Математика 11 класс (стр. 7 )

1	2	3
На рисунке дан график функции y = f(x), а также касательная к графику в точке с абсциссой, равной 3. Найти значение производной данной функции в точке х = 3. Решение: Для решения данной задачи необходимо вспомнить тот факт, что производная функции в точке равна тангенсу угла, образованному касательной и осью Ox. То есть, f'(xo) = tg a.	Геометрический смысл производной. Производная функции в точке х0 — это тангенс угла наклона между осью абсцисс и касательной к графику этой функции, проходящей через точку х0. – если угол наклона касательной острый, то тангенс положительный, значит производная положительна; – если угол наклона касательной тупой, то тангенс отрицательный, значит производная отрицательна; – если угол наклона касательной прямой, то тангенс не существует, значит производная не существует.

Продолжение табл.

1	2	3
f '(xo) = tg ACD. Рассмотрим треугольник ADC и найдем tg ACD. По определению, тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему. AD = 6, CD = 3. Отсюда очевидно, что tg ACD = 6/3 = 2. Следовательно, f '(xo) = 2.
На рисунке изображен график функции f(x), определенной на интервале (-9;8). В какой точке отрезка [-8;-4] функция принимает наименьшее значение?	Наибольшим значением функции на отрезке называется самое большое из всех ее значений на этом отрезке, а наименьшим – самое маленькое из всех ее значений.	На рисунке изображен график производной функции у = f '(x), определенной на интервале (-8; 3). В какой точке отрезка [-3; 2] функция, принимает наибольшее значение?

Продолжение табл.

1	2	3
На рисунке изображен график функции f(x), определенной на интервале (-9;8). В какой точке отрезка [-8;-4] функция принимает наименьшее значение?	Наибольшим значением функции на отрезке называется самое большое из всех ее значений на этом отрезке, а наименьшим – самое маленькое из всех ее значений.	На рисунке изображен график производной функции у = f '(x), определенной на интервале (-8; 3). В какой точке отрезка [-3; 2] функция, принимает наибольшее значение?
Решение. На отрезке [-8;-4] функция принимает наименьшее значение при х = -4. Ответ: -4.	Функция y = f(х), непрерывная на отрезке [a, b] достигает своего наибольшего и наименьшего значений, либо на границе отрезка, либо внутри него. Если наибольшее или наименьшее значение функции достигается во внутренней точке отрезка, то это значение является максимумом или минимумом функции, то есть достигается в критических точках: f '(x) = 0.	Решение. Функция принимает наибольшее значение при f '(x) = 0. По графику у = f '(x), находим: на отрезке [-3; 2] производная равна нулю при х = -3. Ответ. -3.

Продолжение табл.

1	2	3
На рисунке изображен график функции у = f (x), определенной на интервале (-2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f (x).	Точка xо называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если существует окрестность точки xо, для всех точек которой верно неравенство f(x) ≤ f(xо) (f(x) ≥ f(xо)).	На рисунке изображен график производной функции у = f '(x), определенной на интервале (-7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(х) на отрезке [-6; 9].
	Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – ее экстремумами.

Окончание табл.

1	2	3
Решение. Функция имеет экстремумы при х = 1; 2; 4; 7; 9; 10; 11. Экстремумы соответственно равны: 2; 1; 3; -3; -1; -2; -1. Суммируя значения экстремумов, получаем: 2 + 1 + 3 – 3 – 1 – 2 – 1 = -1. Ответ. -1.	Необходимые условия экстремума. Если точка xо является точкой экстремума функции f(x), то либо f‘(xо) = 0, либо f‘(xо) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Первое достаточное условие. Пусть xо – критическая точка. Если f’(x) при переходе через точку xо меняет знак плюс на минус, то в точке xо функция имеет максимум, в противном случае – минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке xо экстремума нет.	Решение. На отрезке [-6; 9] производная функции имеет критическую точку в х = 7, производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, является единственной точкой максимума. Ответ. 1.

Задание В11

Задание B11 на нахождение с помощью производной точек экстремума функции или вычисление наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке. Для успешного решения задачи ученик должен уметь вычислять производные элементарных функций и в простейших случаях исследовать функцию на монотонность.

Типичные ошибки

1. Неумение находить производную сложной функции;

2. Неверное использование алгоритма нахождения точку максимума (минимума): путают с наибольшим (наименьшим) значением функции.

Рекомендации

1. Повторите правила нахождения производных элементарных и сложных функций;

2. Рассмотрите решения типовых заданий, приведенных ниже;

3. Прорешайте задания, помещенные в конце раздела.

Задача 1

y = (x – 8)ex-7

Найдите наименьшее значение функции на отрезке [6;8].

Решение

Чтобы найти наименьшее или наибольшее значение функции на отрезке [a;b], надо найти значения этой функции на концах отрезка f(a) и f(b), значения функции в точках интервала от a до b где ее производная равна 0 или не существует и из всех этих значений выбрать наименьшее или наибольшее.

Найдем f '(x). Производная произведения равна

f '(x) = 0 при х = 7.

Ответ. -1 наименьшее значение функции на отрезке [6;8].

