Математика 11 класс (стр. 6 )

Задание B3

Задание на умение решать простейшие тригонометрические уравнения и выбирать корень, соответствующий требованиям условия.

Задача 1

Найдите корень уравнения . В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Решение

Наибольшим отрицательным корнем будет х = 8 – 12 = -4.

Ответ: - 4.

Задача 2

Решите уравнение . В ответе напишите наибольший корень.

Решение

.

Наибольший отрицательный корень х = -1.

Ответ: -1.

Задание B4

Основы геометрии. Достаточно много задач, где в прямоугольном треугольнике необходимо найти sin, cos или tg угла, а также задач, где один треугольник содержит в себе прямоугольный треугольник

Типичные ошибки ЕГЭ

1. Учащиеся путают катет с гипотенузой;

2. Неверно записывают отношение сторон при определении тригонометрических функций;

Рекомендации

1. Повторите основные соотношения в прямоугольном треугольнике.

2. Прорешайте нижеперечисленные задачи.

Задача 1

В треугольнике ABC, AC=BC=12, Найдите AB.

Решение

Ответ. 14,4.

Задача 2

В треугольнике ABC, угол С равен 90, AC = 9, Найдите AB.

Решение

Ответ. 15.

Задание B7

Необходимо показать умение выполняя преобразования тригонометрических выражений, находить их значения.

Типичные ошибки

1. Незнание тригонометрических тождеств, формул кратных углов;

2. Неумение выбрать верное значение знака тригонометрической функции с учетом ограничений для угла, заданных в условии.

Рекомендации

1. Повторить все тригонометрические формулы и тождества;

2. Рассмотрите решения типовых заданий, приведенных ниже;

3. Прорешайте задания, помещенные в конце раздела.

Задача 1

Найдите tgα, еслии .

Решение

Т. к. то tgα > 0.

.

Ответ: 5.

Задача 2

Найдите , если sinα = 0,6.

Решение

.

Ответ: 4.

Задача 3

Найдите значение выражения , если tgγ = 7.

Решение

Ответ: -28.

Задача 4

Найдите , если и

Решение

Т. к. , то sinα < 0.

Ответ: -10.

Задача 5

Найдите , если .

Решение

.

.

Ответ: 7.

Задача 6

Найдите , если tgα = 3

Решение 1

. Тогда

Решение 2

Поделим числитель и знаменатель дроби на cosα. Тогда:

.

Ответ: -9.

Задача 7

Найдите значение выражения , если .

Решение

.

Ответ: 3.

Задание С1

Задания группы C начинаются тригонометрических уравнений. Учащиеся должны давать как можно более грамотный с математической точки зрения, развернутый ответ.

Типичные ошибки

1. Не находят область допустимых значений;

2. Теряют один из корней простейшего квадратного уравнения.

Рекомендации

1. Изучить критерии оценивания заданий с развернутым ответом С1;

2. Рассмотрите решения типовых заданий, приведенных ниже;

3. Прорешайте задания, помещенные в конце раздела.

Критерии оценивания задания с развернутым ответом С1

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно найдены все значения переменной х, при которых равен нулю числитель левой части исходного уравнения. Возможно отбор найденных значений или не произведен, или произведен неверно	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Задача 1

Решить уравнение:

Решение

Данное уравнение равносильно системе:

Из нижнего неравенства получим, что: sin x < 0.

Произведем замену в верхнем уравнении и решим: cos x = t

или .

Равенствам cos x = – 1/2 и cos x = 2/3 на тригонометрической окружности соответствуют четыре точки. Две из них, находящиеся в верхней полуплоскости, не удовлетворяют условию sin x < 0. Получаем решения: и , где .

Ответ. , , .

Задача 2

Решить систему уравнений:

Решение

1) Видим, что первое уравнение системы содержит всего одну неизвестную переменную. Подобные уравнения часто решают в школьном курсе математике и у вас оно не должно вызвать затруднений. Сделаем следующую замену:

Тогда первое уравнение системы можно переписать в следующем виде:

Решив данное уравнение, получим, что: или

Отсюда получаем:

или

Обратите внимание на первое уравнение. Оно не имеет смысла

Решим второе уравнение:

Отсюда, или

2) Итак, мы нашли значения x. Теперь подставим их во второе уравнение системы и найдем y.

а) Если, то

чего, очевидно, не может быть, так как

б) Если , то

Ответ. ,

Проблему отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений часто можно решить с помощью изображения чисел на тригонометрическом круге. В ряде случаев этот прием более наглядный и убедительный.

Задача 3

Решить уравнение: cos x + cos 2x – cos 3x = 1.

Решение

сos x – cos 3x – (1 – cos 2x) = 0, 2sin x sin 2x – 2sin2 x = 0, 2sin x (sin 2x – sin x) = 0,

Из рисунка видно, что серия x3 включает в себя один из корней серии x1.

Ответ..

Задачи для самостоятельного решения

Задание В3

Задача 1

Найдите корень уравнения: В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Задача 2

Решите уравнение . В ответе напишите наибольший отрицательный корень.

Задача 3

Решите уравнение . В ответе напишите наименьший положительный корень.

Задание В4

Задача 1

В треугольнике ABC угол C равен 90º, . Найдите cosA.

Задача 2

В треугольнике ABC угол C равен 90º, . Найдите tgA.

Задача 3

В треугольнике ABC угол C равен 90º, . Найдите sinB.

Задача 4

В треугольнике ABC угол C равен 90º, . Найдите cosB.

Задача 5

В треугольнике ABC угол C равен 90º, . Найдите tgВ.

Задача 6

В треугольнике ABC угол C равен 90º, . Найдите sinA.

Задача 7

В треугольнике ABC угол C равен 90º, . Найдите tgA.

Задача 8

В треугольнике ABC угол C равен 90º, cosA = 0,1. Найдите sinB.

Задача 9

В треугольнике ABC угол C равен 90º, . Найдите cosB.

Задание В7

Задача 1. Найдите значение выражения .

Задача 2. Найдите значение выражения .

Задача 3. Найдите значение выражения .

Задача 4. Найдите значение выражения .

Задача 5. Найдите значение выражения .

Задача 6. Найдите значение выражения .

Задача 7. Найдите значение выражения .

Задача 8. Найдите значение выражения .

Задача 9. Найдите значение выражения .

Задача 10. Найдите значение выражения .

Задача 11. Найдите значение выражения .

Задача 12. Найдите значение выражения .

Задача 13.Найдите значение выражения .

Задача 14. Найдите значение выражения .

Задача 15. Найдите значение выражения .

Задача 16. Найдите значение выражения .

Задача 17. Найдите значение выражения .

Задача 19. Найдите значение выражения .

Задача 20. Найдите , если и .

Задача 21. Найдите , если .

Задача 22. Найдите значение выражения .

Задача 23. Найдите значение выражения , если .

Задача 24. Найдите , если и .

Задача 25. Найдите , если и .

Задача 26. Найдите , если .

Задача 27. Найдите , если .

Задача 28. Найдите , если .

Задача 29. Найдите , если .

Задача 30. Найдите , если .

Задание С1

Задача 1. Решить уравнение Задача 2. Решить уравнение:

Задача 3. Решить уравнение Задача 4. Решить уравнение:

Раздел ІV. Производная

Задание 8

Начиная с задания В8, уровень сложности несколько повышается. От ученика, кроме знания основных формул и определений, требуется наличие определенного опыта. Для решения задач ученик должен уметь находить производные элементарных функций. Также выпускник должен показать умение использовать физический и геометрический смысл производной, с помощью графиков функции или производной функции находить значение производной функции, промежутки возрастания (убывания) функции, количество точек экстремума и т. д.

Типичные ошибки

1. Путают графики функции и ее производной;

2. Не видят разницы в нахождении точек максимума (минимума), наибольшего (наименьшего) значения функции;.

3. Выполняют задание относительно всего зарисованного графика без учета заданного промежутка, на котором требуется что-то найти.

Рекомендации

1. Решите нижеперечисленные задачи:

а) на нахождение точек экстремума по графику производной;

в) на нахождение наибольших и наименьших значений на заданном промежутке по графику производной;

с) на нахождение промежутков монотонности (убывания и возрастания функций) по графику производной и с обратной задачей: нахождение по графику функции промежутков, в которых производная положительна или отрицательна (знакопостоянства графика производной функции);

d) на нахождение точек, в которых касательная будет параллельна заданному графику прямой (на графиках функции и ее производной);

е) на нахождение значения производной в заданной точке на графике функции.

Задача 1

На параболе у = х2 – 2х – 8 найти точку М, в которой касательная к ней параллельна прямой 4х + у + 4 = 0.

Решение

Определим угловой коэффициент касательной к параболе у = х2 – 2х – 8:

k = у' = (х2 – 2х – 8)' = 2х – 2.

Найдем угловой коэффициент прямой 4х + у + 4 = 0:

у = -4х – 4, k = -4.

Касательная к параболе и данная прямая по условию параллельны. Следовательно, их угловые коэффициенты равны, т. е. 2х – 2 = -4;

х = -1 – абсцисса точки касания.

Ординату точки касания М вычислим из уравнения данной параболы у = х2 – 2х – 8, т. е.

у(-1) = (-1)2 – 2(-1) – 8 = -5, М(-1;-5).

Ответ: М(-1;-5).

Задача 2

Прямая у = 4х + 8 параллельна касательной к графику функции
у = х² – 5х + 7.

Найдите абсциссу точки касания.

Решение

Используем геометрический смысл производной, а именно что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Так как касательная параллельна заданной прямой, то их угловые коэффициенты равны (условие параллельности прямых). Угловой коэффициент данной прямой равен 4, значит

f '(xo) = k

f '(х² – 5х + 7) = 4

2х – 5 = 4

х = 4,5

Ответ. 4,5

Задача 3

Прямая у = 3х + 9 является касательной к графику функции
у = х³ + х² + 2х + 8.

Найдите абсциссу точки касания.

Решение

Используем геометрический смысл производной, а именно что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

f '(xo) = k

f '(х³ + х² + 2х + 8) = 3

3х² + 2х + 2 = 3

х1 = -1; х2 = ⅓.

Из двух полученных корней необходимо выбрать один, так как точка касания единственная. Ее координаты должны удовлетворять и уравнению прямой, и уравнению заданной функции.

При подстановке полученной абсциссы -1 значения функций совпадают, при подстановке абсциссы ⅓ значения функций не совпадают.

Ответ. х = -1.

Рис. Аналогия графика функции и графика производной функции

График функции	График производной
1) убывает	Меньше нуля (ниже оси ОХ)
2) возрастает	Больше нуля (выше оси ОХ)
3) имеет эстремум (минимум или максимум)	Производная равна нулю
4) имеет минимум (вогнутый)	Возрастает
5) имеет максимума (выпуклый)	Убывает

Наибольшее и наименьшее значение функции

Здесь важно понять, что если график функции возрастает, то первое значение отрезка на котором надо найти наибольшее или наименьшее значение функции будет наименьшим, а второе – наибольшим и наоборот, если график функции убывает, то первое значение отрезка на котором надо найти наибольшее или наименьшее значение функции будет наибольшим, а второе – наименьшим.

Задача 4

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенно на интервале (-8;4). В какой точке отрезка [-2; -2] f(x) принимает наименьшее значение

Решение

Ответ: -2

Задача 5

На рисунке изображен график производной функции f(x), определен на интервале [-1; 12]. В какой точке отрезка [0;4] f(x) принимает наибольшее значение

Решение

Задача 6

На рисунке изображен график производной функции f(x), определен на интервале [-7; 4]. В какой точке отрезка [-1;3] f(x) принимает наибольшее значение

Решение

Ответ: -1

Задача 7

На рисунке изображен график производной функции f(x), определен на интервале [-4; 7]. В какой точке отрезка [-2;3] f(x) принимает наибольшее значение

Решение

Касательная

В первом случае задан график функции, для нахождения количества точек, в которых касательная к графику функции параллельна, необходимо просто подсчитать все точки максимумов и минимумов на заданном промежутке. Почему именно так? Угловой коэффициент прямой, в тех заданиях, которые будут предложены на ЕГЭ по математике, будет равен всегда нулю (т. к. графики касательных будут параллельны оси ОХ).

Задача 8

На рисунке изображен график производной функции f(x), определен на интервале [-2; 12]. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = -9

Решение

Во втором случае задан график производной функции, для нахождения количества точек, в которых касательная к графику функции параллельна, необходимо:

1. Найти угловой коэффициент касательной. Это можно сделать двумя способами:

·  Найти производную функции графика прямой, это и есть угловой коэффициент прямой;

·  Взять число, которое стоит перед Х в уравнении, например. если y=2х+5, то угловой коэффициент равен 2, если y=-х+3, то угловой коэффициент равен -1

2. Провести прямую параллельно оси ОХ через точку на оси ОY, равную угловому коэффициенту прямой.

3. Подсчитать количество точек пересечения этой прямой с графиком производной функции.

Задача 9

На рисунке изображен график производной функции f(x), определен на интервале [-4; 7]. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = -х + 3 или совпадает с ней.

Решение

График функции	Свойства	График производной функции
1	2	3
На рисунке изображен график функции у = f (х), определенной на интервале (-6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна. Решение. Производная функции положительна, когда функция возрастает. В данном случае функция возрастает при х = -6; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 4; 5; 6, т. е. в 10 целых точках. Ответ: 10.	Если производная функции положительна f '(x) > 0 на заданном интервале, то функция возрастает на этом интервале. Если производная функции отрицательна f '(x) < 0 на заданном интервале, то функция убывает на этом интервале. (и наоборот)	На рисунке изображен график производной функции у = f '(x), определенной на интервале (-7; 4). Найдите промежутки возрастания функции f (х). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. Решение. Функция возрастает, если ее производная положительна. В данном случае f '(x) > 0 при х = -6; -2; -1; 0; 1; 2; 3. их сумма равна -6. Ответ. -6.

Продолжение табл.