Математика 11 класс (стр. 9 )

Задача 14. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 1500. Боковая сторона треугольника равна 20. Найдите площадь этого треугольника.

Задача 15.. Площадь треугольника ABC равна 4. DE – средняя линия. Найдите площадь треугольника CDE.

Задача 16. Средняя линия и высота трапеции равны соответственно 3 и 2. Найдите площадь трапеции. 

Задача 17. Периметры двух подобных многоугольников относятся как 3:5. Площадь меньшего многоугольника равна 18. Найдите площадь большего многоугольника.

Задача 18. Найдите площадь сектора круга радиуса 1, длина дуги которого равна 2.

Задача 19. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 18, и одна сторона на 3 больше другой. 

Задача 20. Площадь прямоугольника равна 18. Найдите его большую сторону, если она на 3 больше меньшей стороны.

Задача 21. Даны два квадрата, диагонали которых равны 10 и 6. Найдите диагональ квадрата, площадь которого равна разности площадей данных квадратов.

Задача 22. Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше площади квадрата, вписанного в эту окружность?

Задача 23. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Задача 24. У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?

Задача 25. Периметр треугольника равен 12, а радиус вписанной окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника.

Задача 26. Около окружности, радиус которой равен 3, описан многоугольник, площадь которого равна 33. Найдите его периметр.

Задание B9

Задача 1

От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

Задача 2

Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой.

Задача 3

Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 600. Высота пирамиды равна 6. Найдите объем пирамиды.

Задача 4

Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2, а боковые ребра равны и наклонены к плоскости основания под углом 300.

Задача 5

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна и образует углы 300, 300 и 450 с плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда.

Задача 6

Объем куба равен . Найдите его диагональ.

Задача 7

В цилиндрический сосуд, в котором находится 6 литров воды, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза. Чему равен объем детали? Ответ выразите в литрах.

Задача 8

Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 3 раза?

Задание С2

Задача 1

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра АB = 7, SC = 25. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой проходящей через середины ребер AS и ВС.

Задача 2

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1В1С1D1 известны ребра: АВ = 6, AD = S, СС1=16. Найдите угол между плоскостями ABC и A1DB.

Задача 3

В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите косинус угла между плоскостями ВА1С1 и BA1D1.

Задача 4

В правильном тетраэдре ABCD найдите угол между высотой тетраэдра DH и медианой ВМ боковой грани BCD

Задача 5

В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ЕВС точками М и N так, что ВМ: MN = 1:2. найдите ВС, если
АВ = 12.

Задание С4

Задача 1

В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ЕВС точками М и N так, что ВМ: MN = 1:2. найдите ВС, если АВ = 12.

Задача 2

В треугольнике ABC ЛВ = 7, ВС = 9: С4 = 4. Точка D лежит на прямой ВС так, что BD:DC = 1:5. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB касаются стороны AD в точках Е и F. Найдите длину отрезка EF.

Задача 3

Четырехугольник ABCD описан около окружности и вписан в другую окружность. Прямые AD и ВС пересекаются б точке М. Найдите периметр треугольника ЛВМ, если известно, что АВ = а и CD = b.

Задача 4

Четырехугольник ABCD описан около окружности и вписан в окружность. Прямые AD и ВC пересекаются в точке М. Найдите площадь четырехугольника, если известно, что и радиусы окружностей, вписанных в треугольники ВМС и AMD равны соответственно г и R.

Задача 5

В прямоугольнике ABCD со сторонами АВ = 4 и ЗС=10 на стороне АD расположены точки М и N таким образом, что DM = 4: при этом Р – точка пересечения прямых BN и СМ. Площадь треугольника MNP равна 1. Найдите длину отрезка, соединяющего точки М и N.

Задача 6

Прямая касается окружностей радиусов R и r в точках А и В. Известно, что расстояние между центрами равно а, причем r < R и r + R < a. Найдите АВ.

Задача 7

Четырехугольник ABCD описан около окружности и вписан в окружность. Прямые АВ и DC пересекаются в точке М. Найдите площадь четырехугольника, если известно, что и радиусы окружностей, вписанных в треугольники ВМС и AMD равны соответственно r и R.