Задача 2

Найдите наименьшее значение функции

Решение

Чтобы найти наименьшее или наибольшее значение функции на отрезке [a;b], надо найти значения этой функции на концах отрезка f(a) и f(b), значения функции в точках интервала от a до b где ее производная равна 0 или не существует и из всех этих значений выбрать наименьшее или наибольшее.

Найдем f '(x). Производная произведения равна

Ответ: наибольшее значение функции на заданном отрезке равно 12.

Задача 3

Найдите точку максимума функции

Решение

Найдем точки экстремума. Производная натурального логарифма равна

f '(x) = 0 при х = 10,8.

Корень соответствует условию

х + 11 ≥ 0

Это точка максимума.

Ответ. х = -10.8.

Задачи для самостоятельного решения

Задание В8

Задача 1

Прямая у = 7х – 5 параллельна касательной к графику функции
у = х² + 6х – 8. Найдите абсциссу точки касания.

Задача 2

Прямая у = -4х – 11 является касательной к графику функции
у = х³ + 7х² + 7х – 6. Найдите абсциссу точки касания.

Задача 3

На рисунке изображен график функции у = f (х), определенной на интервале (-5; 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Задача 4

На рисунке изображен график функции у = f (х), определенной на интервале (-5; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = 6 или совпадает с ней.

Задача 5

На рисунке изображен график функции у = f (х), определенной на интервале (-2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f (х).

Задача 6

На рисунке изображен график производной функции f (х), определенной на интервале (-8; 3). В какой точке отрезка [-3; 2] f (х) принимает наибольшее значение.

Задача 7

На рисунке изображен график производной функции f (х), определенной на интервале (-8; 3). В какой точке отрезка [-7; -3] f (х) принимает наименьшее значение.

Задача 8

На рисунке изображен график производной функции f (х), определенной на интервале (-7; 14). Найдите количество точек максимума функции f (х) на отрезке [-6; 9].

Задача 9

На рисунке изображен график производной функции f (х), определенной на интервале (-18; 6) Найдите количество точек минимума функции f (х) на отрезке [-13; 1].

Задача 10

На рисунке изображен график производной функции f (х), определенной на интервале (-11;11). Найдите количество точек экстремума функции f (х) на отрезке [-10; 10].

Задача 11

На рисунке изображен график производной функции f (х), определенной на интервале (-7; 4). Найдите промежутки возрастания функции f (х). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Задача 12

На рисунке изображен график производной функции f (х), определенной на интервале (-5; 7). Найдите промежутки убывания функции f (х). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Задача 13

На рисунке изображен график производной функции f (х), определенной на интервале (-11; 3) Найдите промежутки возрастания функции f (х). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Задача 14

На рисунке изображен график производной функции f (х), определенной на интервале (-2; 12) Найдите промежутки убывания функции f (х). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Задача 15

На рисунке изображен график производной функции f (х), определенной на интервале (-10; 2) Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f (х) параллельна прямой у = -2х – 11 или совпадает с ней.

Задача 16

На рисунке изображён график функции у = f (х)и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f (х) в точке х0.

Задача 17

На рисунке изображён график функции у = f (х)и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f (х) в точке х0.

Задание В11

Задача 1. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

Задача 2. Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

Задача 3. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

Задача 4. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

Задача 5. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

Задача 6. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

Задача 7. Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

Задача 8. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

Задача 9. Найдите точку минимума функции .

Задача 10. Найдите точку максимума функции .

Задача 11. Найдите точку минимума функции .

Задача 12. Найдите точку максимума функции .

Задача 13. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

Задача 14. Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

Задача 15. Найдите точку максимума функции .

Задача 16. Найдите точку минимума функции .

Задача 17. Найдите точку максимума функции .

Раздел V. Геометрия

Геометрические задания в курсе ЕГЭ делятся на две группы: планиметрия (В6, С4) и стереометрия (В9, С2).

Задание B6

Задание B6 на вычисление площади геометрических фигур по клеткам, координатам или формулам. Для успешного выполнения этого задания ученику достаточно уметь решать простые планиметрические задачи и производить вычисления по известным формулам.

Типичные ошибки

1. Не знают простейших формул вычисления площадей геометрических фигур;

2. Неправильно определяют цену деления клеток или координат.

Рекомендации

1. Повторите формулы площадей геометрических фигур;

2. Рассмотрите решения типовых заданий, приведенных ниже;

3. Прорешайте задания, помещенные в конце раздела.

Задача 1

Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.

Решение. Площадь трапеции равна ? где a, b – основания трапеции, а h – высота

Ответ. 9 см².

Задача 2

Найдите площадь закрашенной фигуры на координатной плоскости.

Решение. Площадь квадрата равна где d – диагональ квадрата. Площадь закрашенной фигуры равна площади большого квадрата минус площадь маленького.

Ответ. 112 см².

Задача 3

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см × 1 см изображен треугольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Решение

Площадь треугольника ABC складывается из площадей двух прямоугольных треугольников ADB и BDC. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

Площадь прямоугольного треугольника ADB равна:

(2·7): 2=7

Площадь прямоугольного треугольника BDC равна:

(2·2): 2 = 2

Площадь треугольника ABC:

7 + 2 = 9

Ответ: 9 см ².

