Математика 11 класс (стр. 1 )

Министерство образования и науки Российской Федерации

Владивостокский государственный университет

экономики и сервиса

________________________________________________________

И. Ю. ГРЕКОВА

МАТЕМАТИКА
11 класс

Учебное пособие
для слушателей подготовительных курсов ВГУЭС

Владивосток

Издательство ВГУЭС

2011

УДК 51

ББК 22.11

Г 80

Грекова, И. Ю.

Г 80 МАТЕМАТИКА. 11 класс [Текст] : учебное пособие для слушателей подготовительных курсов ВГУЭС. – Владивосток: Изд-во ВГУЭС, 2011. – 180 с.

Пособие содержит необходимый материал рекомендаций учащимся для самостоятельной подготовки к Единому государственному экзамену по математике.

Данное пособие предназначено для выпускников средних общеобразовательных учебных заведений и абитуриентов вузов.

УДК 51

ББК 22.11

© Издательство Владивостокского
государственного университета

экономики и сервиса, 2011

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время такая информация широко представлена на различных сайтах web-сети и других носителях. В данный сборник включены наиболее удачные из этих материалов, а также авторские разработки, позволяющие повторить и обобщить необходимые разделы математики, проанализировать типичные ошибки заданий ЕГЭ, отработать навыки решения всех типов задач: от В1 до С6.

Задания для самостоятельного решения составлены в соответствии с нормативными требованиями к Единому государственному экзамену по математике.

В сборнике также содержится справочный материал.

Как и где готовиться к ЕГЭ?

Можно заниматься индивидуально или в группах с преподавателями высших учебных заведений, сейчас такую подготовку активно предлагают подготовительные курсы различных вузов. Во Владивостокском государственном университете экономики и сервиса подготовку к ЕГЭ можно осуществить на:

– 8-месячных подготовительных курсах (с 1 октября);

– 8-месячных подготовительных курсах (с 1 февраля);

– 7-месячных подготовительных курсах (с 1 ноября) – заочно.

Подготовка к ЕГЭ предполагает не столько изучение (или повторение) содержания, сколько анализ тестовых заданий. Преподаватели курсов максимально эффективно помогут подготовиться к ЕГЭ. Почему такая подготовка не проводится во время школьных уроков? Потому что сейчас программа по предмету дается без учета формы аттестации.

Подготовка к ЕГЭ проводится в виде занятий, на которых Вы не будете заново изучать всю программу по предметам. Вы узнаете о тех особенностях тестирования, которые позволят Вам получить максимум баллов. На курсах подготовка ориентирована не просто на экзамен, а именно на сдачу ЕГЭ. Это значит, что Вы во время обучения:

– получите навыки тестирования;

– поймете особенности формулировок заданий;

– научитесь распределять время на выполнение тестовых заданий;

– узнаете о самых распространенных ошибках;

– узнаете, какими критериями руководствуются эксперты при проверке тестовых заданий;

– узнаете, по каким темам больше всего вопросов в тестах

– сможете проследить эффективность подготовки к экзамену, благодаря индивидуальному МОНИТОРИНГУ работы по каждому предмету.

Занятия сопровождаются Интернет-поддержкой и мониторингом обучения.

Как подготовиться к сдаче ЕГЭ

Накануне экзамена. Многие считают, для того, чтобы полностью подготовиться к экзамену, не хватает всего одной, последней перед ним ночи. Это неправильно. Ты уже устал, и не надо себя переутомлять. Напротив, с вечера перестань готовиться, прими душ, соверши прогулку. Выспись как можно лучше, чтобы встать отдохнувшим, с ощущением своего здоровья, силы «боевого» настроя. Ведь экзамен – это своеобразная борьба, в которой нужно проявить себя, показать свои возможности и способности. В пункт проведения экзамена ты должен явиться, не опаздывая, лучше за полчаса до начала тестирования. При себе нужно иметь пропуск, паспорт и несколько (про запас) гелевых или капиллярных ручек с черными чернилами.

Несколько универсальных рецептов для более успешной тактики выполнения тестирования.

