Тема уроку. Послідовності (стр. 10 )

Кожному учню вчитель роздає дві картки — зелену і червону. Якщо учень згоден з відповіддю гравця, він піднімає зелену картку, якщо ні — червону.

Гравець одержує 1 бал (зірку), якщо він дав правильну відповідь і всі його вболівальники показали, що вони згодні з ним;

0,5 бала — якщо він дав правильну відповідь, а хтось з уболівальників не погодився з ним; відповів неправиль­но, але весь ряд не погодився з ним і будь-який уболівальник може дати пра­вильну відповідь.

Грають по одному учню від кожно­го варіанта (усього 6 гравців).

І тур

Я стверджую, що всі записи — пра­вильні формули для арифметичної про­гресії. Напишіть номер неправильної відповіді або 0, якщо такої немає.

Гравці пишуть номер на дошці, убо­лівальники мовчки піднімають картки.

1.

2.

3.

4.

5.

ІІ тур

Усі написані послідовності – арифметичні прогресії. Чи так це? Укажіть номер неправильної відповіді, якщо вона є:

1. 5, 7, 9, 11, … ;

2. 20, 10, 0, -10, …;

3. 2, 4, 6, 8, …;

4. 1, 2, 6, 8, …;

5. 15, 3, -9, ….

Усі написані послідовності – геометричні прогресії. Чи правильно це?

1. 2, 4, 8, 16, … ;

2. 200, 20, 2, …;

3. 3, - 6, 12, …;

4. 1, 4, 16, …;

5. 8, 4, 0, -4, ….

ІІІ тур

Використовуючи тільки два числа – 2 і 5, утворіть з них таку прогресію, щоб сума перших десяти її членів була найбільшою.

ІV тур

Учитель записує на дошці будь-яке число. Наприклад, 60. Гравці повинні придумати арифметичну прогресію, сума перших трьох членів якої дорівнює 60.

V тур

Придумайте таку геометричну прогресію, в якій S3=S5

Підбиваються підсумки гри «Зоря­ний час».

III. Розв'язування задач.

1. Історичні задачі.

Підсумовуванням арифметичних і геометричних прогресій та складанням відповідних задач займалися багато любителів математики протягом бага­тьох століть.

- У давньоруському юридичному збірнику «Руська правда» містяться відомості про приплід від худоби і бджіл за певний відомий проміжок часу, про кількість зерна, зібраного з визначеної ділянки землі та ін. Ці задачі, очевид­но, не мали господарського чи юридич­ного значення, а, як і в інших країнах, були результатом розвитку інтересу до математики та математичного змісту даних задач.

Проте вперше задачі на прогресії виникли зі спостережень над явищами природи і з досліджень суспільно-еко­номічних явищ, до яких можна засто­сувати закон прогресії. Так, у вави­лонських текстах розповідається про те, що збільшення освітленої частини місячного диска протягом перших п'я­ти днів відбувається за законом гео­метричної прогресії зі знаменником 2, у наступні 10 днів — за законом ариф­метичної прогресії з різницею 16. Ши­рокий інтерес вавилонян до астрономії робить зрозумілим виникнення цієї за­дачі.

Зміст ряду історичних задач на прогресії відбиває той подив, який викликало у тих, хто розв'язував ці задачі, швидке зростання величини членів геометричної прогресії зі зна­менником, більшим від 1, а також коли вони зіставляли два явища, з яких одне відбувається за законом арифме­тичної прогресії, а інше — за зако­ном геометричної. Розглянемо при­клади таких історичних задач. (При бажанні задачі можна розіграти у ви­гляді інсценівок).

Задача 1. Легенда про винахід шахів.

Шахову гру винайшли в Індії. Оз­найомившися з нею, індійський принц Сирам, захоплений дотепністю і різно­манітністю можливих у ній ситуацій, покликав до себе її винахідника, уче­ного Сету, і сказав йому: «Я хочу гідно нагородити тебе, Сета, за прекрасну гру, яку ти придумав. Я досить багатий, щоб виконати будь-яке твоє бажання».

«Володарю, — відповів Сета, — на­кажи видати мені за першу клітинку шахівниці одну пшеничну зернину, за другу — 2 зернини, за третю — 4, і так за кожну клітинку вдвічі більше, ніж за попередню».

«Ти одержиш свої зерна. Але знай, що твоє прохання не варте моєї щед­рості. Іди. Слуги мої винесуть тобі твій мішок із пшеницею». На другий день придворні математики з'явилися до принца Сирама.

«Ми ретельно обчислили, — гово­рили вони йому, — усю кількість зе­рен, що бажає одержати Сета. Число це таке велике, що зерен не вистачить ні в яких коморах, навіть цілого цар­ства. Не знайдеться такої кількості зе­рен і на всьому просторі Землі. І якщо ти обов'язково хочеш видати нагоро­ду, то накажи перетворити всі царства в поля, висушити річки, озера, розчи­нити кригу і сніги. Увесь цей простір засій пшеницею й усе, що виросте на ньому за 5 років, накажи віддати Сеті. Тоді він одержить свою винагороду».

Зі здивуванням слухав принц Сета слова вчених. «Напишіть же мені це дивовижне число», — сказав він.

Розв'язання Маємо геометричну прогресію (bn), де b1=1, q=2.

18 446 744 073 709 

Задача 2. Винагорода.

Полководець Теренцій за наказом імператора переміг у черговому поході і з трофеями повернувся до Риму. При­бувши до столиці, він прийшов на прийом до імператора.

—Багато перемог одержав я, щоб звеличити твою міць, імператоре. Я не боявся смерті. Але я втомився. Настав час відпочити.

—Чого ж ти хочеш від мене? — за­питав імператор.

—За довгі роки військового життя я не встиг створити собі грошового статку. Нехай щедрість твоя допоможе мені дожити мирно й у статку.

Імператор не відрізнявся великою щедрістю. Він любив нагромаджувати гроші для себе і скупо витрачав їх на інших. Прохання полководця змусило його замислитися.

— Яку ж суму ти хотів би для себе, Теренцій?

—Мільйон динаріїв, імператоре

Імператор пообіцяв дати відповідь завтра. Наступного дня в призначену годину полководець прийшов у палац.

— Вислухай мене, воїне, — сказав імператор, — у моїй скарбниці лежить 5 мільйонів мідних брасів (1 брас = динарія). Ти ввійдеш до скарбниці, візьмеш одну монету в руки, повер­нешся сюди і покладеш її до моїх ніг. Другого дня знову ввійдеш до скарбниці, візьмеш монету, що дорівнює двом брасам і теж покладеш до моїх ніг. Третього дня принесеш монету в 4 браси, четвертого — у 8 і т. д., що­разу, подвоюючи вартість монети. Я на­кажу щодня виготовляти для тебе мо­нети потрібної цінності. І поки виста­чить у тебе сил піднімати монети, ти будеш виносити їх. Ніхто не має права тобі допомагати, ти повинен користу­ватися лише власними силами. І коли помітиш, що не можеш більше підня­ти монету, зупинися, домовленість наша закінчена, а всі монети, що ти виніс, залишаться тобі і будуть твоєю винагородою.

— Я задоволений твоєю милістю, імператоре, — радісно відповів Теренцій, уявляючи величезну кількість монет, і одна більша від іншої.

Почалися щоденні відвідування Теренцієм скарбниці. Першого дня він виніс 1 брас — невелику монету 21 мм у діаметрі і вагою 5 г. Легкими були і 2-й, і 4-й, і 6-й переходи. Сьома монета ва­жила вже 320 г і була 84 мм у діаметрі, восьма — 640 г і діаметром 10,5 см, дев'я­та — 1 кг 250 г і 13 см у діаметрі.

Імператор не приховував свого тріумфу. Він бачив, що зроблено 12 переходів, а винесено лише 2000 мідних монеток.

На 14-й день полководець виніс зі скарбниці монету вагою 41кг і 42 см у діаметрі.

— Чи не втомився ти, мій хоробрий Теренцій? — запитав його імператор, стримуючи посмішку.

— Ні, імператоре, — похмуро відповів полководець.

Настав 15-й день. Теренцій ніс мо­нету вагою 82 кг і 53 см у діаметрі. На 16-й день полководець хитався під но­шею, що лежала в нього на спині — монетою вагою 164 кг, 67 см у діаметрі.

Коли Теренцій з'явився в прий­мальні імператора на 17-й день, його зустріли дружним сміхом — він уже не міг нести свою ношу в руках, а котив її перед собою. Монета важила 328 кг.

— Не можу більше, вистачить...

Чи одержав Теренцій мільйон ди­наріїв?

Відповідь. Ні. S17 = динарія.

Задача 3. Винагорода воїна (задача з російського підручника, 1795 р.).

Воїну, що служив, дано винагоро­ду: за першу рану — 1 копійка, за другу — 2, за третю — 4 і т. д. Виявилося, що воїн одержав винагороду 655 руб. 35 коп. Запитується, яка кількість його ран.

Розв'язання

Складаємо рівняння: 65 535 = 1 + 2 + 4 + ... + 2x-1 =Sx , 65 535= = 2x -1,

2х =65 536, х=16.

Тобто за такої великодушної систе­ми нагородження воїн повинен одержа­ти 16 ран і залишитися живим, щоб «удо­стоїтися» винагороди 655 руб. 35 коп.

Задача 4. Купівля коня.

Дехто продав коня за 156 рублів, але покупець роздумав купувати і повернув коня продавцю. Тоді продавець запро­понував йому інші умови: «Якщо по-твоєму ціна коня висока, то купи тільки цвяхи з його підков, а коня одер­жиш тоді на додачу безкоштовно. Цвяхів у кожній підкові 6. За перший заплати мені копійки, за другий — копійки, за третій — 1 копій­ку і т. д.». Покупець, спокушений низькою ціною і бажаючи задарма одержати коня, прийняв умови продавця, розра­ховуючи за цвяхи заплатити не більше 10 руб. На скільки проторгувався по­купець?

Розв'язання

. 4 (тис. руб.)

За таких умов можна дати і коня на додачу.

2. Розв'язування задач практичного змісту.

Задача 5. Побудова теплиці.