Математика 11 класс (стр. 8 )

Площадь этого треугольника будет больше в 4 раза.

Объем воды остался неизменным.

Следовательно, в 4 раза уменьшится высота.

Ответ. 3.

Задача 9

Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в два раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой. Решение Объем цилиндра: V = πR2 h

	Высота	Радиус	Объем
Первая кружка	h	R	πR2h
Вторая кружка	½ · h	2R	π · (2R)2 · ½ h

Получили объем второй кружки:

V = 2πR2 h.

Он в два раза больше объема первой кружки.

Ответ. 2

Задача 10

Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы. Решение Высота меньшей призмы такая же, как и у большой.

Площадь ее основания в 4 раза меньше, так как.

средняя линия треугольника равна половине основания.

Значит, объем отсеченной призмы равен также в 4 раза меньше, чем объем большой призмы, т. е. 8.

Ответ. 8

Задача 11

Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в 3 раза?

Решение Октаэдр представляет собой две сложенные вместе четырехугольные пирамиды. Если все ребра многогранника увеличить в три раза, площадь поверхности увеличится в 9 раз, поскольку 32 = 9. Ответ: 9.

ІV тип. Задачи, в которых надо найти объем части геометрического тела.

Задача 12

Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/π. Решение Изображен не целый цилиндр, а его часть. Из него, как из круглого сыра, вырезали кусок. Надо найти объем оставшегося «сыра».

Вырезан кусок с углом 60 градусов, а 60° – это одна шестая часть полного круга. Значит, от всего объема цилиндра осталось пять шестых.

Объем всего цилиндра:

V = πR2 h = π15² · 5 = 1125π.

Умножаем полученный результат на пять шестых, делим на π, получаем ответ: 937,5.

Ответ. 937,5

Задание С2

Задание С2 имеет повышенный уровень сложности. Необходимо уметь выполнять действия с геометрическими фигурами и телами, координатами и векторами, находить углы и расстояния в пространстве.

Критерии оценивания заданий с развернутым ответом

Содержание критерия	Баллы
Обосновано получен верный ответ	2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Задача 1

В кубе ABCDAlBlCiDl все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки С до прямой BDX.

Решение

Проведем отрезок CDX и опустим перпендикуляр СН на BD1. Искомое расстояние равно высоте СН прямоугольного треугольника BCD, с прямым углом С:

Ответ. .

Задача 2

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны ребра: АВ = 6, AD = S, СС1 = 16.

Найдите угол между плоскостями ABC и A1DB.

Решение

Плоскости ABC и А1DB имеют общую прямую BD. Проведем перпендикуляр АН к 3D. По теореме о трех перпендикулярах А1Нz BD. Значит, угол двугранного угла, образованного плоскостями АВС и А1DB. Из прямоугольного треугольника BAD находим:

Из прямоугольного треугольника А1АН

Значит, искомый угол равен .

Ответ:

Задача 3

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 заданы длины ребер AD = 12, AВ = 5, АА1= 8. Найдите объем пирамиды МВ1С1D, если М – точка на ребре AA1, причем AM = 5. Решение AM=5 и ME^ВС, значит ME=hМ. Треугольник АМЕ подобен треугольнику ABB1, значит

.

Ответ: 50.

Задача 4

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АЗС известны ребра АВ = , SC = 25. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и ВC.

Решение Пусть М и N – середины ребер AS и ВС соответственно. Прямая АS проектируется на плоскость основания и прямую AN. Поэтому проекция точки М – точка М1 – лежит на отрезке AN. Значит, прямая AN является проекцией прямой MN, следовательно, угол MNM1 – искомый.

ММ1 || SO, где О – центр основания, значит, ММ1 – средняя линия треугольника АSO, а потому М1 – середина АО.

Тогда и Из прямоугольного треугольника АММ1 находим:

.

Из прямоугольного треугольника MM1N находим:

Значит, искомый угол равен .

Ответ: .

Задача 5

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1В1С1D1 известны ребра: АВ = 6, AD = S, СС1 = 16.

Найдите угол между плоскостями ABC и A1DB.

Решение Плоскости ABC и A1DB имеют общую прямую BD. Проведем перпендикуляр АН к ВD. По теореме о трех перпендикулярах А1Н^BD. Значит, угол двугранного угла, образованного плоскостями АВС и A1DB. Из прямоугольного треугольника BAD находим:

.