Сосредоточься!

После выполнения предварительной части тестирования (заполнения бланков), когда ты прояснил все непонятные для себя моменты, постарайся сосредоточиться и забыть про окружающих. Для тебя должны существовать только текст заданий и часы, регламентирующие время выполнения теста. Торопись не спеша! Жесткие рамки времени не должны влиять на качество твоих ответов. Перед тем, как вписать ответ, перечитай вопрос дважды и убедись, что ты правильно понял, что от тебя требуется.

Начни с легкого!

Начни отвечать на те вопросы, в знании которых ты не сомневаешься, не останавливаясь на тех, которые могут вызвать долгие раздумья. Тогда ты успокоишься, голова начнет работать более ясно и четко, и ты войдешь в рабочий ритм. Ты как бы освободишься от нервозности, и вся твоя энергия потом будет направлена на более трудные вопросы. Пропускай! Надо научиться пропускать трудные или непонятные задания. Помни, в тексте всегда найдутся такие вопросы, с которыми ты обязательно справишься. Просто глупо недобрать очков только потому, что ты не дошел до «своих» заданий, а застрял на тех, которые вызывают у тебя затруднения.

Читай задание до конца!

Спешка не должна приводить к тому, что ты стараешься понять условия задания «по первым словам» и достраиваешь концовку в собственном воображении. Это верный способ совершить досадные ошибки в самых легких вопросах.

Думай только о текущем задании!

Когда ты видишь новое задание, забудь все, что было в предыдущем. Как правило, задания в тестах не связаны друг с другом, поэтому знания, которые ты применил в одном (уже, допустим, решенном тобой), как правило, не помогают, а только мешают сконцентрироваться и правильно решить новое задание. Этот совет дает тебе и другой бесценный психологический эффект – забудь о неудаче в прошлом задании (если оно оказалось тебе не по зубам). Думай только о том, что каждое новое задание – это шанс набрать очки.

Запланируй два круга!

Рассчитай время так, чтобы за две трети всего отведенного времени пройтись по всем легким заданиям («первый круг»). Тогда ты успеешь набрать максимум очков на тех заданиях, а потом спокойно вернуться и подумать над трудными, которые тебе вначале пришлось пропустить («второй круг»).

Не огорчайся! 

Стремись выполнить все задания, но помни, что на практике это нереально. Учитывай, что тестовые задания рассчитаны на максимальный уровень трудности, и количество решенных тобой заданий вполне может оказаться достаточным для хорошей оценки

Подготовка к ЕГЭ по математике

С 2009 года Единый Государственный Экзамен – основная форма государственной аттестации выпускников школ Российской Федерации, результаты которой принимают все вузы России. Поэтому, чтобы стать студентом, необходимо успешно сдать ЕГЭ. В 2011 году ЕГЭ по математике состоит из двух частей, которые различаются по содержанию, сложности и числу заданий. В Части 1 ученик должен дать краткий ответ, а в Части 2 - развернутый.

Часть 1 экзаменационной работы определяет математическую компетентность выпускника. Часть 2 включает 6 заданий, в числе которых 4 задания повышенного и 2 задания высокого уровня сложности, эта часть помогает вузам дифференцировать абитуриентов.

Все тестовые задания по математике можно сгруппировать по основным разделам школьной математики:

Раздел I	Раздел II	Раздел III	Раздел IV	Раздел V	Раздел VI	Раздел VII
Практические задачи	Показательные, логарифмические, иррациональные выражения	Тригонометрия	Производная	Геометрия	Параметры	Теория чисел
В1 В2 В5 В10 В12	В3 В7	В3 В4 В7	В8 В11	В4 В6 В9
	Комбинированные уравнения, неравенства, системы С1 С3	С2 С4	С5	С6

Повторение математики и подготовку к экзамену можно осуществлять по этим разделам, продвигаясь «от простого к сложному» и развивая умения выполнять задания более высокого уровня сложности.

Ниже мы приводим основные типы задач B1 – B12, С1 – С6, методы их решения, задачи для самостоятельного выполнения.

