Математика 11 класс (стр. 3 )

Объекты	I	Добавили цинка	Добавили меди	Получили сплав
масса (кг)	20	22	x	20 + 22 + x = 42 + x
% меди	30	0	100	100 – 60 = 40
% цинка	100 – 30 = 70	100	0	60
масса меди (кг)		0	x
масса цинка (кг)		100	0

Нам, в принципе, достаточно заполнения четырех строк, чтобы составить уравнение.

Обратим внимание на «выделенную» клетку – эта клетка является ключом составления уравнения задачи, т. к. мы ее можем заполнить по формуле «40% от числа 42 + x», а также по закону сохранения массы: (20·30)/100 + 0 + x.

Следовательно, имеем уравнение:

4(42 + х) = 60 + 10х

6х = 108

х = 18

Ответ. 18.

Задача 19

Из 50т руды получают 20 т металла, который содержит 12% примесей. Сколько процентов примесей содержит руда?

Решение

1) Сколько примесей содержится в металле?

20·0,12 = 2,4(т)

2) 50т = 20т + 30т = (17,6 + 2,4) + 30 = 17,6 + (2,4 + 30)

металл примеси металл примеси чистый примеси

металл

составим пропорцию:

3) 50 т – 100%

32,4 т – x%

Составляем пропорцию:

Табличный способ: По первому предложению составляем таблицу

Объект	I	II	Смесь
m (кг)	x	3	3 + x
% серебра	p	100	90
mсеребра (кг)	x·p 100	3·100 100	(3 + х) ·90 = x·p + 3·100 100 100 100

По второму предложению составляем таблицу

Объект	I	II	Смесь
m (кг)	x	2	2 + x
% серебра	p	100	86
mсеребра (кг)	x·p 100	3·100 100	(2 + x)·86 = x·p + 2·100 100 100 100

В результате в «выделенных» клетках имеем уравнения для системы:

Тогда

Ответ: 0,5 кг; 30% серебра.

Задача 20

Сплав меди и цинка весом 60 кг содержит 40% меди. Сколько нужно добавить цинка, чтобы в сплаве его концентрация достигла 80%.

Решение

Объект	I	II	Получили
m (кг)	60	x	60 + x
% цинка	100 – 40 = 60	100	80
mцинка (кг)	60·60 100	x	(60 + x)·80 = 60·60 + х 100 100

Имеем:

(60 + x)·0,8 = 36 + x

48 + 0,8x = 36 + x

x = 60 кг цинка нужно добавить.

Ответ. 60 килограммов.

Задача 21

К 15 литрам 10%-го раствора соли добавили 5%-ный раствор соли и получили 8%-ный раствор. Какое количество литров 5%-ного раствора добавили?

Решение

Пусть добавили х л 5%-ного раствора соли.

(15 + х)л – столько стало нового раствора

(15 + х)· 0,08л – столько в нем содержится соли

В 15 литрах 10%-ного раствора содержится

15·0,1 = 1,5(л) соли

В х л 5%-ного раствора содержится 0,05 х л соли

х = 10.

Добавили 10л 5%-ного раствора соли.

Табличный способ

Объект	I	II	Получили
m (л)	15	х	15 + х
% соли	10	5	8
mсоли (л)	15·10 100	х· 5 100	(15 + х)·8 = 15·10 + 5х 100 100 100

Имеем:

8(15 + х) = 150 + 5х

3х = 30

х = 10

Ответ. 10 литров.

Задача 22

В лаборатории есть раствор соли 4-х различных концентраций. Если смешать I, II, III растворы в весовом отношении 3:2:1, то получится 15%-ный раствор. II, III, IV растворы в равной пропорции дают при смешивании 24%-ный раствор, и, наконец, раствор составленный из равных частей I и III растворов, имеет концентрацию 10%. Какая концентрация будет при смешении II и IV растворов в пропорции 2:1?

Решение

1) Пусть в 1 кг I р-ра – х кг соли

II р-ра – y кг соли

III р-ра – z кг соли

IV р-ра – t кг соли

2) В условии говорится, что если мы смешаем 3 кг I раствора, 2 кг II раствора и 1 кг III раствора, то в получившихся 6 кг р-ра будет
6·0,15 = 0,9кг соли.

