Учебно-методический комплекс "Математика" (стр. 31 )

Угол между векторами. Условие ортогональности векторов.

2.  Матрицы, операции над ними (сложение, умножение на число). Единичная

матрица, нулевая матрица. Умножение матриц. Миноры и алгебраические дополнения элементов матриц. Матричная запись системы линейных уравнений

Решение матричных и векторных уравнений Определители квадратных матриц и их свойства. Разложение определителя по строке или столбцу

Приведение матрицы к ступенчатому виду. Ранг матрицы. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Теорема Лапласа Теорема Кронекера –Капелли Системы линейных однородных уравнений

3.  Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой.

Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Параметрическое уравнение прямой в пространстве. Уравнение прямой в пространстве.

4.  Полуплоскости и попупространства.

Ранг (размерность) векторного пространства Уравнение плоскости.

Общее уравнение плоскости Параметрическое уравнение плоскости

Уравнение отрезка в пространстве

Окружность и эллипс.

Гипербола и парабола

Линейные операторы.

Квадратичные формы

Математический анализ

5.  Функция. Способы задания функции. Простейшие элементарные функции и графики.

6.  Определение последовательности. Примеры. Предел последовательности.

7.  Предел функции в точке. Примеры раскрытия неопределенностей , .

8.  Непрерывность функции в точке. Точки разрыва. Классификация точек разрыва.

9.  Производная функции. Определение. Таблица производных.

10.  Производные высших порядков. Дифференциал функции.

11.  Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей , .

12.  Возрастающие и убывающие функции. Определение. Примеры. Необходимое условие возрастания (убывания) функции. Достаточное условие возрастания (убывания) функции.

13.  Экстремумы функции. Определение. Необходимое условие экстремума функции. Достаточное условие экстремума функции (по знаку первой производной).

14.  Выпуклость, вогнутость кривой. Точки перегиба. Асимптоты кривой. Общая схема исследования функции. Построение графика функции.

15.  Неопределенный интеграл. Определение. Свойства. Таблица интегралов.

16.  Замена переменной в неопределенном интеграле.

17.  Определенный интеграл. Определение. Свойства. Геометрический смысл определенного интеграла. Формула Ньютона–Лейбница. Приложения определенного интеграла. Вычисление площадей.

18.  Несобственный интеграл с бесконечными пределами. Определение, вычисление.

19.  Числовые ряды: определение суммы ряда и необходимый признак сходимости ряда.

20.  Ряды с положительными членами. Предельный признак сравнения и признак Даламбера сходимости числовых рядов.

21.  Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.

22.  Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда.

23.  Ряды Тейлора и Маклорена.

24.  Разложение функций в степенной ряд.

25.  Разложение в ряд Тейлора функций , .

26.  Разложение в ряд Тейлора функции .

27.  Функции нескольких переменных: определение, предел, непрерывность. График функции двух переменных.

28.  Частные производные 1-го и 2-го порядков функции многих переменных.

29.  Экстремум функции нескольких переменных: необходимые условия

30.  Достаточные условия экстремума для функции двух переменных

31.  Дифференциальные уравнения: определение, общее и частное решения. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

32.  Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

33.  Решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

Теория вероятностей и математическая статистика

34.  Элементы комбинаторики: размещения, сочетания, перестановки.

35.  Случайное событие. Классическое определение вероятности случайного события.

36.  Геометрическая вероятность. Теорема сложения вероятностей.

37.  Зависимые и независимые события. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.

38.  Дискретная случайная величина и ее числовые характеристики.

39.  Функция распределения и плотность распределения непрерывной случайной величины.

40.  Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратичное отклонение непрерывной случайной величины.

41.  Математическое ожидание и дисперсия функции от случайной величины.

42.  Теорема Чебышева. Закон больших чисел.

43.  Биномиальное распределение и его числовые характеристики.

44.  Нормальный закон распределения и его числовые характеристики.

45.  Распределение Пуассона и его числовые характеристики.

46.  Выборочный метод. Эмпирическая функция распределения.

47.  Статистические оценки параметров распределения.

48.  Статистическая проверка статистических гипотез.

49.  Цепи Маркова.