Из прямоугольного треугольника A1AH находим:

.

Значит, искомый угол равен .

Ответ:

Задача 6

Найдите боковую поверхность пирамиды, если площадь основания равна S, а двугранные углы при основании равны α.

Решение

Предположим, что нам задана произвольная n-угольная пирамида СА1 А2... Аn, основанием которой является n-угольник А1 А2... Аn (С – вершина пирамиды). Боковая поверхность пирамиды равна сумме площадей n треугольников.

Sбок = SΔ СА1А2 + SΔ СА2А3 + …+ SΔ САn – 1Аn + SΔ САn А1.

А площадь основания равна сумме площадей n треугольников, являющихся проекциями боковых граней (О – проекция вершины С на плоскость основания):

Рассмотрим отношение между площадями SΔ СА1А2 и SΔ ОА1А2 Пусть CD – высота треугольника СА1A2, OD – высота треугольника OА1A2. Тогда OD – проекция CD на основание пирамиды и (СDO – линейный угол двугранного угла между боковой гранью СA1А2 и основанием OA1A2). Используя формулу площади треугольника, можем записать:

SΔ СА1А2 = ½ × А1 А2 × CD

SΔ ОА1А2 = ½ × А1 А2 × ОD.

Из прямоугольника CDO имеем OD = CD × cosα. Следовательно,

SΔ ОА1А2 = ½ × А1 А2 × СD × сosα. = SΔ СА1А2 × сos α

Аналогичные соотношения будут связывать площадь всех треугольников боковой поверхности и площадь проекций этих треугольников на основание. После сложения этих соотношений приходим к равенству

Sосн = Sбок × сosα.

Отсюда

Ответ.

Задача 7

В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 4 см, а сторона основания – 6 см. Найдите объем пирамиды.

Решение

Рассмотрим пирамиду DABC. В ней AD = BD = CD = 4 см,
АВ = ВС = АС = 6 см.

Объем V вычислим по формуле , где H = DO – высота пирамиды, О – проекция вершины D на основание, совпадающая с точкой пересечения медиан, высот, биссектрис, треугольника ABC.

Из треугольника ВЕС со сторонами ВС = 6 см, ЕС = 3 см находим по теореме Пифагора

Следовательно,

Из прямоугольного треугольника DOB, по теореме Пифагора,

Площадь основания равна

Теперь найдем объем:

Ответ. см3.

Задача 8

Два рамных тара радиуса R расположены так, что центр одного лежит па поверхности другого. Найдите длину линии, по которой пересекаются их поверхности.

Сферы, о которых идет роль в задаче, пересекаются по окружности. Ее центр О расположен на середине радиуса О1О2 данных сфер.

Радиус r этой окружности можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника О1О2, где

О1А = R, Имеем , т. е. . Длина этой окружности равна .

Ответ. .

Задание С4

В задании С4 предложена геометрическая задача из планиметрии. Уровень сложности – повышенный. В задаче необходимо рассмотреть все случаи геометрической конфигурации.

Критерии оценивания заданий с развернутым ответом С4

Содержание критерия	Баллы
Обосновано получен верный ответ	3
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины	2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено значение искомой, неправильное из-за арифметической ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

Задача 1

Боковая сторона АВ трапеции АВСD равна l, а расстояние от середины СD до прямой АВ равно m. Найдите площадь трапеции.

Решение

Площадь трапеции: SABCD = ½(a + b)·h, где a и b – основания трапеции, а h – ее высота. С другой стороны, SABCD = SАВК + SСВК + SАКD 1) Рассмотрим треугольник АВК SABK= ½ (KH⋅AB) = ½ l·m

2) Рассмотрим треугольник СВК

SCBK = ½(KG⋅BC) = ¼ (h⋅BC),

где GF – высота трапеции, GK = KF по теореме Фалеса, GK = KF = ½ h)

3) Рассмотрим треугольник АКD

SAKD = ½ (KF⋅AD) = ¼ (h⋅AD)

4)

SABCD = SАВК + SСВК + SАКD = ½ l·m +½(½h⋅BC + ½(h⋅AD) =
= ½ l·m +½·½h(ВС + АD) = ½ l·m + ½ SABCD;

SABCD = ½ l·m + ½ SABCD;

SABCD – ½ SABCD = ½ l·m;

½ SABCD = ½ l·m;

SABCD = l·m

Ответ. Sтрап = lm

Задача 2

Дан угол ABC, равный 300. На его стороне BA взята точка D такая, что AD = 2 и BD = 1. Найти радиус окружности, касающейся прямой BC и проходящей через точки A и D.

Решение

Центр О искомой окружности принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку AD. Обозначим буквой P середину AD, буквой Q – основание перпендикуляра, опущенного на прямую BC из точки O, буквой E – точку пересечения прямой BC и серединного перпендикуляра.

Отрезки OA, OD, OQ равны радиусу R окружности.

Заметим, что точка О не может лежать по ту же сторону от прямой АВ, что и точка Е, так как расстояние от точки О до прямой ВС меньше, чем расстояние от нее до точки А.

Из прямоугольного треугольника ВРЕ с катетом ВР = 2 и углом
В = 30º находим, что

.

Так как OA = R и AP = 1, получим:

и, следовательно,

Из прямоугольного треугольника OQE, в котором угол E = 600, находим:

Таким образом, получаем следующее уравнение для R:

Данное уравнение легко приводится к квадратному возведением в квадрат левой и правой частей и приведением подобных членов.

R2 – 8R + 7 = 0

Решив данное уравнение, получим R1=1, R2=7.

Ответ. 1 или 7.

Задача 3

В треугольнике ABC АВ = 1, ВС = 9, СА = 4. Точка D лежит на прямой ВС так, что BD : DC = 1 : 5. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках Е и F. Найдите длину отрезка EF.

Решение

Пусть AD = d, BD = х, DC = у. Подсчитывая разными способами периметры треугольников ADC и ABD, получаем: , . Возможны два случая.

1. Точка D лежит на отрезке ВС. Тогда х = 1,5, y = 7,5. Значит, . 2. Точка D лежит вне отрезка ВС. Тогда , . Значит EF = 6.

Ответ. 4,5 или 6.

Задача 4

В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ЕВС точками М и N так, что ВМ: MN =1:2. найдите ВС, если
АВ = 12.

Решение Пусть Е – точка пересечения биссектрис, ВМ = х, MN = y, NC = z. Так как , то точка М лежит между точками В и N, возможны 2 случая. 1. Точка Е – внутри параллелограмма. Треугольники ABN и DMC равнобедренные, x + y = 12 = y + z, следовательно , откуда y = 8, z = x = 4, ВС = 2х + y = 48.

Ответ. 16 или 48.

Задача 5

Четырехугольник ABCD описан около окружности и вписан в другую окружность. Прямые AD и ВС пересекаются в точке М. Найдите периметр треугольника АВМ, если известно, что АВ= а и CD = b.

Решение

Возможны два случая

1 случай. Четырехугольник ABCD описан около окружности, следовательно, AD – ВС = АВ + CD = а + b. Четырехугольник ABCD вписан в окружность, значит, . Но , откуда , следовательно,  ~ с коэффициентом подобия .

Обозначим через Р периметр треугольника АВМ, тогда периметр CDM равен P – AD – AB – BC + CD = P – a – (a + b) + b = P – 2a. Поскольку Р : Р = a : b, далее получаем: , .

2 случай. Аналогично случаю 1 имеем:

, , откуда

Ответ: или .

Задачи для самостоятельного решения

Задание B6

Задача 1. Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите скалярное произведение векторов  и .

Задача 2. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора + .

Задача 3. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (2; 2), (8; 10), (8; 8).

Задача 4. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника ABCD, вершины которого имеют координаты соответственно (-2, -2), (6, -2), (6, 4), (-2, 4).

Задача 5. Найдите ординату точки пересечения прямых, заданных уравнениями 3х + 2у = 6 и у = – х.

Задача 6. Найдите угловой коэффициент прямой, заданной уравнением 3х + 4у = 6.

Задача 7. Окружность с центром в начале координат проходит через точку P(8, 6). Найдите ее радиус.

Задача 8. Точки O(0, 0), A(6, 8), B(8, 2) являются вершинами треугольника. Найдите длину его средней линии CD, параллельной OA.

Задача 9. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см × 1 см изображена фигура. Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

Задача 10. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1;6), (9;6), (10;9).

Задача 11. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (6;3), (9;4), (10;7), (7;6).

Задача 12..Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1.

Задача 13. Найдите площадь параллелограмма, если две его стороны равны 8 и 10, а угол между ними равен 300.