Раздел І. Задачи практического содержания

Задание B1

В задании B1 ученик должен продемонстрировать умение применять математические методы для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Для этого он должен уметь правильно оценить поставленную задачу и безошибочно выполнить расчеты по формулам. Важно правильно интерпретировать полученный результат с учетом реальных жизненных ограничений. Для успешного решения задания B1 ученик должен выполнить простые арифметические действия и оперировать целыми числами, использовать дроби, проценты, рациональные числа.

Типичные ошибки

1. Округление не в ту сторону. Нужно помнить, что: округляем в меньшую сторону, если надо найти количество предметов, купленных на заданную сумму, в большую сторону – если надо рассчитать количество каких-либо предметов, которых должно хватить на заданное количество человек;

2. Путаница с процентами: когда надо повышать – понижают и наоборот. Здесь лучше всего составить соотношение между заданными величинами и затем перейти к пропорции.

Рекомендации

1. Прочитайте в справочных материалах раздел «Обыкновенные дроби. Пропорции. Процент»

2. Разберите предложенные ниже решения типовых задач;

3. Прорешайте задачи, помещенные в конце раздела.

Задача 1

Теплоход рассчитан на 1000 пассажиров и 30 членов команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить 50 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить всех пассажиров и всех членов команды?

Решение

Всего на теплоходе 1000 + 30 =1030 человек. Чтобы вычислить наименьшее число шлюпок, разделим всех людей на борту теплохода на вместимость одной шлюпки.

1030 : 50 = 20,6

Понадобится 21 шлюпка на теплоходе, чтобы в случае необходимости разместить всех пассажиров и всех членов команды.

Ответ: 21 шлюпка.

Задача 2

Цена на автобусный билет – 15 рублей. Сколько билетов можно будет купить на 100 рублей после того, как цена на билет будет повышена на 20%?

Решение

Очевидно, что решение данной задачи нужно начинать с нахождения новой цены на билет. То есть той, которая установится после повышения цены на 20%. Найдем новую цену на билет.

1) Находим 20% от 15 рублей.

По определению, 1% – это сотая доля. То есть, для того, чтобы найти 20% от 15 рублей, нужно 15 рублей разделить на 100 и умножить на 20.

Находим: 15 : 100 · 20 = 3. Таким образом, 20% от 15 рублей – это 3 рубля.

2) Чтобы найти новую цену прибавим полученные 3 рубля к старой цене билета в 15 рублей. Получаем, что новая цена на билет составит 18 рублей.

3) Определим, сколько билетов по новой цене можно купить на 100 рублей:

100 : 18 = 5,55…

Т. е. на 100 рублей можно купить 5 билетов (и 10 рублей - сдача, которой не хватает еще на один билет по 18 рублей).

Ответ. 5 билетов.

Замечание. Можно вычислить новую цену билета, составив пропорцию:

15 руб. – 100%

х руб. – 120%

Отсюда:

Задача 3

Свежие фрукты содержат 78% воды, а сухие – 12% воды. Сколько кг сухофруктов получится из 40 кг свежих фруктов?

Решение

40 кг свежих фруктов содержат 78% воды и 22% сухого вещества или

40 · 0,78 = 31,2 (кг)

40 · 0,22 = 8,8 (кг)

40 кг = 31,2 кг + 8,8 кг

общий вес вода сухое кол-во

Сухофрукты состоят из 12% воды и 88% сухого вещества или 8,8 кг.

Значит, 8,8 кг составляет 88% от всего веса сухофруктов,

т. е. 8,8 : 0,88 = 10(кг)

Ответ. 10 кг.

Задание B2

Задание B2 направлено на чтение графических функций (график характеризует изменение в зависимости от времени некоторой величины), обычно, в задании требуется найти наибольшее или наименьшее значение этой величины. В этом задании ученик демонстрирует использование математических знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни.

Для успешного решения задания B2 ученик должен уметь:

• определять значение функции при различных способах задания функций;

• находить по графику функции наибольшие и наименьшие значения;

• строить графики изученных функций;

• описывать с помощью функций различные зависимости и читать их графики;

• пользоваться информацией, представленной в виде таблиц и графиков.

Типичные ошибки

1. Учащиеся путают горизонтальную и вертикальную оси.

2. Находят значение величины на всем графике при условии, что искать надо было на заданном интервале.

3. Неправильно вычисляют масштаб – не всегда одно деление есть одна единица.

При нахождении количества дней (часов, месяцев и т. д.), соответствующих заданным условиям, просто отнимают от более поздней даты более раннюю и теряют один день (час, месяц и т. д.).

Рекомендации

1. Разберите предложенные ниже решения типовых задач;

2. Прорешайте задачи, помещенные в конце раздела.

Задача 1

На графике показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток, начиная с 0 часов 11 июля. На оси абсцисс отмечается время суток, на оси ординат – значение температуры в градусах. Определите по графику, до какой наибольшей температуры прогрелся воздух 13 июля. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Решение

Вертикальными линиями отмечено интересующее нас 13 июля. Горизонтальная линия проведена к наибольшей температуре, до которой прогрелся воздух в этот день, это 9°С.

Ответ: 9°С.

Задача 2

Первый посев семян петрушки рекомендуется проводить в апреле при дневной температуре воздуха не менее +6° С. На рисунке показан прогноз дневной температуры воздуха в первых трех неделях апреля.

Определите, в течение скольких дней за этот период можно производить посев петрушки.

Решение

Горизонтальной линией отмечено 6°С. В дни, когда температура выше этой линии, можно сеять петрушку.

Такие дни отсечены вертикальными линиями, с 9 по 19 апреля, т. е. 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 апреля = 11 дней.

Ответ. 11 дней.

Задача 3

На графике, изображенном на рисунке, представлено изменение биржевой стоимости акций нефтедобывающей компании в первые две недели сентября. 3 сентября бизнесмен приобрел 10 акций этой компании. Шесть из них он продал 10 сентября, а 12 сентября продал остальные 4. Сколько рублей потерял бизнесмен в результате этих операций?

Решение

3 сентября.

Цена акций (определяем по графику) составляет 800 рублей. Куплено 10 акций.

800 · 10 = 8000 (руб.)

10 сентября.

Цена акций – 400 рублей. Продано 6 акций.

400 · 6 = 2400 (руб.)

12 сентября.

Цена акций – 600 рублей. Продано 4 акции.

600 · 4 = 2400 (руб.)

В результате этих операций потеряно:

800 – 2400 – 2400 = 3200 (руб.)

Ответ: 3200 рублей.

Задание B5

Задание B5 на преобразование выражений и выполнение простых арифметических операций. Для успешного выполнения задания необходимо продемонстрировать навыки применения математических методов для решения прикладных задач, в том числе социально-экономического и физического характера. Важно правильно интерпретировать полученный результат с учетом жизненных ограничений.

Типичные ошибки

1. Неверный перевод единиц измерения или отсутствие его;

2. Игнорирование дополнительных условий (бесплатных бонусов: доставка, скидки)

3. Анализ только одного из предложенных условий.

Рекомендации

1. Разберите предложенные ниже решения типовых задач;

2. Прорешайте задачи, помещенные в конце раздела.

Задача 1

Интернет-провайдер (компания, оказывающая услуги по подключению к сети Интернет) предлагает три тарифных плана.

Пользователь предполагает, что его трафик составит 600 Mb в месяц и, исходя из этого, выбирает наиболее дешевый тарифный план. Сколько рублей заплатит пользователь за месяц, если его трафик действительно будет равен 600 Mb?

Тарифный план	Абонентская плата	Плата за трафик
1. План «0»	Нет	2,5 руб. за 1 Mb
2. План «500»	550 руб. за 500 Mb трафика в месяц	2 руб. за 1 Mb сверх 500 Mb
3. План «800»	700 руб. за 800 Mb трафика в месяц	1,5 руб. за 1 Mb сверх 800 Mb

Решение

1. Рассчитаем, сколько заплатит пользователь Интернет-провайдеру по тарифному плану «0». Так как абонентской платы нет, интернет обойдется:

600 · 2,5 = 1500 (руб.)