Задача 8

Две окружности, радиусы которых равны 9 и 4: касаются внешним образом. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных окружностей и их общей внешней касательной.

Раздел VI. Задания с параметрами

Традиционно, уравнения с параметром являются достаточно сложными для среднего ученика. В задании C5 ЕГЭ по математике 2011 экзаменаторы предлагают именно такие уравнения, добавив в некоторые из них модуль. Для его решения от ученика потребуется умение делать оценку. Вы должны давать как можно более грамотный с математической точки зрения ответ. Ответ должен быть полным.

Решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами
показательной, тригонометрической и логарифмической
функциями

Задача 1

Найдите значения параметра n, при которых уравнение
15·10х – 20 = n – n·10х + 1 не имеет корней?

Решение

Преобразуем заданное уравнение: 15·10 х – 20 = n – n · 10х + 1;

15·10 х + n·10х + 1 = n + 20;

10х ·(15 + 10n) = n + 20;

10х = .

Уравнение не будет иметь решений при ≤ 0, поскольку 10 х всегда положительно.

Решая указанное неравенство методом интервалов, имеем:

≤ 0;

(n + 20)·(15 + 10n) ≤ 0;

-20 ≤ n ≤ – 1,5.

Ответ. .

Задача 2

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

lg2 (1 + х2) + (3а – 2)· lg(1 + х2) + а2 = 0 не имеет решений.

Решение

Обозначим lg(1 + х2) = z, z > 0,

тогда исходное уравнение примет вид: z2 + (3а – 2)·z + а2 = 0.

Это уравнение – квадратное с дискриминантом, равным (3а – 2)2 – 4а2 = 5а2 – 12а + 4.

Уравнение не имеет решений при дискриминанте меньше 0, то есть при 5а2 – 12а + 4 < 0, что выполняется при 0,4 < а < 2.

Ответ. (0,4; 2).

Задача 3

Найдите наибольшее целое значение параметра а, при котором уравнение

cos2x + a sinx = 2a – 7 имеет решение.

Решение

Преобразуем заданное уравнение: cos2x + asinx = 2a – 7;

1 – 2sin2х – asinx = 2a – 7;

sin2х – asinx + a – 4 = 0;

(sinх – 2) · = 0.

Решение уравнения (sinх – 2) · = 0 дает:

(sinх – 2) = 0; х принадлежит пустому множеству.

sinх – = 0;

х = (-1)n arcsin + πn, n Î Z при ≤ 1.

Неравенство ≤ 1 имеет решение 2 ≤ а ≤ 6, откуда следует, что наибольшее целое значение параметра, а равно 6.

Ответ. 6.

Задача 4

Укажите наибольшее целое значение параметра а, при котором корни уравнения 4х2 – 2х + а = 0 принадлежит интервалу (-1; 1).

Решение

Корни заданного уравнения равны: х1 = (1+ )

х2 = , при этом а ≤ .

По условию -1 < (1+ ) < 1 < < 3,

- 1 < < 1 > > – 3.

Решением, удовлетворяющим указанным двойным неравенствам, будет решение двойного неравенства: – 3 < < 3.

Неравенство – 3 < выполняется при всех а ≤ ,

неравенство < 3 – при – 2 < а ≤ .

Таким образом, допустимые значения параметра а лежат в интервале (-2; ).

Наибольшее целое значение параметра а из этого интервала, которое одновременно принадлежит и интервалу (-1; 1), равно 0.

Ответ. 0.

Задача 5

При каких значениях параметра а число корней уравнения
 равно а?

Решение

Построим эскиз графика функции у = , при этом учтем, что функция у – четная и ее график – симметричен относительно оси ординат, в силу чего можно ограничиться построением только его правой части (х ≥ 0).

Также учтем, что трехчлен х2 – 8х + 7 имеет корни х = 1 и х = 7,

при х = 0 у = 7, а при х = 4 у = – 9 (минимум).

