Математика 11 класс (стр. 2 )

Задача 1

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 77 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 4 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 4 часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

Решение

Пусть скорость велосипедиста в первый день – x. Составим таблицу для каждого дня:

Приравняем время, потраченное на дорогу в первый и во второй день, так как он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В.

77(х + 4) = 77х + 4х(х + 4),

4х2 + 16х – 308 = 0,

.

Получили корни: -11 и 7. Корень -11 не удовлетворяет условию задачи, так как скорость не может быть отрицательной. Следовательно, скорость велосипедиста равна 7 км/ч.

Ответ: 7 км/ч.

Задачи на движение навстречу друг другу и движение вдогонку.

В первой модели рассматривается совместная скорость сближения, как сумма двух скоростей и поэтому время сближения считается по формуле (1):

.

Во второй модели время, за которое объект, идущий сзади с большей скоростью v1, догонит другой объект, идущий с меньшей скоростью v2, считается по формуле (2):

,

где S – расстояние между объектами в начальный момент времени.

Задача 2

Из городов А и В, расстояние между которыми 480 км, навстречу друг другу выехали два автомобиля. Из города А со скоростью 55 км/ч, а из города В со скоростью 65 км/ч. Найдите расстояние от города А где они встретятся.

Решение

Так как автомобили двигаются навстречу друг другу, время до встречи рассчитаем по первой формуле:

Расстояние от города А до места встречи равно S = 4 · 55 = 220 км.

Ответ. 220 км.

Задача 3

Два пешехода отправляются из аптеки в одном направлении на прогулку по набережной. Скорость первого на 0,5 км/ч больше скорости второго. Найдите время в минутах, когда расстояние между ними станет 200 м.

Решение

Разность скоростей пешеходов (v1 – v2) задана условием задачи и равна 0,5 км/ч. Поэтому время (в часах), за которое расстояние между пешеходами будет равно 200 м, т. е. 0,2 км, рассчитаем по второй формуле:

Переведем время из часов в минуты:

.

Значит, через 24 минуты расстояние между пешеходами будет равно 200 м.

Ответ. 24 минуты.

Движение по замкнутой трассе (например, по стадиону) похоже на движение вдогонку. Если два бегуна начинают двигаться по окружности одновременно с разными скоростями, соответственно v1 и v2
(v1 v2), то первый бегун приближается ко второму бегуну со скоростью (v1 – v2) и в момент, когда первый бегун догоняет второго бегуна, то первый бегун как раз проходит на один круг больше второго. И поэтому время считается так же. Как и в случае прямолинейного движения вдогонку (т. е. по формуле (2)).

Задача 4

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 16 км, в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч и через 40 минут после старта, он опережает второй автомобиль ровно на один круг. Найдите скорость второго автомобиля.

Решение

Примем скорость второго автомобиля за x км/ч и учтем, что 40 минут составляют 2/3 часа, тогда

,

,

2(80 – x ) = 16 · 3,

x = 56.

Ответ. 56 км/ч.

В задачах на движение по воде скорость реки считается постоянной и неизменной.

При движении по течению скорость реки прибавляется к собственной скорости плывущего тела, так как скорость реки помогает двигаться телу.

При движении против течения от собственной скорости вычитается скорость реки (реально собственная скорость тела больше скорости реки), так как в этом случае скорость реки мешает движущемуся телу.

Скорость плота считается равной скорости реки.

Скорость перемещения тела v по воде, при скорости течения реки vр и собственной скорости движения vс, выражается:

1. v по течению = vс + vр при движении тела по течению реки.

2. v против течения = vс−vр при движении тела против течения реки.

Замечание 1

Разность скоростей по течению и против течения реки равна удвоенной скорости течения

v по течению − v против течения = 2Vр.

Замечание 2

Формула нахождения собственной скорости тела.

v с = 0,5(2v по течению + v против течения)

Задача 5

Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 25 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длилась 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 30 часов после отплытия из него.

Определить сколько километров теплоход прошел за весь рейс.

Решение

Заполним таблицу данными из условия задачи:

собственная скорость теплохода vс = 25 км/ч,

скорость течения реки vр = 3 км/ч,

v по течению = vс + vр = 28 км/ч,

v против течения = v − vр = 22 км/ч.

	Скорость v	Время t : (t = s/v)	Расстояние s
по течению	v по течению = 28	t по течению = х 28	x
против течения	v против течения = 22	t против течения = х 22	x

Зная, что стоянка длилась 5 часов, а на весь путь затрачено 30 часов, составим уравнение:

.

Решая его, получим х = 308 км. Это путь туда и обратно. Следовательно, искомый путь вдвое короче, т. е. 616 километров.

Ответ. 616 км.

В задачах на движение протяжных тел требуется определить длину одного из них. Наиболее типичные ситуации: определение длины поезда проезжающего мимо

– придорожного столба

– идущего параллельно путям пешехода

– лесополосы определенной длины

– другого двигающегося поезда

Если поезд движется мимо столба, то он проходит расстояние равное его длине.

Если поезд движется мимо протяженной лесополосы, то он проходит расстояние равное сумме длины самого поезда и лесополосы.