7.2 Примерный перечень вопросов для подготовки к зачёту

По дисциплине «Экономико-математические методы и модели»

Виды задач линейного программирования. Выпуклые множества точек и их свойства. Графический метод решения задач линейного программирования. Транспортная задача План, допустимый план Решение канонической задачи линейного программирования на минимум. Симплексный метод решения задач линейного программирования. Первая и вторая теоремы двойственности. Двойственные задачи линейного программирования Задача о смесях Динамическое программирование Задача использования мощностей Выпуклые множества точек Задача о замене оборудования Закрытые транспортные задачи и методы их решения Метод потенциалов при проверке базисного распределения на оптимальность. Транспортные задачи с альтернативным оптимумом. Задача о раскрое материалов Уравнение Беллмана Задача потребителя Локальный экстремум функции многих переменных Целочисленное программирование Понятие нелинейного программирования. Решение задач нелинейного программирования методом множителей Лагранжа. Классические методы определения экстремумов. Функция полезности. Линии безразличия. Задача потребительского выбора. Функции спроса и предложения. Метод Лагранжа для определения экстремумов функций многих переменных Основы теории управления Беллмана. Схема протекания процесса принятия решения методом динамического программирования. Постановка задачи управления запасами. Основная модель управления запасами. Основы финансового рынка. Характеристика финансовых активов. Оценка акций и облигаций. Оценка опционов. Случайные характеристики портфеля ценных бумаг. Портфель из двух типов ценных бумаг. Модели сетевого планирования

Раздел VIII Источники

8.1 Основная литература

1.Никольский математического анализа. Том 1-2. М.: Наука, 2009г.

2.Кудрявцев курс математического анализа. М.: Наука, 2009г..

3.Кудрявцев математического анализа. Том 1-2. М.: Высш. школа, 2009г..

4. и др. Вся высшая математика. Тома 1-4. М.: Эдиториал 2009г..

5., Позняк математического анализа. Том 1-2. М Наука,2009.

6. Демидович задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 2008..

7. Высшая математика М. Высшее образование 2008г..

8.Фихтенгольц дифференциального и интегрального исчисления. Том 1-3. М.: Наука, 2007г.

9.Ефимов курс аналитической геометрии. М.: Высш. шк., 2007.г.

10.Гельфанд по линейной алгебре. М.: Высш. шк., 2006.

11.Шилов анализ (конечномерные линейные пространства). М.: Высш. шк., 2007.г..

8.2 Дополнительная литература

12., Никольский уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 2009г.

13.Берман задач по курсу математического анализа. М.: Hаука, 2008г..

14. Э Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Высшая школа, 2008г.

15.Степанов дифференциальных уравнений. Гостехиздат. М.: 2007г..

16.Пискунов и интегральное исчисления: Т. 1-2.

М.: Наука, 2008г.

Раздел IХ. Глоссарий

Линейная алгебра и геометрия

Линейное пространство L называется евклидовым про­странством, если на нем задана функция двух перемен­ных (х, у) — скалярное произведение, для которого выпол­нены следующие свойства (х, у, z) — любые векторы из L, α — любое число):

1)  (х, у) = (у, x);

2)  (х, у + z) = (х, у) + (х, z);

3)  (ах, у) = а (х, у);

4)  (х, х) ≥ 0 и (х, х) = 0 ↔ x = 0 (нулевой вектор простран­ства L).

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля. Если при умножении квадратных матриц А и В в любом порядке получается еди­ничная матрица (АВ = ВА = Е), то матрица В называется обратной матрицей для матрицы А (очевидно, что матри­ца А — обратная матрица для матрицы В) и обозначается А-1 то есть АА-1 = А-1 А = Е.

Система уравнений следующего вида:

где aij, bi — коэффициенты, xi — переменные, называется системой линейных уравнений

Функция вида р(х) = а nхn + а n-1хn-1 + ... + а1x + а0 где аn ≠0, называется многочленом степени п.

Матрицей (точнее числовой матрицей) размера т Х п (произносится «эм на эн») называется таблица чисел, со­держащая т строк и п столбцов.

.Минором Мij квадратной матрицы А называется опре­делитель матрицы, полученной из матрицы А вычеркива­нием i-й строки и j-го столбца.

Нулевая строка — это строка из одних нулей. Ненуле­вая строка содержит хотя бы один ненулевой элемент. Глав­ный элемент строки — это первый слева ненулевой элемент

Неравенство Коши-Буняковского: |(х, у)\ < \х\\у\.

Неравенство треугольника: \х + у\<\х\ + \у\.

Определитель — это число, которое считает­ся для квадратной матрицы по некоторым вполне опреде­ленным правилам.

Порядок определителя — это порядок квадратной матрицы.

Оператор — это отображение ƒ линейного пространст­ва L в себя, то есть ƒ: L → L.

Ортогональные векторы — это векторы, угол между которыми равен 90°, то есть = 0.

Условие ортогональности векторов. Два ненулевых вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их ска­лярное произведение равно 0 (утверждение является вер­ным в обоих направлениях).

Если известны точка М (x0,у0) на прямой т и направля­ющий вектор , параллельный этой прямой, то можно написать каноническое уравнение прямой m:

Расстояние от точки М0 (x0,, y0) до прямой т, за­данной уравнением Аx+Ву+С= 0, вычисляется по формуле:

Ступенчатый вид имеет матрица, у которой:

1)  все ненулевые строки расположены выше нулевых строк;

2)  в каждой строке, начиная со второй, главный элемент расположен правее, чем главный элемент предыдущей строки.

Вектор — это направленный отрезок: А — началь­ная точка вектора, В — конечная точка вектора.

Модуль вектора — это длина отрезка, изображаю­щего вектор: =АВ.

Даны векторы и Скалярное произ­ведение векторов и — это число, которое вычисля­ется по следующему правилу: (соответст­вующие координаты перемножаются и полученные произведения складываются

Схема Горнера позволяет быстро разделить с остатком любой многочлен р(х) на многочлен вида x – с (с=const).

Если при действии линейного оператора f на ненулевой вектор x получается тот же вектор х, умноженный на какое-то число λ, то такой вектор х называется собственным вектором линейного оператора f: f(х) = λx. Число x назы­вается собственным значением.

Уравнение прямой, проходящей через две данные точ­ки М1(x1, у1) и М2(x2, у2) имеет следующий вид:

Уравнением линии (кривой) на плоскости Оху называется уравнение, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии

Математический анализ

Абсолютной величиной (или модулем) действи­тельного числа х называется само число х, если х неотрицательно, и противоположное число ~х, если х отрицательно:

II ( х, если х>0,

1 ' \-х, если х<0,

Функция а(х) называется бесконечно малой вели­чиной при х -» х0, или при х -> со, если ее предел равен нулю:

lim - а(х) =0.

х->х0(оо)

Функция f(x) называется бесконечно большой ве­личиной при х -> х0, если для любого даже сколь угодно большого положительного числа М > 0 найдется такое положительное чис­ло 5 > 0 (зависящее от М, 8 = Ъ(М)), что для всех х, не равных д:0

и удовлетворяющих условию I x — х0 | < 6, будет верно неравенство

\Лх)\> М.

Величина, об­ратная коэффициенту эластичности замещения, показывает приближенно, на сколько процентов изменится отношение пре­дельных продуктов МР(х)/МР(у) при изменении отношения за­трат ресурсов (х/у) на 1 %.

Геометрический смысл про­изводной: производная /'(х0)есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой у=/(х) в точ­ке х0,т. е. k=f'(x0).

Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно Ах часть приращения функции, равная про­изведению производной на приращение независимой переменной

dy =/'(х)Ах

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связы­вающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции.

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид

y'+f(x)y = g(x),

где /(х) и g (x) — некоторые (непрерывные) функции переменной х. В случае, когда функция g {x) тождественно равна нулю, урав­нение называется однородным, в противном случае — неоднород­ным.

Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если оно может быть представлено в виде

y' = g(y/x),

где g — некоторая функция (одной переменной

Дифференциалом функции называется сумма про­изведений частных производных этой функции на приращения со­ответствующих независимых переменных, т. е.

dz= z'xAx + z'yAy

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с по­стоянными коэффициентами имеет вид

У + РУ' + ау=г(х),

Функция /(х) называется непрерывной в точ­ке х0, если она удовлетворяет следующим трем условиям: 1) опре­делена в точке х0 (т. е. существует /(%)); 2) имеет конечный предел функции при х -> х0; 3) этот предел равен значению функ­ции в точке х0, т. е.

lim f(x) = f(x0).

Линией уровня функции двух переменных z =f(x, у) называется множество точек на плоскости, таких, что во всех этих точках значение функции одно и то же и равно С.

Линии уровня функции полезности (они называются кривыми безразличия) (см. § 5.6) также позволяют рассматривать вопросы замещения одного товара другим и иллюстрировать решение задачи об оптимальном потреблении (потребительского выбора

Общим решением дифференциального уравнения его порядка называется такое его решение

>- = Ф(х, С,,...,С„),

которое является функцией переменной х и я произвольных независимых постоянных С,, С2,..., Сп. (Независимость по­стоянных означает отсутствие каких-либо соотношений между ними.)

Производной функции у = /(х) называется предел отношения приращения функции к приращению независимой пере­менной при стремлении последнего к нулю (если этот предел суще­ствует):

.Функция F (х) называется первообразной функци­ей для функции f(x) на промежутке X, если в каждой точке х этого промежутка F'(x) =f(x).

Совокупность всех первообразных для функции /(х) на промежутке X называется неопределенным интегралом от функции /(х) и обозначается jf(x)dx, где J — знак интеграла,

f(x) — подынтегральная функция, f(x)dx — подынтегральное вы­ражение. Таким образом,

\f{x)dx = F(x) + С,

Число А называется пределом функции z =f(x, у) при х -» х0 и у -*у0 (или в точке (х0, у0)), если для любого даже

сколь угодно малого положительного числа s > 0 найдется поло­жительное число 5 > 0 (зависящее от е, 8 = 6(e)), такое, что для всех точек (х, у), отстоящих от точки (х0, у0) на расстояние р, меньшее, чем 81 (т. е. при 0 < р < 8), выполняется неравенство

\f(x, y)-A\<s. Обозначается предел так:

lim f(x, y) = A.

. Число А называется пределом числовой последо­вательности {ап}, если для любого даже сколь угодно малого по­ложительного числа е > 0 найдется такой номер N (зависящий от б, N = N(z)), что для всех членов последовательности с номерами п > N верно неравенство

\ап~А\<е

Портфель ценных бумаг (под портфелем мы здесь будем по­нимать совокупность определенных ценных бумаг в определен-

ных количествах) характеризуется двумя основными параметра­ми — ожидаемой доходностью г и риском если частые производные и'х, и'у— функции полез­ности. Они называются предельными полезностями

Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм

Свойства функций, непрерыв­ных на отрезке:

о

1.  Если функция у = /(х) не­прерывна на отрезке [а, Ь], то она ограничена на этом отрезке (см. рис. 6.10).

2.  Если функция у = / (х) не­прерывна на отрезке [а, Ь], то

она достигает на этом отрезке наименьшего значения т и наи­большего значения М теорема Вейерштрасса

Свойства функций, непрерыв­ных на отрезке:

о

3.  Если функция у = /(х) не­прерывна на отрезке [а, Ь], то она ограничена на этом отрезке (см. рис. 6.10).

4.  Если функция у = / (х) не­прерывна на отрезке [а, Ь], то

она достигает на этом отрезке наименьшего значения т и наи­большего значения М теорема Вейерштрасса

Свойства сходящихся рядов. 1. Если ряд щ+и2+... + ип+... сходится и имеет сумму S, то и ряд Хщ + Хи2 +... + Хип +... (по­лученный умножением данного ряда на число X) также схо­дится и имеет сумму XS.

2. Если ряды щ + и2 + • • • + ип + • • • и Vj + v2 +... + v„ +... сходятся

и их суммы соответственно равны Sy и S2, то и ряд

(И| + V,) + (и2 + v2) +... + (ип + vn) +... (представляющий сумму

данных рядов) также сходится, и его сумма равна 5, +S2.

Точка М( х0, у0) называется точкой максимума (минимума) функции z =f(x, у), если существует окрестность точки М, такая, что для всех точек (х, у) из этой окрестности выполняется неравенство

f(x0,y0) >f(x, y)

Пусть точка (xQ, y0) — есть точка экстремума дифференцируемой функции z = fix,, у). Тогда частные производ­ные fx(xQ, у0) и fy(xQ, уQ) в этой точке равны нулю.

Пусть имеется п переменных величин, и каждому набору их значений (х,, х2, ..., хп) из некоторого множества X соответствует одно вполне определенное значение переменной ве­личины z. Тогда говорят, что задана функция нескольких перемен­ных z = f(x{, ..., х„).

Функция у =/ (х) называется ограниченной на промежутке X, если существует такое положительное число М > 0, что |/(х)| < М для любого х е X. В противном случае функция называется неограниченной.

1.  Функция полезности (функция предпочтений) — в широком смысле зависимость полезности, т. е. результата, эффекта неко­торого действия от уровня (интенсивности) этого действия.

2.  Производственная функция — зависимость результата про­изводственной деятельности от обусловивших его факторов.

3.  Функция выпуска (частный вид производственной функ­ции) — зависимость объема производства от наличия или по­требления ресурсов.

4.  Функция издержек (частный вид производственной функции) — зависимость издержек производства от объема продукции.

5. Функции спроса, потребления и предложения — зависимость
объема спроса, потребления или предложения на отдельные товары
или услуги от различных факторов (например, цены, дохода и т. п.).

Если по некоторому закону каждому натурально­му числу п поставлено в соответствие вполне определенное чис­ло ап, то говорят, что задана числовая последовательность {ап}:

Частным решением дифференциального уравнения называет­ся решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных Сх, С2,..., Сп.

Числовым рядом называется бесконечная последо­вательность чисел щ, и2, ...,ип,... соединенных знаком сложения:

щ + и2+... + ип+...

Числа щ, и2,..., ип,... называются членами ряда, а член ип —

общим или п-м членом ряда

Теория вероятностей и математическая статистика

Бесповторной называют выборку, при которой обращенный объект в генеральную со­вокупность не возвращается

Если выборка правильно отражает соотношения в генеральной совокупности, то ее называют

репрезентативной (предста­вительной).

Понятие генеральной совокупности связано с понятием полного поля элементарных событий. Это поле событий может быть конечным или бесконечным. Полное ноле событий может меняться в зависимости от организации опытов,

Дисперсией случайной величины А' называется математическое ожи­дание квадрата отклонения ее от математического ожидания самой ве­личины:

Величина называется дискретной, если она может принимать опре­
деленные, фиксированные значения

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числа­ми - концами интервала.

Классическое определение вероятности связано с понятием благо­приятствующего исхода. Исход называется благоприятствующим дан­ному событию, если его появление влечет за собой наступление этого события.

Вероятность события А равна отношению числа благоприятству­ющих исходов к общему числу возможных исходов:

Ковариацией, или корреляционным моментом, случайных величин X и У называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин от их математических ожиданий, т. е. смешанный централь­ный момент второго порядка

»xy=M((X-MxKY-My)).

Коэффициентом корреляции г^ случайных величин X к Y называют отношение ковариации к произведению средних Квадратичных отклонений этих величин

Математическим ожиданием дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие ве­роятности:

М(Х) = Мх = XlPl + х^г + ... + *Л = xlfr

Несмещенной называется статистическая оценка в*, математическое" ожидание которой равно оцениваемому параметру А/ (в*) = 0.

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу HQ. Конкурирую­щей (альтернативной) называют гипотезу #,, которая противоречит основной

Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать значения, сколь угодно мало отличающиеся друг от друг

Если при наступлении события А вероятность события В не меняется то события А и В называются независимыми

Плотностью распределения вероятностей /(х) непрерывной - случайной величины Л' называется производная от ее функции распределения вероятностей

f(x) = F'(x).

Для непрерывной двумерной случайной величины функция распределения записывается в виде интеграла:

Р(*,У)= } lf(x, y)dxdy,

где /(%, у) — плотность распределения вероятностей двумерной случайной величины

Под законом больших чисел в теории вероятностей понимается ряд теорем, в каждой из которых устанавливается факт асимптотического приближения. среднего значения большого числа опытных данных к математическому ожиданию случайной величины.

Повторной называют выборку, при которой объект перед отбором следующего возвращается в генеральную совокупность.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точ­ки (х., и,.). По оси абсцисс откладывают точки ж,, а по оси ординат - соответствующие значения nt (частоты)

Смещенной называется оценка 0*, математическое ожидание кото­рой не равно оцениваемому параметру. Так же как и для любой случай­ной величины, оценка 0* может иметь большой или небольшой раз­брос (дисперсию) относительно математического ожидания.

Событие называется случайным, если в результате опыта оно может либо произойти, либо не произойти.

Событие называется достоверным, если ©но обязательно появляется в результате данного опыта, и невозможным, если оно не может поя­виться в этом опыте.

события называются несовместными, /если они вместе не могут
наблюдаться в одном и том же опыте.

Суммой событий 4,, А2, ..., Ап называется событие, состоящее в появ­лении хотя бы одного из этих событий:

Состоятельной называется статистическая оценка, которая при уве­личении объема выборки п стремится по вероятности к оцениваемому параметру

Величина называется случайной, если в результате опыта они может принимать любые заранее неизвестные значения

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же опыте,

.Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. Рас-смотренные выше оценки (хв, dt) точечные

.Критической областью называется область значений критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается. Областью принятия гипотезы на­зывается совокупность значений критерия, при которых гипотеза при­нимается. Критическими точками (границами) k^ называются точки, от­деляющие критическую область от области принятия гипотезы

Критерием согласия называется критерий проверки гипотезы о пред­полагаемом законе неизвестного распределения.

Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обо­значается Р(А/В),

Функция распределения F(x, у) представляет собой вероятность со­бытия (X < х, Y < у), т. е.

F(x, y) = P(X<x, Y<y).

Центральная предельная теорема. Если случайная величина ^представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, вли­яние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то X имеет рас­пределение, близкое к нормальному. •

Чис­ло наблюдений л(. называется частотой, а значение его отношения к объему выборки - относительной частотой:

Эффективной называется статистическая оценка, которая при одних и тех же объемах выборки имеет наименьшую дисперсию

Экономико-математические методы и модели

Базисом опорного решения называется базис системы векторов усло­вий задачи, в состав которого «ходят векторы, соответствующие отлич­ным от нуля координатам опорного решения

Допустимым решением (планом) задачи линейного программирова­ния называется любой n-мерный вектор X =* (х,, хг, ..., хя), удовлетво­ряющий системе ограничений и условиям неотрицательности.

Множество допустимых решений (планов) задачи образует область допустимых решений (ОДР).

Задаче линейного программирования (исходной, или прямой) можно поставить в соответствие другую задачу, которая называется двой­ственной или сопряженной. Обе эти задачи образуют пару двойственных (или сопряженных) задач линейного программирования. Каждая из за­дач является двойственной к другой задаче рассматриваемой пары

Методами математического программирования решаются задачи о распределении ресурсов, планировании выпуска продукции, ценообразовании, транспортные задачи и тл

.Общая задача математического программирования формулируется следующим образом: найти экстремум целевой функции

Z{X) = /{*,, Xj, ..., хя) ~» max (min) ,

и соответствующие ему переменные при условии, что эти переменные удовлетворяют системе ограничений

Оптимальным решением (планом) задачи линейного программирова­ния называется такое допустимое решение (план) задачи, при котором целевая функция достигает экстремума.

В общем случае задача линейного программирования записывается так, что ограничениями являются как уравнения, так и неравенства, а переменные могут быть как неотрицательными, так и произвольно изменяющимися. В Том случае, когда все ограничения являются урав­нениями и все переменные удовлетворяют условию неотрицательно­сти, задачу линейного профаммирования называют канонической

Опорным решением задачи линейного программирования называет­ся такое допустимое решение Х= (х,0, х20,..., х^, 0,..., 0), для которого векторы условий, соответствующие положительным координатам Av А2, .,., Ат, линейно независимы.

Число отличных от нуля координат опорного решения не может быть больше ранга г системы векторов условий (т. е. числа линейно независимых уравнений системы ограничений

Если число отличных от нуля координат опорного решения равно от, то оно (решение) называется невырожденным, в противном слу­чае (меньше /я) — вырожденым.

Переменными задачи называются величины х{, х2, ••-, ха, которые пол­ностью характеризуют экономический процесс. Их обычно записыва­ют в виде вектора X— (*,, хг, ..., хя).~

Симплексный метод — это метод целенаправленного перебора опорных решений задачи

Система ограничений включает в себя систему уравнений и нера­венств, которым удовяетворяюгпврвиениме-залачи и которые следуют из ограниченности ресурсов *ши других экономических или физиче­ских условий, например положительности переменных и т. п.

В транспортных задачах под поставщиками и потребителями пони­маются различные промышленные и сельскохозяйственные предприятия, заводы, фабрики, склады, магазины и т. д. Однородными считаются грузы, которые могут, быть перевезены одним видом транспорта. Под стоимостью перевозок понимаются тарифы, расстояния, время, расход топлива и т. п.

Циклом называется такая последовательность клеток таблицы транспортной задачи (/^у,), </,,уг), (i2J2), • •-, (ik, J{), в которой две и только две соседние клетки расположены в одной строке или столбце, при­чем первая и последняя клетки также находятся в одной строке или столбце.

Числа А называются оценками свободных клеток таблицы или век­торов-условий транспортной задачи, не входящих в базис опорного решения. В этом случае признак оптимальности можно сформулировать так же, как в симплексном методе {для задачи на минимум): опорное решение является оптимальным, если для все Х векторов-условий (клеток таблицы) оценки неположительные

Целевой функцией называют функцию переменных задачи* которая характеризует качество выполнения задачи и экстремум которой требуется найти