Мікроекономіка: теорія та приклади розв’язання задач (стр. 22 )

Звідси

Q1 = 78 – 0,5(78 – 0,5Q1) = 78 – 39 + 0,25Q1,

Q1 – 0,25Q1 = 39,

0,75Q1 = 39,

Q1 = 39 : 0,75,

Q1 = 52 одиниці.

Аналогічно знаходимо Q2:

Q2 = ,

Q2 = 78 – 0,5(78 – 0,5Q2),

Q2 = 78 – 39 + 0,25Q2,

Q2 – 0,25Q2 = 39,

0,75Q2 = 39,

Q2 = 39 : 0,75,

Q2 = 52 одиниці.

6. Знаходимо ринкову ціну продукції:

P = 80 – 0,5Q,

Q = Q1 + Q2,

P = 80 – 0,5(Q1 + Q2),

Q1 = 52,

Q2 = 52,

P = 80 – 0,5 ∙ (52 + 52) = 80 – 52 = 28 грн.

7. Для графічного зображення маємо:

Q1 = 78 – 0,5Q2.

Якщо Q2 = 0, то Q1 = 78 одиниць.

Якщо Q1 = 0, то Q2 = 156 одиниць.

Аналогічно будуємо графік для другої фірми:

Q2 = 78 – 0,5Q1,

Q1 = 0, Q2 = 78,

Q2 = 0, Q1 = 156.

Графічна інтерпрітація розвязку задачі наведена на рисунку 10.5.

Рис. 10.5. Графічна інтерпрітація розв’язку задачі.

Задача 3. Ця задача наведена для того, щоб краще зрозуміти суть матриці гри та суть поняття домінуючої стратегії. Отже, розглянемо таку матрицю гри:

Гравець А	Гравець В
вліво	вправо
Вгору	a, b	c, d
Вниз	e, f	g, h

1. Якщо (вгору; вліво) є рівновагою в домінуючих стратегіях, то яким буде співвідношення між a та e; b та d; c та g; f та h?

2. Якщо (вгору; вліво) є рівновагою за Нешем, то які з нерівностей, визначених у попередньому пункті, мають задовольняти цю умову?

3. Якщо (вгору; вліво) є рівновагою у домінуючих стратегіях, чи обов’язково дана комбінація стратегій має бути також і рівновагою за Нешем? Чому?

Розв’язання

1. Усі такі комбінації мають задовольняти дану умову:

a ≥ e; b ≥ d; c ≥ g; f ≥ h.

2. Для рівноваги Неша достатньо, щоб виконувалися такі умови:

a ≥ e; b ≥ d.

3. Рівновага в домінуючих стратегіях є підмножиною рівноваги за Нешем, тому кожна рівновага в домінуючих стратегіях є рівновагою за Нешем.

Задача 4. Для того щоб дізнатися, як люди поводять себе в ігровій ситуації, економісти та соціологи інколи проводять експерименти, у яких суб’єкти грають в ігри на гроші. Одна з таких ігор – добровільна гра в суспільні блага (voluntary public goods game). Ця гра обирається для того, щоб показати ситуацію, у якій індивіди можуть чинити дії, які мають для них певне значення, але ці дії виявляються вигідними для суспільства в цілому.

Розглянемо добровільну гру в суспільні блага для двох гравців. Два гравці знаходяться в різних кімнатах. У кожного гравця є 10 дол. Гравець має два варіанти використання цих грошей. Він може залишити їх собі або ж вкласти їх у «суспільний фонд». Гроші, які надходять у суспільний фонд, множаться на 1,6, а потім порівну діляться між двома гравцями. Якщо кожен вкладає свої 10 дол., тоді кожен отримує назад (20 ∙ 1,6) : 2 = 16 (дол.).

Якщо один із гравців вкладає гроші, а інший ні, тоді кожен отримує назад (10 ∙ 1,6) : 2 = 8 (дол.) із суспільного фонду. Відповідно гравець, який зробив внесок, має у кінці гри 8 дол., а гравець, який не робив внесок, має 18 дол. – свої початкові 10 дол. плюс 8 дол. із суспільного фонду. Якщо ніхто не вкладе гроші, обидва гравці отримають свої початкові 10 дол.. Платіжна матриця має таку форму.

Добровільна гра в суспільні блага

Гравець А	Гравець В
вкладає	не вкладає
Вкладає	(16, 16)	(8, 18)
Не вкладає	(18, 8)	(10, 10)

Чи має ця гра рівновагу в домінуючих стратегіях? Якщо так, то якою буде рівновага?

Розв’язання

Оскільки стратегія, яка полягає в тому, щоб отримати більші гроші, є жорстко домінуючою (18 > 16, 10 > 8), то дана гра має рівновагу в домінуючих стратегіях за умови, що обоє гравців «не вкладають».

Задача 5. Розглянемо більш загальну версію добровільної гри в суспільні блага, описаної в попередній задачі. Ця гра має N гравців, кожен із яких може або вкласти свої 10 дол., або ж залишити їх собі. Усі гроші, які вкладаються в суспільний фонд, помножуються на деяке число В > 1 та діляться порівну між усіма гравцями (включаючи тих, які нічого не вклали у суспільний фонд). Таким чином, якщо усі N гравців вклали свої 10 дол. у фонд, кількість грошей, яку можна буде поділити між гравцями, буде дорівнювати 10В × N, а кожен гравець отримає 10В ∙ N : N = 10В (дол.) із суспільного фонду.

1. Якщо В > 1, який із наведених можливих результатів гри принесе вищий виграш кожному з гравців:

а) кожен із гравців вкладає свої 10 дол.,

б) кожен із гравців не вкладає свої 10 дол..

2. Нехай рівно К гравців зробили свої внески. Якщо ви не вкладете свої 10 дол., то отримаєте 10 дол. плюс вашу частку із суспільного фонду, складеного з внесків інших гравців:

а) яким буде ваш виграш у цьому випадку?

б) якщо ви внесете 10 дол., якою буде загальна кількість гравців, які зробили внески? Яким буде ваш виграш?

3. Якщо В = 3, а N = 5, якою буде рівновага в домінуючих стратегіях у цій грі? Поясніть свою відповідь.

4. Яким у загальному випадку має бути взаємозв’язок між В та N, щоб стратегія «не вкладати» залишилася домінуючою?

Розв’язання

1. Якщо кожен з гравців вкладає свої 10 дол., виграш кожного гравця становитиме 10В (дол.). У протилежному ж випадку гравці отримають свої 10 (дол.). Оскільки В > 1, а відповідно й 10В > 10, то саме внесення грошей у суспільний фонд забезпечить кожному гравцю вищий виграш.

2. У першому випадку ваш виграш становитиме .

У другому випадку виграш дорівнюватиме з кількістю гравців, які зробили внесок К+1.

3. Використовуючи відповідь, отриману в п. 2, можна записати, що стратегія «Не вкладати» приносить виграш: , а стратегія «Вкладати» приносить виграш .

Тому якщо вважати поведінку інших гравців наперед заданою, то внесення 10 дол. у кінцевому підсумку принесе виграш (якщо порівняти та ).

Оскільки 3/5 < 1, то для всіх гравців домінуючою стратегією буде «не вкладати».

4. З попереднього пункту видно, що якщо , то стратегія «не вкладати» залишається домінуючою, оскільки ця стратегія приносить більший виграш, ніж стратегія «вкладати» для будь-яких К:

.

Задача 6. Нехай дві фірми продають диференційовані товари-замінники. Якщо фірма 1 обирає обсяг випуску q1, а фірма 2 обирає обсяг випуску q2, то обернена функція попиту на продукцію фірми 1 має такий вигляд:

p1 = a – bq1 – cq2.

Обернена функція попиту на продукцію фірми 2 має такий вигляд:

p2 = a – bq2 – cq1,

де a > b та b > c > 0.

Нехай витрати обох фірм дорівнють нулю.

1. Визначте рівноважні обсяг випуску та ціни в моделі Курно.

2. Розрахуйте рівноважний обсяг випуску для фірми 1 в моделі Штакельберга, якщо фірма 1 є лідером, а фірма 2 – аутсайдером за Штакельбергом. Перевірте свою відповідь, якщо b = c = 1 (майте на увазі, що для гомогенних товарів з лінійними функціями попиту на них лідер обирає монопольний обсяг випуску, а послідовник – половину монопольного випуску.)

3. Визначте рівноважні обсяг випуску та ціни за моделлю Бертрана (майте на увазі, що товари є диференційованими, тому ціна не зводиться до граничних витрат). Підказка: ви маєте записати функції попиту, обернені до даної в умові, тобто записати qі як залежність від р1 та р2.

4. Порівняйте відповіді, отримані в п. 1 та 3.

Розв’язання

1. Модель Курно.

Вирішимо проблему максимізації прибутку для фірми 1:

Аналогічно для фірми 2 ми отримуємо

.

Підставляючи значення q2 у вираз для q1, ми отримаємо

2. Модель Штакельберга.

Тепер фірма 1 є лідером, тому ми починаємо розв’язання з вирішення проблеми максимізації прибутку для фірми 2. Проблема така сама, як і в п. 1: для будь-якого рівня випуску q1 фірма 2 виготовляє

.

Знаючи це, фірма 1 вирішує таку проблему:

.

Знаходячи першу необхідну умову існування екстремуму та розв’язуючи її для q1, ми отримуємо:

Якщо b = c = 1:

3. Модель Бертрана.

Спочатку ми знаходимо обернені до фірм функції попиту:

.

Підставляючи одне рівняння в інше і розв’язуючи отримані рівняння для обсягів виробництва, отримуємо:

Тепер вирішуємо проблеми максимізації прибутку для фірм.

Фірма 1:

.

Знаходячи першу необхідну умову існування екстремуму та розв’язуючи її для p1, отримуємо

.

Аналогічно для фірми 2:

.

Підставляючи один вираз в інший та розв’язуючи отримані вирази відносно цін, отримуємо:

.

4. Порівнюємо відповіді, отримані в п. 1 та 3, маємо:

,

.

Задача 7. Розглянемо таку гру. Є n левів, пронумерованих 1; 2; …; n, і розміщених у такій самій послідовності. У будь-який момент часу передостанній лев (n – 1) може з’їсти останнього лева n. Але якщо він це зробить, то, у свою чергу, стане останнім у шерензі і ризикує тим, що тепер його може з’їсти попередній лев (n – 2) і т. д. У будь-який момент часу лише останній лев може стати жертвою попереднього, у той час як будь-який інший лев залишається живим та здоровим. Знайдіть оптимальну рівновагу усіх підігор цієї гри.

Розв’язання

Для того щоб знайти оптимальну рівновагу підгри, необхідно починати рух із кінця. У такій грі остання дія буде зроблена першим левом. Перший лев завжди буде їсти другого, оскільки першого лева точно не з’їдять. Знаючи це, найкращим варіантом для другого лева буде не їсти третього лева та завершити гру. Оскільки другий лев не їсть третього, третій лев, у свою чергу, вважатиме за краще з’їсти четвертого лева і т. д. Тому оптимальною рівновагою підгри буде така поведінка: леви з непарними номерами будуть їсти наступних левів, а леви з парними номерами не будуть їсти наступних левів.

Задача 8. Сергій та Владислав вирощують гарбузи та продають їх на сільськогосподарському ринку. Вони є єдиними продавцями гарбуза на ринку, де функція попиту на гарбузи описується рівнянням q = 3200 –1600p. Загальна кількість гарбузів, які продаються на ринку, дорівнює q = qc + qv, де qc – це кількість гарбузів, яку продає Сергій, а qv – кількість, яку продає Владислав. Вартість виробництва гарбузів для кожного з фермерів становить 0,50 дол. за гарбуз, причому неважливо, скільки гарбузів він виростив.

1. Якою є обернена функція попиту на гарбузи на фермерському ринку?

2. Щовесни кожен із фермерів вирішує, скільки гарбузів вирощувати. Обидва фермери знають місцеву функцію попиту та кількість гарбузів, що була продана іншим фермером минулого року. Кожен фермер передбачає, що інший буде продавати таку саму кількість гарбузів у цьому році, яку він продавав і в минулому. Якщо Владислав продавав 400 гарбузів минулого року, якою, на думку Сергія, буде ціна гарбузів, якщо сам він продає 1200 гарбузів у цьому році? Якщо Владислав продав гарбузів у році t – 1, яку ціну має очікувати Сергій, якщо він збирається продати гарбузів в цьому році?

3. Якщо Владислав продав гарбузів минулого року, якою, на думку Сергія, буде його гранична виручка в цьому році, якщо він продає у цьому році?

4. Тепер нехай Сергій вважає, що Владислав ніколи не змінить кількості гарбузів, яку він вирощує, тобто кількість буде дорівнювати . Тому Сергій, максимізуючи прибуток, обирає такий обсяг виробництва, за якого його гранична виручка буде дорівнювати його граничним витратам. Розв’яжіть проблему максимізації прибутку для Сергія та запишіть функцію реакції Сергія за моделлю Курно, , яка визначає, яким буде обсяг виробництва Сергія у цьому році як реакція на обсяг виробництва Владислава в минулому році, щоб забезпечити максимізацію прибутку. (Це має бути лінійний вираз у формі ).

5. Нехай Владислав приймає свої рішення в такий самий спосіб, як і Сергій. Запишіть його функцію реакції. (Ви повинні вміти зробити це навіть не проводячи розрахунків).

6. Нехай у році 1 Сергій виростив 200 гарбузів, а Владислав виростив 1000 гарбузів. Скільки виростить Сергій у році 2? Скільки виростить Владислав? Скільки виростить Сергій у році 3? Скільки виростить Владислав? Якщо ви продовжите розрахунки для кількох років, до якого обсягу виробництва буде прямувати випуск Сергія та випуск Владислава?

7. Запишіть рівняння для умов одночасного вибору обсягів виробництва, яке може бути використане для того, щоб знайти випуски та , за яких і Сергій, і Владислав обидва захочуть виготовляти ту саму кількість у наступному періоді. Скільки кожен фермер буде вирощувати в рівновазі за Курно? Якою буде загальна кількість гарбузів, випущених на фермерський ринок? Якою буде ціна гарбузів на ринку? Який прибуток матиме кожен із фермерів?

Розв’язання

1. Обернена функція попиту матиме такий вигляд:

.

2. .

3.

.

4. ;

.

5. Використовуючи симетричність ситуації, можемо відразу записати

.

6. Використовуючи функції реакції з п. 4, 5, ми отримуємо:

7.

Підставляючи одне рівняння в інше, маємо:

.

Підставляючи ці дані в формулу прибутку знаходимо, що прибуток кожного фермера буде дорівнювати 400 дол.

Відповідь: кожний фермер отримує прибуток, що дорівнює 400 дол.

Задача 9. Нехай ринок гарбузів такий самий, як був описаний у попередній задачі, за винятком однієї деталі. Щовесни на полі в Сергія сніг розтає на один тиждень раніше, ніж на полі у Владислава. Тому Сергій може саджати гарбузи на тиждень раніше, ніж Владислав. Владислав може побачити, скільки гарбузів Сергій посадив і який врожай він збере восени. У Владислава буде вся ця інформація до того, як він прийме власне рішення щодо кількості гарбузів, яку він буде саджати. (Нехай також Сергій буде продавати кожен гарбуз, який він виростить).

1. Якщо Сергій садить достатньо гарбузів, щоб отримати у цьому році, тоді яким би був обсяг виробництва Владислава у цьому році, який дозволив би йому максимізувати прибуток? (Підказка: згадайте функції реакції, які були знайдені в попередній задачі).