Но в 3-х кг I р-ра имеется (3х )кг соли, в 2кг II р-ра ее (2y )кг и в одном кг III р-ра – z кг.

Отсюда получается первое уравнение 3x + 2y + z = 0,9

3) Рассуждая аналогично, получим, что

y + z + t = 0,72

x + z = 0,2

Т. е. получим систему:

Из этой системы нам нужно вычленить 2y + t.

Значит, если смешать 2 кг второго раствора и 1кг четвертого, то в получившихся 3 кг смеси будет 0,87 кг соли, что составляет 29%, что и требовалось найти.

3 кг – 100%

0,87 кг – x%

x = 29%.

Ответ. 29%

Задача 23

Даны два сплава. Первый весит 4 кг и содержит 70% серебра. Второй весит 3 кг и содержит 90% серебра. Сколько кг второго сплава надо сплавить со всем первым сплавом, чтобы получить r%-ный сплав серебра? При каких r задача имеет решение?

Решение

В первом сплаве – 2,8 кг серебра. Пусть надо взять x (кг) второго сплава, чтобы сплавив его со всем первым сплавом, получить такой сплав, как требуется. Весь сплав будет весить (x+ 4) кг. Серебра в нем будет (2,8 + 0,9x)кг.

По условию

(x + 4) кг – 100%

2,8 + 0,9x – r%, откуда . Задача имеет решение тогда и только тогда, когда (только в таких пределах можно что-либо взять из куска весом в 3кг), т. е. ,

откуда .

Ответ. , задача имеет решение при .

В задачах на прогрессии необходимо грамотно использовать формулы n-го члена арифметической прогрессии, а также суммы n первых членов прогрессии.

Задача 24

Турист идет из одного города в другой, каждый день, проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 10 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров.

Решение

В первый день турист a1 = 10км, во второй – а2, …, в последний а6 км. Всего он прошел Sn = 120 км. Каждый день турист проходил больше, чем в предыдущий, на d км,

,

где n = 6 дней. Таким образом,

,

120 = (20 + 3d) ·3

d = 4

а3 = а1 + 2 d

а3 = 10 + 2·4 = 18 (км)

Ответ. 18

Задача 25

Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150 метрам.

Решение

Пусть улитка проползла в первый день a1 метров, во второй – а2, …, в последний – аn м. Тогда a1 + а2 = 10 м, а за n дней проползла:

.

Поскольку всего она проползла 150 метров, имеем:

5n = 150

n = 30

Таким образом, улитка потратила на весь путь 30 дней.

Ответ. 30

Задачи для самостоятельного решения

Задание В1

Задача 1

Больному прописано лекарство, которое нужно пить по 0,5 г 3 раза в день в течение 21 дня. В одной упаковке 10 таблеток лекарства по 0,5 г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения?

Задача 2

Для приготовления маринада для огурцов на 1 литр воды требуется 12 г лимонной кислоты. Лимонная кислота продается в пакетиках по 10 г. Какое наименьшее число пачек нужно купить хозяйке для приготовления 6 литров маринада?

Задача 3

Магазин делает пенсионерам скидку на определенное количество процентов от цены покупки. Пакет кефира стоит в магазине 40 рублей. Пенсионер заплатил за пакет кефира 38 рублей. Сколько процентов составляет скидка для пенсионеров?

Задача 4

Спидометр автомобиля показывает скорость в милях в час. Какую скорость (в милях в час) показывает спидометр, если автомобиль движется со скоростью 36 км в час? (Считайте, что 1 миля равна 1,6 км.)

Задача 5

Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке скидку 5%. Книга стоит 200 рублей. Сколько рублей заплатит держатель дисконтной карты за эту книгу?

Задача 6

Студент получил свой первый гонорар в размере 700 рублей за выполненный перевод. Он решил на все полученные деньги купить букет тюльпанов для своей учительницы английского языка. Какое наибольшее количество тюльпанов сможет купить студент, если удержанный у него налог на доходы составляет 13% гонорара, тюльпаны стоят 60 рублей за штуку и букет должен состоять из нечетного числа цветов?