Задача 6

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 30 секунд. Найти длину поезда в метрах.

Решение

Зная скорость движения v = 60 км/ч = 1000 м/мин и время, за которое он проезжает мимо столба t = 30 сек. = 21мин, можно найти длину поезда как пройденное расстояние:

S = v · t = 1000 · 21 = 500 (м).

Ответ. 500 метров.

Задача 7

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 90 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которого 800 метрам, за 1 минуту. Найти длину поезда в метрах.

Решение

Зная скорость движения v = 90 км/ч = 1500 м/мин и время, за которое он проезжает мимо лесополосы длиной 800 метров за t = 1мин, можно найти длину поезда как пройденное расстояние S = v · t = 1500 · 1 = 1500 (м) плюс длина лесополосы 800 метров и получим длину поезда равную 2300 метра.

Ответ. 2300 метра.

Задачи на нахождение средней скорости движения

Если S – путь, пройденный телом, а t – время, за которое этот путь пройден, то средняя скорость вычисляется по формуле:

.

Если путь состоит из нескольких участков, то для нахождения средней скорости на всем пути, надо весь пройденный путь разделить на сумму времени, затраченного на каждый участок пути. Например, если путь состоит из трех участков S1, S2, S3,

Скорости, на которых были соответственно равны v1, v2, v3,

расстояния: S = S1 + S2 + S3. Сумма времени:

.

Тогда средняя скорость на всем пути находится по формуле:

.

Задача 8

Первую треть трассы велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, вторую треть – со скоростью 16 км/ч, а последнюю треть – со скоростью 24 км/ч. Найдите среднюю скорость велосипедиста на протяжении всего пути.

Решение

Пусть весь путь равен 3S, тогда время потраченное на весь путь:

и поэтому средняя скорость вычисляется так:

.

Ответ. 16 км/ч.

Задачи на выполнение определенного объема работы по своему решению очень схожи с задачами на движение: объем работы выполняет роль расстояния, а производительность выполняет роль скорости. В тех случаях, когда объем работы не задан, его принимают за единицу. Большого разнообразия таких задач нет, во всех задачах идет речь о выполнении определенного объема работы, без уточнения характера самой работы.

Иногда в задачах на совместную работу можно обойтись без решения уравнений.

Задача 9

Оформляя зал к школьному вечеру Антон, Сергей и Максим готовы были работать парами. Антон и Сергей могут оформить зал за 2 ч 20 мин, Антон и Максим – за 2 ч 48 мин и Максим и Сергей – за 4 ч 40 мин. Найти, за сколько времени могут ребята оформить зал, работая втроем.

Решение

Заметим, что если сложить все значения времени, то в этой сумме будет присутствовать удвоенное время работы каждого в отдельности.

Значит: 2 ч 20 мин + 2 ч 48 мин + 4 ч 40 мин = 9 ч 48 мин

Разделив это значение на 2, получим время 5 ч 28 мин., за которое могут ребята оформить зал, работая втроем.

Ответ. 5 ч. 28 мин.

При решении задач, связанных с выполнением определенного объема работ, используют следующие соотношения:

·  A = V · t

где A – количество всей работы,

t – время выполнения всего количества работы,

V – производительность труда, т. е. количество работы, выполняемой в единицу времени.

·  Если весь объем работы, принятый за единицу, выполняется одним работником за t1, а вторым за t2 времени, то производительность труда при их совместной работы равна

и

·  Задачи, связанные с выполнением определенной работы удобно решать, если занести исходные данные в таблицу:

	Производительность V	Время t	Работа A
1 объект	V = A t	t = A V	A = V· t
2 объект

После внесения данных, нужно составить уравнения, содержащие искомую величину, исходя из условий задачи.

Задача 10

Работая вместе, двое рабочих выполнят работу за 12 дней. Первый рабочий за два дня выполняет такую же часть работы, как второй за три дня. За какое количество дней эту работу выполнит первый рабочий?

Решение

Примем за x – ту часть работы, которую выполняет первый рабочий, а за y – часть работы, которую выполняет второй рабочий за 1 день. В условии задачи выделим два условия:

1) Первый рабочий за два дня выполняет такую же часть работы, как второй за три дня.

2) Работая вместе, двое рабочих выполнят работу за 12 дней.

Из первого условия получим первое уравнение системы: 2х = 3у,

а из второго: 12(х + у)  

Выразим из первого уравнения y и подставим во второе:

.

Из полученного уравнения выразим x: .

То есть, первый рабочий за один день выполняет одну двадцатую часть работы. Очевидно, что на выполнение всей работы ему потребуется 20 дней.

Ответ. 20.

Задача 11

Две трубы наполняют бассейн за 4 часа, а одна первая труба наполняет бассейн за 5 часов. Найдите время наполнения бассейна одной второй трубой.

Решение

Заполним таблицу

	Производительность	Время	Работа
две трубы	х + у	4	1
одна первая труба	х	5	1
одна вторая труба	у		1

Производительность обеих труб обратно пропорциональна времени совместной работы:

х + у = ¼

Производительность первой трубы обратно пропорциональна времени ее самостоятельной работы:

х = 1/5

решая совместно оба эти уравнения, получаем:

1/5 + у = ¼

отсюда у = 1/20.

Значит, время наполнения бассейна одной второй трубой 20 часов.

Ответ. 20 часов.

В задачах на проценты необходимо показать умение находить процентное содержание компонентов в сплавах, смесях, рассчитывать сложные проценты, начисляемые несколько раз.

Сложные проценты

Пусть некоторая величина А увеличивается в n раз и каждый раз на P%. Тогда ее значение А1 после первого увеличения находится по формуле

,

……

(1)

Пусть некоторая величина А увеличивается nраз последовательно на .

Тогда ее окончательное значение:

(2)

Это формулы сложных процентов.

Пусть – начальное, а – конечное значение некоторой величины (>).

Тогда процентный прирост р% этой величины находится по формуле

(3)

Задача 12

Сбербанк начисляет ежегодно 3% от суммы вклада. Через сколько лет сумма вклада удвоится?

Решение

Пусть x – искомое число лет,

А – первоначальная сумма,

2А – удвоенная сумма,

Тогда по формуле (1) получаем:

;

;

;

.

Ответ. Около 23 лет.

Задача 13

Число 51,2 трижды увеличивали на одно и то же число процентов, а затем трижды уменьшали на то же самое число процентов. В результате получилось число 21,6. На сколько процентов увеличивали, а затем уменьшали это число?

Решение

Пусть x – искомое число. Тогда по формуле (2) имеем:

;

;

;

;

x = 50.

Ответ. 50%.

Задача 14

Вкладчик открыл в банке счет и положил на него S0=150 000руб. сроком на 4 года по ставке 18% в год. Какой будет сумма S4, которую вкладчик получит при закрытии вклада? На сколько рублей вырастет вклад за 4 года? Чему равен коэффициент наращивания?

Решение

S0 = 150000 рублей,

р = 18,

n = 4.

По формуле (1) имеем:

.

За 4 года вклад увеличится на 108 000 рублей = 258 000руб. – 150 000руб.

Коэффициент наращивания равен:

, т. е. первоначальный вклад увеличится в 1,72 раза.

Ответ. 1,72 раза.

Задача 15

Какую сумму положили в банк под 22% годовых, если через 5 лет вклад достиг величины

S5 = 94500 рублей?

Решение

По условию р = 22, n = 5, S5 =

;

;

;

рублей;

Ответ. Первоначальная сумма вклада быларублей.

Задача 16

Два банка начисляют определенные проценты по вкладам (свои в каждом банке). Причем первый из них начисляет лежащую на счете сумму, второй начисляет проценты по вкладу в конце года. Если клиент положит на 2 года имеющейся у него суммы денег в первый банк, то его прибыль составит 66% от первоначальной суммы. Если же наоборот, исходной суммы денег положит в первый банк, а оставшуюся часть во второй, то через 2 года прибыль составит 76%. Какую бы сумму получил клиент через 2 года, если бы положил на этот срок сумму денег в размере 1000 условных единиц в равных долях в оба банка?

Решение

1 случай. А – первоначальная сумма денег.

1 банк – ежеквартально	А на 2 года	66% от первоначальной суммы
2 банк – за год	А на 2 года

2 случай

1 банк – А	76% от первоначальной суммы
2 банк – А

За 2 года – 8 кварталов – в 1-м банке прибыль .

За 2 года прибыль во 2-м банке .

Тогда в первом случае получаем:

Во втором случае:

Пусть , , тогда

a = 1,86, b = 1,56

Получаем, , .

Но если клиент положит на 2 года 1000 у. е. в равных долях в оба банка, то

у. е.

Ответ. 1710 у. е.

Рассмотрим несколько задач из раздела «Сплавы, смеси».

Задача 17

Сплав меди и цинка весом 20кг содержит 30% меди. Добавили 22 кг цинка. Сколько нужно добавить меди, чтобы в сплаве стало 60% цинка.

Решение

I способ:

30% 70%

20 кг = 6 кг + 14 кг

Добавили цинка: +22 кг

42 кг = 6 кг + 36 кг

100% = 40% + 60%

36 кг составляет 60%.

36 : 0,6 = 60 кг – новый сплав.

60(кг) = 6(кг) + 36(кг) + x(кг)

х = 18 (кг).

II способ (табличный)

Очень удобно в задачах на сплавы, смеси, концентрации составлять таблицу по условию задачи (жирным шрифтом), а затем заполнять пустые клетки, руководствуясь законом сохранения массы (объема) и формулами расчета «Процент от числа».

Для начала нужно определить количество объектов, которые участвуют в условии задачи (в нашем случае их 4), затем занести в таблицу все, что говорится о каждом объекте.

По вопросу задачи вводится переменная. Пусть x кг – масса меди.

Объекты	I	Добавили цинка	Добавили меди	Получили сплав
масса (кг)	20	22	x	20 + 22 + x
% меди	30		100
% цинка		100		60
масса меди (кг)
масса цинка (кг)

Теперь начинаем заполнение пустых клеток: