Математика 11 класс (стр. 5 )

Утверждение 1. Если a > 1, то неравенство loga f(x) > loga g(x) равносильно системе неравенств

Утверждение 2. Если 0 < a < 1, то неравенство loga f(x) > loga g(x) равносильно системе неравенств

Утверждение 3. Неравенство logh(x)f(x) > logh(x)g(x) равносильно совокупности систем неравенств

Подчеркнем, что в неравенстве loga f(x) > loga g(x) вместо знака > может фигурировать любой из знаков ≥, <, ≤. В этом случае утверждения 1–3 соответственно преобразуются.

Задача 1

Решить неравенство log3(x2 – x) ≥ log3(x + 8);

Решение

Используя утверждение 1, получим

log3(x2 – x) ≥ log3(x + 8) ÛÛÛ

=Û x Î (-8;-2]È[4;+¥).

Ответ. x Î (-8;-2]È[4;+¥).

Задача 2

Решить неравенство:

Решение

Основание логарифма число между нулем и единицей, поэтому, используя утверждение 2, получим:

Ответ. x Î (2; 3)È(4; 5).

Задача 3

Решить неравенство: .

Решение

Запишем 0 = log21 и, используя утверждение 1, получим

Запишем и, используя утверждение 2, получим

Ответ. x Î (1; 2)

Задача 4

Решить неравенство:

Решение

Используя утверждение 3, получим

ÛÛ x Î (3;4).

Решение первой системы совокупности:

Решение второй системы совокупности:

Ответ. Решений нет.

Неравенства вида F(logax) > 0 сводятся подстановкой t = logax к алгебраическому неравенству F(t) > 0.

Задача 5

Решить неравенства:

Решение

a) Обозначив , получим квадратное неравенство

t2 + t – 2 ≥ 0, откуда t ≤ -2

или t ≥ 1. Таким образом,

b) Обозначив t = lgx, получим рациональное неравенство

.

Используя метод интервалов, получим

Следовательно,

ÛÛ x Î (0;1/10)È(100;1000)È(105;+¥).

В случае логарифмических неравенств, которые не имеют вид неравенств, входящих в утверждения 1–3, определяется ОДЗ и с помощью равносильных преобразований исходные неравенства сводятся к неравенствам, которые решаются с помощью утверждений 1–3.

Задача 6

Решить неравенства

Решение

a) ОДЗ неравенства – множество (5; +¥). Используя свойство суммы логарифмов, получим неравенство

lg(x – 2)(x – 5) < lg4.

Используя утверждение 1, получим

Решаем систему

ÛÛ x Î (1;2)È(5;6)

и, учитывая ОДЗ, получим x Î (5;6).

e) Определим ОДЗ неравенства

Приведя все логарифмы к основанию 3, получим

Используя свойство суммы логарифмов, получим

Обозначив log3x = t, решим полученное неравенство методом интервалов

Следовательно,

откуда, учитывая ОДЗ, получим множество решений исходного неравенства:

Ответ.

c) Определим ОДЗ неравенства

Поскольку

,

неравенство равносильно следующему:

откуда следует

Обозначив t ≥ 0, получим квадратное неравенство

(t – 1)2 > t + 11,

t2 – 3t – 10 > 0,

откуда t < -2 или t > 5.

Поскольку t ≥ 0, остается t > 5 или Û x > 5.

Учитывая ОДЗ, получим x Î (5;+¥).

Ответ. x Î (5;+¥).

d)  ОДЗ неравенства есть множество (1;2)È(2;+¥).

Используя обобщенный метод интервалов, получим

Так как в ОДЗ log2(x-1) > 0 при x > 2 и log2(x-1) < 0 при 1 < x < 2, следует, что для любого x из ОДЗ, при
x Î (1;2)È(2;3) и при x > 3,

значит,

получим x Î (1;2)È(3;+¥).

Ответ. x Î (1;2)È(3;+¥).

Задача 7

Решите неравенство:

Решение

ОДЗ:

Найдем, при каких x выражение обращается в 0.

Ответ: x = -1/3

Задача 8

Найдите все значения а, для которых при каждом х из промежутка (3, 9] значение выражения log32x + 3log3x не равно значению выражения 9 + а log3х.

Решение

Сделаем замену t = log3x и заметим, что 1 < t ≤ 2 (из условия).

Перенесём все слагаемые влево и рассмотрим квадратичную функцию f(t) = t2 + (3 – a)t – 9.

Т. к. D > 0, то трёхчлен имеет два корня.

Найдём все а, при котором на (1, 2] парабола не пересекает ось OX.

При этом возможны три случая (рассмотрим их по порядку):

f(1) = 1+(3–a)–9= - a–5; f(2) = 4+2(3–a)–9 = -2a+1; Xвер = 0,5a–1,5

1) Достаточно потребовать выполнение условий f(1) ≤ 0 и f(2) < 0.

2) Кроме условий f(1) > 0 и f(2) > 0, требуем: Xвершины > 2.

3) Кроме условий f(1) ≥ 0 и f(2) > 0, требуем: Xвершины < 1.

Результат пункта 1): a > 0,5,

результат пункта 2): пусто,

результат пункта 3): a ≤ -5.

В ответе объединяем полученное: (-∞, -5], (0,5, +∞)

Ответ: (-∞, -5], (0,5, +∞)

Стандартный метод решения иррациональных неравенств заключается в возведении обеих частей неравенства в нужную степень: если в неравенство входит квадратный корень, то в квадрат; входит корень третьей степени − в куб и т. д. Однако возводить в квадрат, не нарушая равносильности, можно только неравенство, у которого обе части неотрицательны. При возведении же в квадрат неравенств, части которых имеют разные знаки, могут получиться неравенства, как равносильные исходному, так и неравносильные ему.

Простой пример: –1 < 3 − верное неравенство,

(-1)² < 3²

1< 9 − тоже верное неравенство.

Несмотря на то, что – 4 < –1 − неравенство верное, неравенство

(-4)² < (-1)²

16 < 1 уже верным не является.

Покажем, как получить равносильные системы для некоторых часто встречающихся типов неравенств.

I. Неравенства вида .

Если x лежит в ОДЗ: f (x) ≥ 0, то левая часть неравенства существует и неотрицательна. Поскольку для всех x, являющихся решением данного неравенства, правая часть больше левой, то g (x) > 0. Следовательно, обе части неравенства неотрицательны (для тех x, которые являются решениями неравенства, другие x нас не интересуют). Значит, возведение в квадрат не нарушает равносильности и можно записать равносильную нашему неравенству систему неравенств:

.

Задача 9

Решите неравенство .

Решение

Сразу перейдём к равносильной системе

Ответ. x Î (-2; 0)È(6;+¥).

II. Неравенства вида

ОДЗ данного неравенства f (x) ≥ 0. Пусть для каких-то x из ОДЗ g (x) < 0. Тогда, очевидно, все эти x − решения, так как при этих x левая часть определена (xÎ ОДЗ) и неотрицательна, в то время как правая часть g (x) < 0.

Для других x из ОДЗ g(x) ≥ 0. Для них обе части неравенства неотрицательны, и его можно возвести в квадрат: f(x) > g²(x) Значит, данное неравенство равносильно совокупности неравенств:

Заметим, что в последнюю систему не входит требование f (x) ≥ 0. Оно и не нужно, так как выполняется автоматически: f(x) > g²(x) ≥ 0, ибо полный квадрат всегда неотрицателен.

Задача 10

Решите неравенство .

Решение

ОДЗ неравенства: x ≥ –3.

Если х + 1 < 0, то х < -1; все эти х Î ОДЗ. Таким образом,
х Î [-3; -1) − первая часть ответа.

Если х + 1 ≥ 0, то х ≥ -1, то обе части неравенства неотрицательны, и его можно возвести в квадрат. Имеем:

Получаем, что решениями являются все х Î [-1; 1).

Объединяя результаты, получаем:

Ответ. х Î [-3; 1)

III. Неравенства вида

ОДЗ данного неравенства: Обе части неравенства неотрицательны в ОДЗ, и потому можно возводить в квадрат. Получим равносильную систему:

Заметим, что из неравенства f (x) ≥ g (x) ≥ 0 следует, что g (x) ≥ 0 то есть дополнительно это требовать и включать это неравенство в систему не нужно.

Отметим полезное следствие.

Предположим, что ОДЗ неравенства уже найдено, и мы будем отбирать решения только из ОДЗ (это разумно, поскольку вне ОДЗ решений нет). Тогда исходное неравенство равносильно следующему: , а та система, которой это неравенство равносильно, может быть представлена (для x из ОДЗ) в виде f (x) – g (x) ≤ 0. Следовательно, в ОДЗ

Ясно, что те же рассуждения применимы и для знака неравенства ≥. Отсюда можно сделать полезное заключение:

Знак разности совпадает со знаком выражения .

Отсюда же получается ещё одно полезное следствие:

в ОДЗ:

Задача 11

Решите неравенство .

Решение

ОДЗ данного неравенства:

Заметим, что в ОДЗ x ≥ 0, поэтому существует и значит,

Мы воспользовались здесь тем, что в ОДЗ x ≥ 0, (x – 5)(x – 6) ≥ 0 и потому существуют выписанные в последней строчке корни.

Кроме того, мы вынесли за скобку который по вышесказанному существует.

Этот корень неотрицателен и потому не влияет на знак неравенства, следовательно, на него можно сократить, не забывая, что он может ещё обратиться в нуль и те x, для которых корень обращается в нуль, являются решениями неравенства.

Таким образом, в ответ необходимо включить число x=5.

При x = 6 корень обращается в нуль, но x = 6 не входит в ОДЗ неравенства. Воспользуемся теперь тем, что знак разности корней совпадает со знаком разности подкоренных выражений. Имеем:

Учтём теперь ОДЗ и получим

Ответ.

Рассмотрим пример решения иррационального неравенства, содержащего модуль.

Задача 12

Решить неравенство:

Решение

Рассмотрим на ОДЗ

получаем промежуток значений функции .

Видно, что y < 0

Аналогично, рассмотрим функцию

т. е. функция может быть как больше, так и меньше нуля. Итак, раскрываем модуль в левой части со знаком минус .

Вспоминаем формулу раскрытия модуля.

Рассмотрим правое неравенство.

Это неравенство вида решается с помощью системы

и опять используем тот же способ решения иррациональных неравенств

Учитывая область определения .

Рассмотрим правую систему, полученную при раскрытии модуля

Итак, решение второго неравенства .

Объединяем промежутки и получаем ответ.

Задачи для самостоятельного решения

Задание В3

Задача 1. Найдите корень уравнения . Задача 2. Найдите корень уравнения . Задача 3. Найдите корень уравнения . Задача 4. Найдите корень уравнения . Задача 5. Найдите корень уравнения Задача 6. Найдите корень уравнения Найдите корень уравнения: Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них. Задача 7. Найдите корень уравнения . Задача 8. Найдите корень уравнения Задача 9. Найдите корень уравнения . Задача 10. Найдите корень уравнения . Задача 11. Найдите корень уравнения . Задача 12. Найдите корень уравнения .

Задача 13. Найдите корень уравнения . Задача 14. Найдите корень уравнения . Задача 15. Найдите корень уравнения . Задача 16. Найдите корень уравнения . Задача 17. Найдите корень уравнения . Задача 18. Найдите корень уравнения . Задача 19. Найдите корень уравнения . Задача 20. Найдите корень уравнения . Задача 21. Найдите корень уравнения: Задача 22. Найдите корень уравнения:

Задача 23. Найдите корень уравнения: Задача 24. Найдите корень уравнения: Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Задача 25. Найдите корень уравнения: Задача 26. Найдите корень уравнения: Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

Задание В7

Задача 1. Найдите значение выражения . Задача 2. Найдите значение выражения . Задача 3. Найдите значение выражения . Задача 4. Найдите значение выражения . Задача 5. Найдите значение выражения . Задача 6. Найдите значение выражения . Задача 7. Найдите значение выражения . Задача 8. Найдите значение выражения . Задача 9. Найдите значение выражения .

Задача 10. Найдите значение выражения при . Задача 11. Найдите значение выражения при . Задача 12. Найдите значение выражения при . Задача 13. Найдите значение выражения при . Задача 14. Найдите значение выражения при . Задача 15. Найдите значение выражения при Задача 16. Найдите значение выражения . Задача 17. Найдите значение выражения . Задача 18. Найдите значение выражения .

Задача 19. Найдите значение выражения Задача 20. Найдите значение выражения при . Задача 21. Найдите значение выражения при . Задача 22. Найдите значение выражения при . Задача 23. Найдите , если при . Задача 24. Найдите , если . Задача 25. Найдите значение выражения при . Задача 26. Найдите значение выражения при . Задача 27. Найдите значение выражения при . Задача 28. Найдите значение выражения . Задача 29. Найдите значение выражения .

Задача 30. Найдите значение выражения . Задача 31. Найдите значение выражения . Задача 32. Найдите значение выражения . Задача 33. Найдите значение выражения . Задача 34. Найдите значение выражения . Задача 35. Найдите значение выражения . Задача 36. Найдите значение выражения , если . Задача 37. Найдите значение выражения , если , . Задача 38. Найдите значение выражения , если . Задача 39. Найдите значение выражения , если . Задача 40. Найдите , если Задача 41. Найдите значение выражения . Задача 42. Найдите значение выражения

Задание С3

Задача 1. Решите неравенство

Задача 2. Решите неравенство

Задача 3. Решите неравенство Задача 4. Решите неравенство log2x(x2 – 5x + 6) < 1. Задача 5. Решите неравенство

Задача 6. Решите неравенство Задача 7. Решите неравенство

Раздел ІΙІ. Тригонометрия

Тригонометрические задания в тесте ЕГЭ по математике: В3, В7, С1.