Тема уроку. Послідовності (стр. 11 )

Потрібно виготовити вертикальні стержні для теплиці з дроту так, щоб найменший мав довжину 5 дм, а кож­ний наступний був на 2 дм довший (до 7-го стержня). Обчисліть довжину дро­ту, необхідну для виготовлення стержнів.

Розв'язання

Маємо арифметичну прогресію (аn), де а1=5, d=2.

1-ий спосіб 60+77=137(м)

2-ий спосіб 120+17=137(м)

Відповідь. 137 м.

Задача 6. Поливання грядок.

У городі 30 грядок, кожна довжи­ною 16 м і шириною 2,5 м. Поливаючи грядки, городник приносить відра з во­дою з колодязя, розташованого в 14 м від краю городу, і обходить грядки вздовж межі, причому води, принесе­ної за один раз, вистачає для поливан­ня лише однієї грядки. Якої довжини шлях проходить городник, поливаючи весь город? (Шлях починається і закін­чується біля колодязя.)

Розв'язання

Для поливання першої грядки го­родник проходить шлях 14 + 2,5 + 16 + 2,5 + 16+14 =

= 65 (м). Для поливання другої грядки він проходить 14 + 2,5 + 16 + 2,5 + 16 + 2,5 +

+ 2,5 + 14 = 70 (м). Для кожної наступної грядки по­трібно пройти шлях, на 5 м довший за попередній. Маємо арифметичну прогресію: 65, 70,75,.... Обчислимо

(м)

Відповідь. Городник, поливаючи го­род, проходить шлях 4,125 км.

Задача 7. Поширення чуток.

До нашого міста з 50-тисячним на­селенням о 8-й годині ранку прибув мешканець столиці і привіз свіжу, ціка­ву для всіх новину. У будинку, де зупи­нився приїжджий, він повідомив нови­ну лише трьом місцевим жителям. Це зайняло, скажімо, 15 хв, тобто о 8.15 новина була відома лише чотирьом: приїжджому і трьом місцевим жителям. Довідавшись про цю новину, кожний із трьох громадян розповів про неї трьом іншим. На це знадобилося теж 15 хв. Кожний з дев'яти, які довідалися про новину, поділився нею в найближчі 15 хв із трьома іншими мешканцями міста. Якщо чутка поширюватиметься і надалі з такою самою швидкістю, то скільки пройде часу, перш ніж усе місто дізнається про неї?

Розв'язання

Маємо геометричну прогресію 1, З, 9, 27,.... Обчислимо, при яких п її сума ста­не більшою за3n > , n =10. Пройде 10 разів по 15 хвилин, тобто 2 год 30 хв і о 10.30 новина буде відома всьому місту

Задача 8. Бригада землекопів.

Старшокласники пообіцяли вири­ти на шкільній ділянці рівчак й організували для цього бригаду. Якби бригада працювала в повному складі, рівчак вирили б за 24 год. Але на­справді до роботи взявся спочатку тільки один член бригади. Через де­який час приєднався другий, ще че­рез стільки ж часу — третій і так до останнього. Під час розрахунку з'я­сувалося, що перший працював у 11 раз довше за останнього. Скільки часу працював останній?

Розв'язання

Нехай останній працював х год, тоді перший працював 11х год. Якщо кількість учнів була у, то загальна кількість годин роботи — сума. у членів арифметичної прогресії

З іншого боку, для виконання ро­боти необхідно 24у години. 6ху=24у, х=4.

Отже, останній працював 4 години.

Знання прогресій потрібні і в ба­гатьох інших галузях, якщо, напри­клад, йдеться про розмноження бак­терій у біології або про фінансові піраміди.

IV. Підсумок уроку.

V. Домашнє завдання. Задача про розмноження бактерій. Вправа 262 (ст. 247)

Урок 12

Тема уроку. Арифметична та геометрична прогресії. Розв’язування задач і вправ.

Мета: закріплення знань, формування вміння вибирати раціональні способи розв’язування задач, розвиток логічного мислення.

ХІД УРОКУ

І. Актуалізація опорних знань. Перевірка домашнього завдання.

II. Розв’язування задач і вправ. Тренувальні вправи.

Завдання 4(вар.3) Знайдіть суму всіх натуральних чисел, які кратні 6 і менші від 250.

Розв’язання

Формула чисел, кратних 6 має вигляд an=6n. З умови 6n<250; n<250 : 6=41,(6) маємо максимальне значення n=41. a1=6; a41=246;

Завдання 1(вар.29) Скільки додатних членів містить арифметична прогресія 4,6; 4,2; 3,8; …?

Розв’язання

Маємо а1= 4,6; а2= 4,2; d= 4,2 –4,6= - 0,4; an=a1+(n-1)d= 4,6 - 0,4(n-1)>0

-0,4n +5>0; 0,4n<5; n<5: 0,4=12,5. Максимальне значення n=12. У прогресії 12 додатних членів.

Завдання 4(вар.11) Чому дорівнює сума всіх від’ємних членів арифметичної прогресії -4,7; -4,3; -3,9; …?

Розв’язання

Маємо а1= - 4,7; а2= - 4,3; d= -4,3 –(-4,7)=0,4; an=a1+(n-1)d=-4,7+0,4(n-1)<0

0,4n-5,1<0; 0,4n<5,1; n<5,1: 0,4=12,75. Максимальне значення n=12. a12=a1+11d=

= -4,7+11*0,4= -0,3;

Завдання 1(вар.51) Знайдіть номер члена арифметичної прогресії 11,8; 12,4; 13; …, який дорівнює 20,8.

Розв’язання

Маємо а1= 11,8; а2= 12,4; d= 12,4 –11,8= 0,6; an=a1+(n-1)d= 11,8+ 0,6(n-1)=20,8;

0,6n +11,2=20,8; 0,6n=20,8 – 11,2=9,6; n=9,6 : 0,6 =16. 16-й член прогресії 20,8

Завдання 2(вар.15) Знайдіть суму двадцяти перших членів арифметичної прогресії (аn) , якщо а5= - 0,8, а11 = -5.

Розв’язання

a11=a1+10d= -5; a5=a1+4d= -0,8; почленно віднявши, одержимо 6d=-4,2; d= -0,7;

a1=a11-10d= -5 – 10*(-0,7)=2; a20=a1+19d=2+19*(-0,7)= -11,3;

Завдання 2(вар.9) Знайдіть суму п’яти перших членів геометричної прогресії (bn) , якщо b3=18, q=3.

Розв’язання

b3=b1*q2; b1=b3: q2=18:32 =2;

Завдання 2(вар.39) Між числами 2,5 і 20 вставте два таких числа, щоб вони разом із даними числами утворювали геометричну прогресію.

Розв’язання

За умовою b1=2,5; b4=20; b4= b1*q3; q3=b4 : b1= 20 : 2,5=8=23; q=2; b2=b1q=2,5*2=5;

b3=b2q=5*2=10. Треба вставити числа 5 і 10.

Завдання 4(вар.121) Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії (bn) , якщо

b2-b4=1,5; b1-b3=3.