Математика 11 класс (стр. 12 )

x = arctg(a) + pk, k Î Z (целые числа).

Общий вид решения уравнения ctg x = a определяется формулой:

x = arcctg(a) + pk, k Î Z (целые числа).

Производная.

Пусть функция y = f(x) определена в промежутке X.

Производной функции y = f(x) в точке хo называется предел

= .

Если этот предел конечный, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке xo; при этом она оказывается обязательно и непрерывной в этой точке.

Физический смысл в том, что производная от пути по времени есть мгновенная скорость движущейся точки при прямолинейном движении s = s(t) в момент t0.

Геометрический смысл производной

1). Производная в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной у = kх +в графику функции y = f(x) в этой точке: f´(x) = k.

2). Производная в точке x 0 равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции y = f(x) в этой точке:

Нахождение производной данной функции f называется диффиренцированием.

Основные правила дифференцирования.

Сумма.

Если функции u и v дифференцируемы в точке х0, то их сумма дифференцируема в этой точке и

(u + v)' = u' + v'.

Коротко говорят: производная суммы равна сумме производных.

Произведение.

Если функции u и v дифференцируемы в точке х0, то их произведение дифференцируемо в этой точке и

(uv)' = u' v+u v'.

Следствие. Если функция u дифференцируема в х0, а С – постоянная, то функция Сu дифференцируема в этой точке и

(Сu)' = Сu'.

Коротко говорят: постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Деление.

Если функции u и v дифференцируемы в точке х0, и функция v не равна нулю в этой точке, то частное их также дифференцируемо в х0:

Таблица производных

1. (um)' = m um-1 u' (m принадлежит R)	8. (tg u)’=
2. (au)' = au lna× u'.	9. (ctg u) =
3. (eu)' = eu u'.	10. (arcsin u) =
4. (log3 u)’ =	11. (arcos u)’ =
5. (ln u)’ =	12. (arctg u)’ =
6. (sin u)' = cos u× u'.	13. (arctg u)’ = -
7. (cos u)' = – sin u× u'.

Прогрессии

Последовательность (aн), каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называется арифметической прогрессией.

Число d – разность прогрессии.

Формула n-го члена арифметической прогрессии:

Формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии:

Последовательность (bн), первый член которой отличен от нуля и каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же отличное от нуля число q, называется геометрической прогрессией.

Число q – знаменатель прогрессии.

Формула n-го члена геометрической прогрессии:

, где

Формулы суммы n членов геометрической прогрессии:

Сумма бесконечной геометрической прогрессии при равна

Геометрия

Основные определения,
теоремы и формулы планиметрии

Признаки параллельности прямых

Две прямые параллельны, если:

внутренние накрест лежащие углы равны: < 3 = < 5;

внешние накрест лежащие углы равны: < 1 = < 7;

соответственные углы равны: <1 = < 5;

сумма внутренних односторонних углов равна 180°: < 2 + < 5= 180°;

сумма внешних односторонних углов равна 180°: < 1 + < 6 = 180°.

Теорема Фалеса Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Треугольник

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (или тремя углами). Стороны треугольника обозначаются часто малыми буквами, которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим противоположные вершины.

Основные свойства треугольников

В любом треугольнике:

1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.

3. Сумма углов треугольника равна 180º.

4. Продолжая одну из сторон треугольника, получаем внешний угол BCD.

Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним:

BCD = A + B.

5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности: a < b + c, a > b – c;

c < a + b, c > a – b.

Признаки равенства треугольников.

Треугольники равны, если у них соответственно равны:

a) две стороны и угол между ними;

b) два угла и прилегающая к ним сторона;

c) три стороны.

Признаки равенства прямоугольных треугольников.

Два прямоугольных треугольника равны, если выполняется одно из следующих условий:

1) равны их катеты;

2) катет и гипотенуза одного треугольника равны катету и гипотенузе другого;

3) гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого;

4) катет и прилежащий острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему острому углу другого;

5) катет и противолежащий острый угол одного треугольника равны катету и противолежащему острому углу другого.

Замечательные линии и точки в треугольнике

Высота треугольника – это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону (или её продолжение). Эта сторона называется основанием треугольника.

Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Ортоцентр остроугольного треугольника (точка O) расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника (точка O) – снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

Медиана – это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Три медианы треугольника (AD, BE, CF) пересекаются в одной точке O, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся его центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Биссектриса – это отрезок биссектрисы угла от вершины до точки пересечения с противоположной стороной. Три биссектрисы треугольника (AD, BE, CF) пересекаются в одной точке О, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром вписанной окружности.

Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам; например, AE: CE = AB: BC.

Серединный перпендикуляр – это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка (стороны). Три серединных перпендикуляра треугольника АВС (KO, MO, NO) пересекаются в одной точке О, являющейся центром описанной окружности (точки K, M, N – середины сторон треугольника ABC).

В остроугольном треугольнике эта точка лежит внутри треугольника; в тупоугольном – снаружи; в прямоугольном – в середине гипотенузы.

Ортоцентр, центр тяжести, центр описанного и центр вписанного круга совпадают только в равностороннем треугольнике.

Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника.

Свойства средней линии

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине:

– при проведении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных исходному с коэффициентом ½

– средняя линия отсекает треугольник, который подобен данному, а его площадь равна одной четверти площади исходного треугольника.

Основные формулы треугольников

Произвольный треугольник

Обозначения:

длины сторон, лежащих против вершин A, B и C, равны a, b, c;

соответственно; a, b, g – величины углов A, B и C;

p – полупериметр;

R – радиус описанной окружности;

r – радиус вписанной окружности;

S – площадь;

h A – высота, проведенная из вершины A

a2 = b2 + c2 – 2b c cosa – теорема косинусов

– теорема синусов.

Формула длины медианы:

Прямоугольный треугольник

Обозначения: a, b – катеты; c – гипотенуза;

ac, bc – проекции катетов на гипотенузу.

a2 + b2 = c2 – теорема Пифагора.

Равносторонний треугольник

Основные формулы четырехугольников

Произвольный четырехугольник. Обозначения: d1 и d 2 – диагонали j – угол между ними S – площадь

– В описанном около окружности четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

– Во вписанном в окружность четырехугольнике суммы противоположных углов равны 180°.

Параллелограмм

Обозначения: a и b – смежные стороны a – угол между ними ha – высота, проведенная к стороне a

– Сумма квадратов дин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин его сторон:

d1 ² + d2 ² = 2(а ² + в²)

Ромб

Прямоугольник

d1 = d2.

Квадрат

Обозначения: d – диагональ

Трапеция

Обозначения: a и b – основания h – расстояние между ними l – средняя линия:

;

– Если равнобедренная трапеция описана около окружности, то ее средняя линия равна боковой стороне.

Основные формулы многоугольников

Описанный многоугольник

Обозначения: p – периметр r – радиус вписанной окружности S = pr.

Правильный многоугольник

Обозначения: an – сторона правильного n-угольника R – радиус описанной окружности r – радиус вписанной окружности ;

Окружность, круг

Обозначения: r – радиус c – длина окружности S – площадь круга: c = 2pr; S = pr2.

Cектор

Обозначения: l – длина дуги, ограничивающей сектор no – градусная мера соответствующего центрального угла

a – радианная мера центрального угла

Окружность, вписанная в угол

Свойство касательных и окружностей – Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла. Радиус окружности перпендикулярен стороне угла и точке касания.

– Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности

Углы в окружности

– Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. – Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом. – Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°. – Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается – Центральный угол, образованный двумя радиусами окружности, измеряется дугой, на которую он опирается.

Основные формулы стереометрии

Произвольная призма

l – боковое ребро; Р – периметр основания; S – площадь основания; H – высота;  – периметр перпендикулярного сечения;  – площадь перпендикулярного сечения;  – площадь боковой поверхности; V – объем

Прямая призма:

Прямоугольный параллелепипед

– его измерения d – диагональ

Куб ( – ребро): .