На рисунке: пунктирными прямыми изображена парабола

у = х2 – 8х + 7

с минимумом умин = 9 при х мин = 4, и корнями х1 = 1 и х2 = 7;

сплошными линиями изображена часть параболы у = ,
(1 < х < 7), полученная зеркальным отражением относительно оси 0х части параболы

х2 – 8х + 7 при 1 < х < 7.

(Эскиз левой части графика функции при х < 0 можно получить, отразив эскиз правой части графика симметрично относительно оси 0у).

Проводя горизонтали у = а, а Î N, получаем k точек ее пересечение с линиями эскиза графика.

Имеем:

а	0	[1; 6]	7	8	9
k	4	8	7	6	4	2

Таким образом, а = k при а = 7.

Ответ. 7.

Задача 6

Укажите значение параметра а, при котором уравнение
х4 + (1 – 2а)х2 + а2 – 4 = 0 имеет три различных корня.

Решение

Всякое биквадратное уравнение в общем случае имеет две пары корней, причем корни одной пары различаются только знаком. Три корня возможны в случае, если уравнение имеет одну пару в виде нуля.

Корни заданного уравнения равны:

х =

Одна из пар корней будет равна 0, если (2а–1) = .

Решая это уравнение при условии 2а–1 > 0 > , имеем:

(2а – 1) = (2а – 1)2 = 17 – 4а 4а2 – 4а +1 = 17 – 4а а = 2.

Ответ. 2.

Задача 7

Укажите целое значение параметра p, при котором уравнение

cosx – 2sinx = + имеет решение.

Решение

р ≥ 0; и 2 – р ≥ 0 р ≤ 2;

объединяя допустимые значения параметра р, имеем: 0 ≤ р ≤ 2.

При р = 0 исходное уравнение принимает вид – 2sinх = 2 х принадлежит пустому множеству (в силу ограниченности синуса).

При р = 1 исходное уравнение принимает вид: cosx–2sinx = +1.

Максимальное значение разности (cosx–2sinx) составляет

= (-sinx – 2cosx) = 0 tgx = -2,

при этом sinx = sin (arctg(-2)) = ,

cosx – 2sinx = , что меньше +1.

Следовательно, при р = 1 уравнение решений не имеет.

При р = 2 исходное уравнение принимает вид: .

Максимальное значение разности составляет при х = arctg(-)

(при этом sinx = , cosx = ).

Поскольку > +1, то уравнение = будет иметь решение.

Ответ. 2.

Задача 8

Определить число натуральных n, при которых уравнение не имеет решения.

Решение

х ≠ 0, n ≠ 10.

Уравнение х2 – 8х – n(n – 10) = 0 не имеет решения, если его дискриминант меньше 0,

т. е. 16 + n(n–10) < 0 n2 –10n +16 < 0 (n–2) (n–8) <0 2 < n < 8.

В найденном интервале 5 натуральных чисел: 3, 4, 5, 6 и 7. Учитывая условие n ≠ 10, находим, что общее число натуральных n, при которых уравнение не имеет решений, равно 6.

Ответ. 6.

Задача 9

Найти наименьшее целое значение параметра а, при котором уравнение (0 < х < ) имеет решение.

Решение

По условию 1 > sinx > 0 1 < < + ,

1 > cosx > 01 < < + ,

Следовательно, 2 < а < + .

Возводя обе части заданного уравнения в квадрат, имеем:

= а2 = а2

= а2.

Введем переменную z = .

Тогда исходное уравнение примет вид: z2 + 2z – а2 = 0.

Оно имеет решение при любом а, поскольку дискриминант
D = 1 + а2 положителен при любом а.

Учитывая, что 2 < а < + , заключаем, что наименьшее целое значение параметра а, при котором заданное уравнение имеет решение равно 3.

Ответ. 3.

Задача10

Найдите все значения a, при каждом из которых система имеет единственное решение.

Решение

Пусть система имеет решение (x; y).

Если x не равен 0, то система имеет второе решение (-x; y). Значит, решение может быть единственным, только при x = 0.