Задание B9

Задание B9 на вычисление площадей поверхности или объемов геометрических тел. Для успешного выполнения этого задания ученику достаточно уметь решать простые стереометрические задачи и производить вычисления по известным формулам.

Типичные ошибки

1. Не знают простейших формул вычисления площадей геометрических тел;

2. Не знают формул вычисления объемов геометрических тел.

Рекомендации

1. Повторите формулы вычисления площадей геометрических фигур, объемов геометрических тел;

2. Рассмотрите решения типовых заданий, приведенных ниже;

3. Прорешайте задания, помещенные в конце раздела.

Основные типы задач В9

І тип. Одна из самых распространенных задач В9: посчитать объем или площадь поверхности многогранника, из которого какая-нибудь часть вырезана. Например:

Задача 1

Найти объем изображенного многогранника. Решение Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: V = a · b · c Очевидно, нам дан большой параллелепипед, из которого вырезан «кирпичик», так что получилась «полочка».
Объем найти просто. Необходимо из объема большого параллелепипеда вычесть объем маленького: 5 · 3 · 5 – 2 · 1· 2 = 75 – 4 = 71 Ответ. 71

Задача 2

Найти площадь поверхности многогранника из задачи 1. Решение Нужно посчитать сумму площадей всех граней: верхней, нижней, передней, задней, правой, левой с учетом вырезанных прямоугольников.

Можно сделать это напрямую.

S = 5 · 5 + 3 · 5 + 3 · 5 + (5 · 5 – 2 · 2) + (5 · 3 – 2 · 1) + (3 · 5 – 2 · 1) = 110

нижняя левая задняя верхняя правая передняя

грань грань грань грань грань грань

С другой стороны, если бы из большого параллелепипеда ничего не вырезали, его площадь поверхности была бы равна:

S = (3 · 5 + 5 · 5 + 3 · 5) = 110.

Но есть и способ проще.

В этот момент и наступает понимание. Каким бы способом вы ни решали, результат один – площадь поверхности будет такой же, как и у целого параллелепипеда, из которого ничего не вырезали.

Ответ. 110.

Задача 3

Найти площадь поверхности многогранника Решение S = 2 ·(4 · 3 + 3 · 5 + 4 · 5) = 72 Ответ. 72

Задача 4

Найти площадь поверхности многогранника. Решение Площадь поверхности параллелепипеда: S = [1 · 7 + 1 · 5 + 5 · 7] · 2 = 96

Она фактически равна площади изображенного многогранника:

S = [1 · 7 + 1 · 5 + (5 · 7 – 1 · 2) + 1 · 2 + 2 · 2] · 2 = 96

нижняя боковая передняя внутренние

грань грань грань грани

замечаем: первый способ проще!

Ответ. 96

ІІ тип. Найти объем тела, вписанного в другое объемное тело.

Задача 5

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите объем параллелепипеда. Решение Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: V = Sосн· h

Прежде всего, заметим, что высота цилиндра равна высоте параллелепипеда: h = 1.

Нарисуйте вид сверху, то есть круг, вписанный в прямоугольник. Тут сразу и увидите, что этот прямоугольник – на самом деле квадрат, а сторона его в два раза больше, чем радиус вписанной в него окружности: a = 2r

Итак, площадь основания параллелепипеда равна: Sосн = (2r)² = 4,

Объем: V = 4 · 1 = 4.

Ответ. 4

Задача 6

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые ребра равны 4. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы. В ответ запишите V/π. Решение Очевидно, высота цилиндра равна боковому ребру призмы, то есть h = 4. Найдем радиус его основания.

Рассмотрим вид сверху. Прямоугольный треугольник вписан в окружность, следовательно, радиус окружности – есть половина гипотенузы.

Гипотенуза: c² = 6² + 8² = 100

с = 10

То есть r = 5

.объем цилиндра: V = Sосн.· h

Sосн = π r² = 25π

Ответ. 100

Задача 7

В прямоугольный параллелепипед вписан шар радиуса 1. Найдите объем параллелепипеда. Решение Эта задача тоже проста. Нарисуйте вид сверху. Или сбоку. Или спереди. В любом случае вы увидите одно и то же – круг, вписанный в прямоугольник. Очевидно, этот прямоугольник будет квадратом. Можно даже ничего

не рисовать, а просто представить себе шарик, который положили в коробочку так, что он касается всех стенок, дна и крышки. Ясно, что такая коробочка будет кубической формы. Длина, ширина и высота этого куба в два раза больше, чем радиус шара.

Ответ. 8.

ІІІ тип. Задачи, в которых увеличили или уменьшили какой-либо линейный размер (или размеры) объемного тела. И нужно узнать, как изменится объем или площадь поверхности.

Задача 8

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 12 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 2 раза больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Решение

Слова «другой такой же сосуд» означают, что другой сосуд тоже имеет форму правильной треугольной призмы. То есть в его основании – правильный треугольник, у которого все стороны в два раза больше, чем у первого.