наличие точек перегиба.

Признаки возрастания и убывания функции. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия максимума и минимума. Исследование функции на максимум и минимум при помощи второй производной. Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке. Направление выпуклости и точки перегиба кривой. Асимптоты графика функции. Схема построения графика функции. Исследование функция на экстремум с помощью производных высшего порядка.

Литература: [4], Т.1, С.284-306; [3], Т.1, С.184-208; [12], Т.1, С.181-197

Тема №12. Исследование экономических моделей.

Основные экономические модели, основанные на понятии производной. Конкретные примеры экономической одномерной оптимизации.

Литература: [22], С.104-125; [23], С.14-30

Тема №13. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов.

Понятие первообразной. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов.

Литература: [4], Т.2, С.3-8; [3], Т.1, С.318-322; [12], Т.1, С.225-230

Тема №14. Методы интегрирования: табличный, подведение под знак дифференциала, замена переменной, по частям

Методы интегрирования: табличный, подведение под знак дифференциала, замена переменной, по частям. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование простейших дробей.

Литература: [4], Т.2, С.9-25; [3], Т.1, С.323-326; [3], Т.1, С.350-354; [12], Т.1, С.231-246

Тема №15. Определенный интеграл. Свойства, геометрический смысл. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование с помощью замены переменной, по частям. Несобственные интегралы. Вычисление площадей.

Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Свойства, геометрический смысл определенного интеграла. Условия интегрируемости функции. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование с помощью замены переменной, по частям. Площадь плоских фигур в прямоугольных координатах. Несобственные интегралы: интегралы с бесконечными пределами интегрирования, интегралы от неограниченных функций.

Литература: [4], Т.2, С.43-53; [4], Т.2, С.57-66; [4], Т.2, С.85-103; [3], Т.1, С.379-390; [12], Т.1, С.260-264

Тема №16. Понятие числового ряда. Необходимый признак сходимости. Свойства сходящихся рядов. Ряды с положительными членами: предельный признак сравнения, признак Даламбера.

Понятие числового ряда. Необходимый признак сходимости. Свойства сходящихся рядов. Ряды с положительными членами. Гармонический ряд, ряд Дирихле. Признак сравнения, предельный признак сравнения. Признак Даламбера.

Литература: [3], Т.1, С.477-495; [12], Т.2, С.56-66

Тема №17. Знакочередующиеся ряды: признак Лейбница. Знакопеременные ряды: абсолютная и условная сходимость. Степенные ряды: область сходимости, свойства сходящихся рядов.

Знакопеременные числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов. Знакочередующиеся ряды: признак Лейбница. Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда. Радиус сходимости. Свойства степенных рядов.

Литература: [3], Т.1, С.496-540; [12], Т.2, С.60-67

Тема №18. Ряды Тейлора и Маклорена. Основные разложения. Алгоритм разложения функции в ряд Тейлора. Применение степенных рядов.

Формула Тейлора. Ряды Тейлора и Маклорена. Условия сходимости ряда Тейлора к исходной функции. Основные разложения. Алгоритм разложения функции в ряд Тейлора. Применение степенных рядов.

Литература: [4], Т.1, С.273-283; [3], Т.1, С.173-180; [3], Т.1, С.547-560; [12], Т.2, С.67-79

Тема №19. Определение функции нескольких переменных. Предел функции. Непрерывность. График функции двух переменных.

Определение функции нескольких переменных. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции нескольких переменных. График функции двух переменных.

Литература: [4], Т.2, С.106-113; [3], Т.1, С.247-265; [12], Т.1, С.208-209

Тема №20. Частные производные. Производная сложной функции. Дифференциал. Производные высших порядков

Частные производные. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Производная сложной функции. Полный дифференциал. Частные дифференциалы. Производные высших порядков.

Литература: [4], Т.2, С.114-124; [3], Т.1, С.283-293; [4], Т.2, С.133-136; [12], Т.1, С.209-218

Тема №21. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.

Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.

Литература: [4], Т.2, С.139-145; [4], Т.2, С.149-152; [3], Т.2, С.16-25; [12], Т.1, С.221-225

Тема №22. Понятие решения, общего решения, начальной задачи, краевой задачи. Уравнения с разделяющимися переменными, линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциальные уравнения первого порядка. Понятие решения, общего решения, начальной задачи, краевой задачи. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Литература: [4], Т.3, С.10-30; [12], Т.2, С.105-125

Тема №23. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: метод неопределенных коэффициентов для специальной правой части

Дифференциальные уравнения второго порядка. Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: метод неопределенных коэффициентов для специальной правой части.

Литература: [4], Т.3, С.35-55; [12], Т.2, С.126-145

Раздел 3: Теория вероятностей и математическая статистика

Тема №24. Предмет теории вероятностей. Полная группа равновозможных событий. Классическое определение вероятности. Основные формулы комбинаторики.

Предмет теории вероятностей и ее значение для экономической науки. Испытания и события. Виды случайных событий. Классическое и геометрическое определения вероятности. Комбинаторика. Частота события, ее свойства, статистическая устойчивость частоты. Аксиомы теории вероятностей. Простейшие следствия из аксиом.

Литература: [13], С.17-23; [14], С.8-12

Тема №25. Геометрическая вероятность. Теорема сложения вероятностей событий. Зависимые и независимые события.

Геометрические вероятности. Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Полная группа событий. Противоположные события. Принцип практической невозможности маловероятных событий.

Литература: [13], С.27-35; [14], С.12-18

Тема №26. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Произведение событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий. Вероятность появления хотя бы одного события. Формула полной вероятности. Вероятность гипотез, формула Бейеса.

Литература: [13], С.37-53; [14], С.19-35

Тема №27. Повторные испытания. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

Повторение испытаний. Формула Бернулли. Локальная теорема Лапласа. Интегральная теорема Лапласа. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.

Литература: [13], С.55-64; [14], С.37-45

Тема №28. Виды случайных величин. Дискретная случайная величина. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона.

Виды случайных величин. Дискретная и непрерывные случайные величины. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Простейший поток событий. Геометрическое распределение. Гипергеометрическое распределение.

Литература: [13], С.64-74; [14], С.52-59

Тема №29. Числовые характеристики дискретной случайной величины. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение.

Числовые характеристики дискретной случайной величины. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Вероятностный смысл математического ожидания. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях. Начальные и центральные теоретические моменты.

Литература: [13], С.75-100; [14], С.60-81

Тема №30. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Центральная предельная теорема.

Закон больших чисел. Теорема Чебышева. Неравенство Чебышева. Значение теоремы Чебышева для практики. Теорема Бернулли.

Литература: [13], С.101-110; [14], С.82-86

Тема №31. Функция распределения вероятностей и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.

Функция распределения вероятностей случайной величины: определение, свойства, график. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины: определение, свойства.

Литература: [13], С.111-124; [14], С.87-94

Тема №32. Нормальное распределение вероятностей. Кривые Гаусса. Числовые характеристики нормального распределения.

Нормальное распределение вероятностей. Кривые Гаусса. Числовые характеристики нормального распределения. Правило трех сигм. Распределения «хи квадрат» и Стьюдента.

Литература: [13], С.124-133; [13], С.143-149; [14], С.109-113

Тема №33. Типичные законы распределения вероятностей. Показательное распределение. Равномерное распределение. Их числовые характеристики.

Типичные законы распределения вероятностей. Показательное распределение. Равномерное распределение. Их числовые характеристики. Функция надежности. Показательный закон надежности.

Литература: [13], С.149-155; [14], С.106-108; [14], С.114-120

Тема №34. Система двух непрерывных случайных величин, ее числовые характеристики.

Система двух непрерывных случайных величин, ее числовые характеристики. Свойства функции распределения. Вероятность попадания случайной точки в произвольную область. Коэффициент корреляции. Линейная регрессия.

Литература: [13], С.155-160; [13], С.174-185; [14], С.137-150

Тема №35. Выборочный метод. Полигон и гистограмма. Эмпирическая функция распределения.

Выборочный метод. Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. Повторная и репрезентативная выборки. Полигон и гистограмма. Эмпирическая функция распределения.

Литература: [13], С.187-196; [14], С.151-156

Тема №36. Статистические оценки параметров распределения. Доверительная вероятность и доверительный интервал.

Статистические оценки параметров распределения. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Метод наибольшего правдоподобия.

Литература: [13], С.197-200; [13], С.230-235; [14], С.157-180

Тема №37. Методы расчета сводных характеристик выборки. Построение нормальной кривой по опытным данным. Элементы теории корреляции и регрессионного анализа.

Методы расчета сводных характеристик выборки. Эмпирические моменты. Метод произведений для вычисления выборочных средней и дисперсии. Построение нормальной кривой по опытным данным. Элементы теории корреляции и регрессионного анализа. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Выборочные уравнения регрессии. Выборочный коэффициент корреляции. Понятие о множественной корреляции.

Литература: [13], С.237-250; [14], С.181-189; [13], С.253-270; [14], С.190-200

Тема №38. Статистическая проверка статистических гипотез. Область принятия гипотезы. Цепи Маркова и их применение.

Статистическая проверка статистических гипотез. Нулевая и конкурирующая, простая и сложная гипотезы. Область принятия гипотезы. Понятие о критерии согласия. Критерий согласия Пирсона. Критерий согласия Колмогорова. Цепи Маркова и их применение. Однородная цепь Маркова. Переходные вероятности. Матрица перехода. Равенство Маркова.

Литература: [13], С.281-290; [13], С.327-335; [14], С.206-210; [14], С.239-250; [13], С.380-385

Раздел 4: Экономико-математические методы и модели.

Тема №39. Предмет математического программирования. Основные методы математического программирования.

Математическое программирование. Основные определения. Обзор основных методов.

Литература: [16], С.7-20

Тема №40. Классические методы одномерной оптимизации. Функции спроса и предложения. Функция полезности. Кривые безразличия.

Одномерная оптимизация. Методы, использующие производные. Методы, не использующие производные. Метод Ньютона. Метод «золотого сечения». Метод Фибоначчи. Функция спроса и предложения. Функция полезности. Кривые безразличия.

Литература: [16], С.71-91; [21], С.13-17

Тема №41. Симплекс-метод решения задач линейного программирования. Экономическая интерпретация элементов симплексной таблицы

Симплексные таблицы. Экономическая интерпретация элементов симплексной таблицы. Улучшение опорного решения. Определение ведущих столбца и строки. Выбор начального допустимого базисного решения. Введение искусственных переменных. Вырожденные задачи линейного программирования. Зацикливание и его предотвращение.

Литература: [16], С.40-59

Тема №42. Двойственность в линейном программировании. Экономическая интерпретация пары двойственных задач

Понятие двойственности. Двойственная задача к линейной задаче в стандартной форме. Определение двойственности в общем случае. Теорема двойственности. Двойственные переменные и теневые цены. Двойственные и исходно-двойственные алгоритмы.

Литература: [16], С.60-70

Тема №43. Транспортные задачи. Экономическая и математическая формулировки транспортной задачи.

Экономическая и математическая формулировки транспортной задачи. Метод потенциалов. Основные способы построения начального опорного решения. Транспортные задачи с нарушенным балансом производства и потребления. Транспортные задачи с дополнительными условиями.

Литература: [18], С.34-58

Тема №44. Целочисленное программирование. Постановка задачи о коммивояжере.

Постановка задачи целочисленного программирования. Примеры целочисленных моделей. Методы решения задач целочисленного программирования. Метод Гомори. Метод ветвей и границ. Постановка задачи о коммивояжере. Понятие о приближенных методах.

Литература: [16], С.249-274

Тема №45. Нелинейное программирование. Градиентные методы безусловной оптимизации. Выпуклое программирование.

Методы нелинейной многомерной оптимизации. Унимодальные функции. Методы поиска. Общая задача нелинейного программирования. Градиентные методы безусловной оптимизации. Выпуклое программирование. Метод штрафов. Теорема Куна-Таккера, ее связь с теорией двойственности в линейном программировании.

Литература: [16], С.150-182

Тема №46. Динамическое программирование. Рекуррентные уравнения Беллмана.

Динамическое программирование. Постановка задачи. Основные определения. Принцип оптимальности. Рекуррентные уравнения Беллмана. Примеры решения задач математического программирования методом Беллмана.

Литература: [16], С.340-379

Тема №47. Сетевое планирование. Сеть проекта.

Сетевое планирование. Сеть проекта. Критический путь, время завершения проекта. Резервы событий, резервы операций.

Литература: [19], С.23-50

Тема №48. Теория игр – теория математических моделей принятия оптимальных решений в условиях конфликта и неопределенности.

Игра как математическая модель конфликта. Основные понятия теории игр. Классификация игр. Примеры бескоалиционных игр. Антагонистические игры. Матричные игры. Смешанные стратегии. Графоаналитический метод решения игр. Матричные игры и линейное программирование.

Литература: [20], С.50-87

Раздел IV. Планы семинарских и практических занятий

4.1 Планы семинарских и практических занятий для студентов очной формы обучения

Раздел 1.Линейная алгебра

Практическое занятие по теме №1 . Векторы и действия над ними. Скалярное произведение векторов.-2 часа

Цель занятия. Векторы и действия над ними. Скалярное произведение векторов.

Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.

Содержание занятия вопросы для обсуждения:. Прямоугольные декартовы координаты на плоскости и в пространстве. Понятия связанного и свободного вектора. Линейные операции над векторами: сложение векторов, умножение вектора на число. Координаты и компоненты вектора. Линейные операции над векторами в координатах. Проекция вектора на ось, основные свойства проекций. Скалярное произведение векторов, свойства скалярного произведения, скалярное произведение векторов, заданных координатами. Косинус угла между векторами, направляющие косинусы.

Задания для самостоятельной работы.

1. Найти скалярное произведение векторов и .

2.Найти угол между векторами = (-1, 3) и = (2, 7).

. 3. Выяснить ортогональность векторов = (-2, 3) и = (4, 1).

Практикум тесты 1.1-1.5

Рекомендуемая литература:

Основная литература: [1], Т.1, С.6-15

Практическое занятие по теме №2. Уравнение прямой на плоскости. Уравнение плоскости в пространстве. Уравнение прямой в пространстве-2 часа

Цель занятия. Уравнение прямой на плоскости. Уравнение плоскости в пространстве. Уравнение прямой в пространстве

Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.

Содержание занятия вопросы для обсуждения

. Уравнение прямой на плоскости. Уравнение плоскости в пространстве. Уравнение прямой в пространстве

Прямая на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой. Условие перпендикулярности двух прямых на плоскости. Условие параллельности двух прямых на плоскости. Плоскость в пространстве. Нормальное уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости. Условие перпендикулярности двух плоскостей. Условие параллельности двух плоскостей. Прямая линия в пространстве. Уравнения прямой линии. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Общие уравнения прямой. Угол между прямой и плоскостью. Пересечение прямой с плоскостью.

Задания для самостоятельной работы.

1. Известны точка М(2, 5) на прямой m и на­правляющий вектор этой прямой. Найти кано­ническое уравнение прямой m.

2.Что можно сказать о взаимном расположе­нии прямых x + 2y – 3 = 0 и 5x + 10y – 2 = 0?

3.Что можно сказать о взаимном расположе­нии прямых 2x + 3y – 6 = 0 и 8x +12y +3 = 0?

Практикум тесты 1.6-1.10

Рекомендуемая литература:

Основная литература: [1], Т.1, С.6-15

Практическое занятие по теме №3. Комплексные числа и многочлены. Уравнения кривых второго порядка-2часа

Цель занятия. Уравнения кривых второго порядка

Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.

Содержание занятия вопросы для обсуждения:.

Комплексные числа и действия над ними: сложение, умножение, деление. Тригонометрическая и показательные формы записи комплексного числа. Преобразование координат на плоскости: параллельный перенос, поворот, зеркальное отражение. Кривые второго порядка. Эллипс. Гипербола. Парабола. Классификация кривых второго порядка. Канонические уравнения кривых второго порядка.

Задания для самостоятельной работы.

  . Найти координаты центра и радиус окружности

1.х2 + у2+ \6y-9 =0.

2.. Определить вид и расположение кривой

х2+2;и2-4х + 16>; = 0.

3..Составить уравнение параболы, проходящей через точки: а) (0; 0) и (—1; —3) симметрично относительно оси Ох; б) (0; 0) и.(2; —4) симметрично относительно оси Оу.

Практикум тесты 2.1-2.5

Рекомендуемая литература:

Основная литература: [1], Т.1, С.26-33

Практическое занятие по теме №4. Матрицы. Операции над матрицами. Элементарные преобразования. Приведение к ступенчатому виду. Ранг матрицы. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса-4часа

Цель занятия. Операции над матрицами. Элементарные преобразования.

Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.

Содержание занятия вопросы для обсуждения:.

Матрицы: терминология и обозначения. Операции над матрицами: сложение, умножение матрицы на число. Умножение матриц. Транспонирование матрицы. Элементарные преобразования матрицы. Элементарные преобразования. Приведение к ступенчатому виду. Ранг матрицы. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Задания для самостоятельной работы.

1. Для матрицы А = найти матрицу 5А.

2.Транспонировать матрицу А =

3.Даны матрицы А = и В = . Найти произведения АВ, ВА.

Практикум тесты 2.6-2.10

Рекомендуемая литература:

Основная литература

[1], Т.1, С.81-90

Практическое занятие по теме №5 Определители и их свойства. Определитель матрицы. Обратная матрица.-4часа

Цель занятия. Определители и их свойства Обратная матрица

Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.

Содержание занятия вопросы для обсуждения:.

Определители и их свойства: линейность, антисимметричность, транспонирование определителя, определитель произведения квадратных матриц. Вычисление определителя. Обратная матрица. Метод Жордана. Способ построения обратной матрицы. Вычисление ранга матрицы через определитель.

Задания для самостоятельной работы.

1.Вычислить определитель .

2.А = . Найти миноры M11, M32 и M13.

3. Вычислить определитель .

Найти обратную матрицу для матрицы

4.A =

Практикум тесты 3.1-3.5

Рекомендуемая литература:

Основная литература

1], Т.1, С.76-80; [12], Т.1, С.101-110

Практическое занятие по теме №6. Собственные векторы, собственные значения матрицы. N-мерные линейные векторные пространства. Базис-2 часа

Цель занятия. . Собственные векторы, собственные значения матрицы

Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.

Содержание занятия вопросы для обсуждения:.

N-мерные линейные векторные пространства: определение линейного пространства, простейшие свойства, примеры. Линейные подпространства. Свойства линейного подпространства, сумма и пересечение линейных подпространств, свойства пересечения и суммы линейных подпространств, линейная оболочка. Линейная зависимость. Базис, размерность. Замена базиса. Евклидовы пространства. Собственные векторы, собственные значения матрицы

Задания для самостоятельной работы.

1.Найти собственные векторы и собст­венные значения линейного оператора, заданного матрицей .

2.Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора, заданного матрицей

3.Найти собственные векторы и собствен­ные значения линейного оператора, заданного матрицей

Практикум тесты 3.6-3.10

Рекомендуемая литература:

Основная литература : [1], Т.1, С.115-125

Практическое занятие по теме №7. Прямые и плоскости в . Выпуклые множества в и их свойства. Понятие квадратичной формы. Поверхности-2часа

Цель занятия. . Прямые и плоскости в .

Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.

Содержание занятия вопросы для обсуждения:.

Прямые и плоскости в . Выпуклые множества в и их свойства. Понятие квадратичной формы. Критерий знакоположительности квадратной формы

Задания для самостоятельной работы.

1. Найти уравнение прямой, проходящей че­рез две данные точки М1(1,3) и М2(4, 5)

2. Найти расстояние от точки М0(2, 5) до прямой т, заданной уравнением

Зx + 7у - 2 = 0.

3.Известны точка М(2, 5) на прямой m и на­правляющий вектор этой прямой. Найти кано­ническое уравнение прямой m.

4.. Найти длину вектора х = (5, 1, 2, 3).

Практикум тесты 4.1-4.5

Рекомендуемая литература:

Основная литература Т.1, С.68-75

Раздел 2.Математический анализ

Практическое занятие по теме №8. Множества. Операции над множествами. Функции. Способы задания функции. График. Элементарные функции. Предел последовательности. Предел функции. Непрерывные функции и их свойства. Точки разрыва и их классификация-2часа

Цель занятия. . Элементарные функции. Предел последовательности. Предел функции. Непрерывные функции и их свойства. Точки разрыва и их классификация

Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.

Содержание занятия вопросы для обсуждения:.

Множества. Числовая ось. Простейшие множества чисел. Операции над множествами. Числовая последовательность и ее предел. Арифметические операции над сходящимися последовательностями. Монотонные последовательности. Число e. Функция. Способы задания функции. График. Элементарные функции. Предел функции в точке. Теоремы о пределах. Предел функции в бесконечности. Замечательные пределы. Непрерывные функции и их свойства. Операции над непрерывными функциями. Точки разрыва и их классификация

Задания для самостоятельной работы.

1.Найти интервалы монотонности функции у. = х3.

2.Исследовать на экстремум функцию у =х(х — I)3.

3.Доказать непрерывность функции у = cos x.

4.. Выберите функцию, наиболее точно соответствующую графику.

1) 

2) 

3) 

4) 

5. Найти критические точки функции и убедиться в наличии или отсутствии экстремума в этих точках: а) у = х2; б) у = л:3 +1;

6. Найти пределы:

а)

б)

в)

г)