По тарифному плану «0» за месяц пользователь заплатит 1500 рублей.

2. Рассчитаем, сколько заплатит пользователь по тарифному плану «500».

В абонентскую плату входит 500 Mb трафика. Сверх абонентской платы пользователь должен оплатить еще 100 Мb по 2 рубля за 1 Mb:

2 · 100 = 200 (руб.)

Итого, пользователь должен заплатить: 550 + 200 = 750 (руб.).

3. Рассчитаем, сколько заплатит пользователь по тарифному плану «800».

Так как трафик, который пользователь планирует использовать в месяц полностью входит в абонентскую плату, то по тарифному плану «800» пользователь заплатит 700 рублей.

Наиболее дешевый тарифный план для пользователя – план «800».

Ответ: 700 рублей.

Задача 2

Из пункта А в пункт D ведут три дороги. Через пункт В едет грузовик со средней скоростью 44 км/ч, через пункт С едет автобус со средней скоростью 50 км/ч. Третья дорога – без промежуточных пунктов, и по ней движется легковой автомобиль со средней скоростью 62 км/ч. На рисунке показана схема дорог и расстояние между пунктами по дорогам.

Все три автомобиля одновременно выехали из А.

Какой автомобиль добрался до D позже других?

В ответе укажите, сколько часов он находился в дороге.

Решение

Время нахождения в пути грузовика: (48 + 73) : 44 = 2,75(ч.)

Время нахождения в пути автобуса: (75 + 50) : 50 = 2,5 (ч.)

Время нахождения в пути легкового автомобиля: 124 : 62 = 2 (ч.)

Дольше всех в пути был грузовик, затратил на дорогу 2,75 часа.

Ответ: 2,75 часа.

Задание B10

В задании В10 ученик должен показать умение составлять неравенство с помощью предложенных в задаче формул и дополнительных условий. Реальные задания условно можно разделить на 2 группы:

– экономические;

– физические.

Причем во вторую группу включены задачи из различных разделов школьной физики: от механики до астрономии. Поэтому для правильного выбора ответа необходимо уметь оценивать физический смысл полученных результатов. Числа в результате часто не очень красивые, но ответ в любом случае должен получиться в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

Типичные ошибки

1. Неверная оценка полученных результатов: неправильно выбран один из корней квадратного уравнения, не найдена разность корней;

2. Вычислительные ошибки в подсчетах.

3. Неверный перевод единиц измерения или отсутствие его.

Рекомендации

1. Повторите правила знаков, действия с дробями, действия со степенями, решение квадратных неравенств;

2. Разберите предложенные ниже решения типовых задач;

3. Прорешайте задачи, помещенные в конце раздела.

Задача 1

Камень был подброшен вверх вертикально. Пока он не упал, высота, на которой находится камень, описывается формулой:

h(t) = -5t2 + 18t,

где h – высота в метрах, t – время в секундах, которое прошло с момента броска). Определить, сколько времени камень был на высоте более 9 метров.

Решение

Очевидно, что камень может не долететь до отметки 9 метров, перелететь (и тогда отметку 9 метров он пролетит дважды – когда будет лететь вверх и когда вниз), либо один раз – если высота его полета составит ровно 9 метров. Составим и решим уравнение:

-5t2 + 18t = 9,

5t2 – 18t + 9 = 0,

D = 324 – 180 = 144,

,

t1 = 3,

t2 = 0,6.

Таким образом, отметку в 9 метров камень пролетает дважды: на 0,6 и 3 секундах. Отсюда следует, что на высоте более 9 метров камень находился 2,4 секунды:

3 – 0,6 = 2,4 (с.).

Ответ. 2,4 секунды.

Задача 2

При температуре 00С рельс имеет длину lo =10 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону

,

где α = 1,2×10-5(оС)-1 – коэффициент теплового расширения, t – температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 6 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

Решение

Нужно найти, при какой температуре рельс удлинится на 6 мм.

l – l0 = l (1 + αt) – l0 = l0αt,

l0αt = 0,006.

Ответ: 50°C.

Задача 3

Для одного из предприятий-монополистов зависимость объёма спроса на продукцию q (единиц в месяц) от её цены p (тыс. руб.) задаётся формулой:

q = 140 – 10p.

Определите максимальный уровень цены p (в тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц r = q · p составит не менее 480 тыс. руб.

Решение

Подставим в значение выручки:

r = q · p

зависимость объёма спроса на продукцию q от её цены p:

q = 140 – 10p.

Получим зависимость выручки от цены:

r = (140 – 10p)· p.

По условию задачи выручка больше 480 тыс. руб.

(140 – 10p)· p ≥ 480,

-10p² + 140p – 480 ≥ 0,

p² – 14p + 48 ≤ 0.

Корни квадратного уравнения: 6 и 8.

Отрезок [6;8] удовлетворяет условию неравенства. А 8 максимальная цена, при которой неравенство выполняется.

Ответ: 8 тыс. руб.

Задача 4

Некоторая компания продает свою продукцию по цене p = 700 руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют v = 300 руб., постоянные расходы предприятия
f = руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле:

π(q) = q(p – v) – f .

Определите наименьший месячный объём производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет не меньше руб.

Решение

Найдем наименьший объем производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет не меньше руб.

π(q) = q(p – v) – f ≥ 700000.

Подставим значения из условия задачи.

q (700 – 300) – 500000 ≥

200q ≥ 1

q ≥ 3000.

Ответ: наименьший месячный объем производства 3000 единиц продукции.

Задание В12

При решении задания B12 от ученика потребуется навык работы с задачами на составление уравнений и систем уравнений. Основные группы задач, представленные в ЕГЭ:

1. Задачи на движение

·  по прямой (навстречу и вдогонку)

·  по замкнутой трассе

·  по воде

·  на среднюю скорость

·  протяженных тел

2. Задачи на производительность

·  задачи на работу

·  задачи на бассейны и трубы

3. Задачи на проценты, концентрацию, части и доли

·  Задачи на проценты и доли

·  Задачи на концентрацию, смеси и сплавы

4. Задачи на прогрессии

Методы решения этих задач имеют много общего и одновременно некоторые специфические особенности.

Алгоритм решения текстовых задач

·  Ввод переменных, т. е. обозначение буквами x, y, z,... величины, которые требуется найти по условию задачи.

·  Перевод условий задачи на язык математических соотношений, т. е. составление уравнений, неравенств, введение ограничения.

·  Решение уравнений или неравенств.

·  Проверка полученных решений на выполнение условий задачи.

Указания к решению текстовых задач

·  Набор неизвестных должен быть достаточным для перевода условий задачи на язык математических соотношений. Как правило, за неизвестные следует принимать искомые величины.

·  Выбрав неизвестные, в процессе перевода условий задачи в уравнения или неравенства необходимо использовать все данные и условия задачи.

·  При составлении уравнений или неравенств необходимо исходить из требования о решении задачи в общем виде.

·  В составленных уравнениях надо проверить размерность членов уравнений

·  В процессе решения задачи, надо избегать результатов, противоречащих физическому смыслу.

При решении задач на движение принимают такие допущения:

·  движение считается равномерным, если нет специальных оговорок; изменение направления движения и переходы на новый режим движения считаются происходящими мгновенно;

·  если два тела начинают движение одновременно (если одно тело догоняет другое), то в случае, если они встречаются, каждое тело с момента выхода и до встречи затрачивает одинаковое время;

·  если тела выходят в разное время, то до момента встречи из них затрачивает время больше то, которое выходит раньше;

·  все величины, как правило, положительные (в природе скорость расстояние и время положительны), поэтому можно смело умножать, делить и возводить в квадрат получающиеся уравнения и неравенства, не делая необходимых в таких случаях оговорок.

	Скорость v	Время t	Расстояние s
1 объект			S = v · t
2 объект

После внесения данных, нужно составить уравнения, содержащие искомую величину, исходя из условий задачи.