Произвольная пирамида

, – площади оснований усеченной пирамиды, h – высота, , – периметры оснований, l – апофема

Правильная пирамида Произвольная усеченная пирамида . Правильная усеченная пирамида .

Цилиндр

R-= – радиус основания

Конус

, - радиусы оснований усеченного конуса, l – образующая

Усеченный конус:

Шар, сфера

R = ОМ – радиус шара, S – площадь сферической поверхности

Шаровой сегмент

h – высота сегмента

Шаровой сектор

R = a – радиус

Теорема о трех перпендикулярах

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна к наклонной.

Обратная теореме о трех перпендикулярах

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и её проекции.

Содержание

ВВЕДЕНИЕ.. 3

Как и где готовиться к ЕГЭ?. 3

Как подготовиться к сдаче ЕГЭ. 4

Подготовка к ЕГЭ по математике. 5

Раздел І. ЗАДАЧИ ПРАКТИЧЕСКОГО СОДЕРЖАНИЯ.. 7

Задание B1. 7

Задание B2. 9

Задание B5. 12

Задание B10. 14

Задание В12. 17

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.. 38

Задание В1. 38

Задание В2. 40

Задание В5. 41

Задание В10. 44

Задание В12. 45

Раздел ІІ. ЗАДАНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ, ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ, ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ 51

Задание В3. 51

Задание В7. 53

Задание С3. 54

КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ ЗАДАНИЙ
С РАЗВЕРНУТЫМ ОТВЕТОМ.. 55

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.. 69

Задание В3. 69

Задание В7. 70

Задание С3. 71

Раздел ІΙІ. ТРИГОНОМЕТРИЯ.. 73

Задание B3. 73

Задание B4. 73

Задание B7. 75

Задание С1. 77

КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ ЗАДАНИЯ
С РАЗВЕРНУТЫМ ОТВЕТОМ С1. 77

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.. 80

Задание В3. 80

Задание В4. 80

Задание В7. 81

Задание С1. 82

Раздел ІV. ПРОИЗВОДНАЯ.. 83

Задание 8. 83

Касательная. 89

Задание В11. 97

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.. 99

Задание В8. 99

Задание В

Раздел V. ГЕОМЕТРИЯ.. 106

Задание B6. 106

Задание B9. 107

Задание С2. 113

Задание С4. 119

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.. 124

Задание B6. 124

Задание B9. 129

Задание С2. 131

Задание С4. 132

Раздел VI. ЗАДАНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ.. 133

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.. 141

Раздел VIІ. ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ.. 142

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.. 143

Задание С6. 143

КРАТКИЙ ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ СПРАВОЧНИК.. 144

Условные обозначения. 144

АРИФМЕТИКА.. 145

Обыкновенные дроби. 145

Пропорции. 145

Действия с отрицательными и положительными числами. 145

Деление многочленов. 146

Делимость двучленов. 147

Формулы сокращенного умножения. 147

Разложение многочленов на множители. 148

Степени и корни. 148

Разложение на множители квадратного трёхчлена. 148

Логарифмы и их преобразование. 148

Тригонометрические функции. 148

Тригонометрические формулы. 148

Формулы приведения. 148

Произведения. 148

Суммы. 148

Однопараметрическое представление. 148

Решение простейших тригонометрических уравнений. 148

ГЕОМЕТРИЯ.. 148

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии. 148

Треугольник. 148

Основные формулы треугольников. 148

Основные формулы четырехугольников. 148

Основные формулы многоугольников. 148

Основные формулы стереометрии. 148

Теорема о трех перпендикулярах. 148

Обратная теореме о трех перпендикулярах. 148

Учебное издание

Грекова Ирина Юрьевна

МАТЕМАТИКА
11 класс

Учебное пособие
для слушателей подготовительных курсов ВГУЭС

Подписано в печать 05.10.11. Формат 60´84/16.

Бумага писчая. Печать офсетная. Усл. печ. л..

Уч.-изд. л. Тираж 100 экз. Заказ

________________________________________________________

Издательство Владивостокского государственного университета
экономики и сервиса

Владивосток, ул. Гоголя, 41

Отпечатано во Множительном участке ВГУЭС

Владивосток, ул. Гоголя, 41