Подставим x=0 в первое уравнение: y = a – 2. Пара (0; a – 2) должна удовлетворять второму уравнению:

(a – 2)2 = 4, откуда a = 0 или a = 4.

Для каждого из двух найденных значений параметра нужно проверить, действительно ли данная система имеет единственное решение.

Первый случай: a = 0. Система принимает вид: Графиком функции y = |x| – 2 является угол, который имеет с окружностью x2+y2=1 три общие точки. Значит, при a=0 система имеет три решения.

Второй случай, a = 2. Система принимает вид

Из первого уравнения следует, что при x, не равном нулю, y > 2,

а из второго уравнения при x, не равном нулю получаем, что
|y| < 2.

Следовательно, при x ≠ 0 система решений не имеет.

Значит, при a = 4 есть только одно решение x = 0, y = 2.

Ответ. а = 4.

Задача 11

Найти все значения параметра a, при которых уравнение
4х – |3х – |х + а|| = 9 |х – 1| имеет хотя бы один корень.

Решение

Запишем уравнение в следующем виде:

.

Функция непрерывна и

1) неограниченно возрастает при , так как при любом раскрытии модулей будем иметь:

где

2) убывает при , так как при любом раскрытии модулей будем иметь:

где .

Следовательно, свое наименьшее значения функция f примет при , а уравнение имеет корень тогда и только тогда, когда

Решим это неравенство:

Ответ. .

Задача 12

Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
|x² – ax + │x² + x + 1│ < 3 выполняется при всех x.

Решение

Т. к. x² + x + 1 > 0

│x² – ax + 1│< 3 x² + 3x + 3

Получаем два случая:

Первый случай x² – ax + 1 > 0 a² – 4 < 0 -2 < a < 2 x² – ax + 1 < 3x² + 3x + 3 2x² + (a + 3)x + 2 > 0 a² + 6a + 9 – 16 < 0 a1 = -7, a2 = 1 -2 < a < 1

Второй случай x² – ax + 1 < 0 (-∞;-2];[2;+∞) 4x² + (3 – a)x + 4 > 0 9 – 6a + a² – 64 < 0 a² – 6a – 55 < 0 a1 = -5, a² = 11 (-5;-2];[2;11) Ответ. (-5;1);[2;11)

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1

Найдите все значения а, такие, что уравнение │х + 3│ – 1 = │2х – а│ имеет единственное решение.

Задача 2

Найдите все значения а, такие, при каждом из которых уравнение

1 =│х – 3│ – │2х – а│ имеет единственное решение.

Задача 3

Найдите все значения а, такие, при каждом из которых уравнение

4х – │3х – х + а│= 9│х – 3│ имеет хотя бы два корня.

Задача 4

Найдите все значения а, при каждом из которых из неравенства
0 ≤ х ≤ 1 следует неравенство (а² + а – 2)х² – (а + 5) – 2 ≤ 0.

Раздел VIІ. Теория чисел

Рассмотрим последнее задание, которое предстоит решить ученикам на ЕГЭ по математике. Данная задача является, пожалуй, самой сложной из всех предложенных в КИМах. Вы должны давать как можно более грамотный с математической точки зрения ответ. Ответ должен быть полным.

Задача 1

Найдите все такие пары взаимно простых натуральных чисел (то есть чисел, наибольший общий делитель которых равен 1) a и b, что если к десятичной записи числа приписать справа через запятую десятичную запись числа , то получится десятичная запись числа, равного

Решение

Пусть десятичная запись числа состоит из цифр. Тогда по условию задачи можно записать равенство

, поэтому  

Из этого уравнения следует, что .

Так как числа a и b взаимно простые, числа b – a² и ab тоже взаимно простые. (Действительно, пусть p – общий простой делитель этих чисел. Тогда, если p – делитель a, то p – делитель b. Если же p – делитель b, то p – делитель a², значит, p – делитель a. Противоречие.) Поэтому b – a² = 1 и, следовательно, . Последнее равенство при взаимно простых a и b возможно только в двух случаях: