Тема уроку. Послідовності (стр. 1 )

Урок1

Тема уроку. Послідовності.

Мета: ознайомити учнів з поняттям послідовності і різними способами її задання; ознайомити з історією понят­тя послідовності; формувати вміння аналізувати, узагальнювати, робити висновки.

Хід уроку

І. Вивчення нового матеріалу.

Тема, яку ми починаємо вивчати, — «Послідовності».

1. Спробуйте пояснити значення сло­ва «послідовність» з погляду української мови, як би ви записали означення цьо­го поняття до тлумачного словника.

2. Наведіть приклади послідовнос­тей, з якими ми зустрічаємося в житті (черга, список, приготування їжі, зміна пір року тощо.)

3. У навколишньому середовищі елементами послідовностей є різні предмети та явища. Що може бути елементом послідовності в математиці? Звичайно, число.

Числовою послідовністю називається функція, задана на множині натуральних чисел.

4. На дошці записано кілька числових послідовностей. Спробуйте пояснити словами, які числа утворюють кожну з них і назвіть кілька наступних її членів.

а) 3, 6, 9, 12, …; б) 2, 4, 6, 8, …;

в) ; г) 3, 6, 12, 24, … ;

д) 10, 11, 12, …, 98, 99 ; е) 1, 4, 9, 16, 25, … ;

є) -8, -5, -2, 1, … ; ж) 12, 4, , … ;

з) -8, -16, -32, … ; и) 2, 6, 18, 54, … ;

і) 13, 10, 7, 4, 1, … ; к) 1, 2, 3, 5, 8, 13, … .

Ці послідовності ми задали словесним способом. Більшість з них можна задати формулою n-го члена, тобто формульним описом елемента за його порядковим номером. (Відповіді учнів з коментарями вчителя)

Спробуйте класифікувати записані послідовності. Що можна покласти в основу класифікації? (Зростання-спадання, скінченні-нескінченні, спосіб утворення).

Особливий інтерес у математиці викликає остання із записаних по­слідовностей, яку називають «числами Фібоначчі».

Повідомлення про числа Фібоначчі.

На початку XIII ст. в Італії з'явила­ся «Книга про абак». Автором цієї праці був уродженець міста Пізи Леонардо син Боначчі (Фібоначчі), або Леонар­до Пізанський. Леонардо одержав ма­тематичну освіту й ознайомився з ариф­метикою та алгеброю арабів у Алжирі (м. Бугія). Надалі за родом діяльності (Фібоначчі був торговельним уповно­важеним м. Пізи) йому довелося побу­вати в Єгипті, Сирії, Греції, Сицилії та Франції. Подорожуючи, він прагнув розширити свою математичну освіту. Повернувшись до Пізи, Леонардо ство­рює в 1202 р. «Книгу про абак», за якою навчалося багато поколінь європей­ських математиків. Виклад матеріалу про індійську позиційну систему чис­лення та його подання в цій книзі були цілком оригінальними і набагато зруч­нішими від арабських першоджерел. Теоретичний матеріал пояснюється на великій кількості задач. Одна з них — така задача про кролів. «Дехто помістив пару кролів у певному місці, огоро­дженому з усіх боків стіною, щоб дові­датися, скільки пар кролів народиться при цьому протягом року, якщо їхня природа така, що через місяць пара кролів народжує іншу пару, а народжу­ють кролі з другого місяця від свого на­родження. Скільки пар кролів протягом року від однієї пари народжується?»

Випишемо послідовність чисел кролів на початку кожного із шести місяців: 1, 2, З, 5, 8, 13.

Легко помітити, що 3-й член по­слідовності одержуємо з 1-го і 2-го членів додаванням, 4-й — додаванням 2-го і 3-го і т. д. Продовживши цей ряд чисел до 13-го члена, ми й одержимо відповідь задачі, поставленої Фібоначчі – 377.

Послідовність 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … на честь автора задачі про кролів називають послідовністю Фібоначчі.

Ряд Фібоначчі згодом виявився дуже корисним у науці. Він зустрічається в багатьох розділах математики: у ком­бінаториці, геометрії, теорії чисел, а також задачах на максимум і мінімум.

Він відомий не тільки математикам, а й природознавцям. Так, наприклад, якщо дерево розгалужується щороку і на другому році має 2 гілки, то на третьому кількість гілок звичайно дохо­дить до 3, на четвертому — до 5, на п'я­тому — до 8, і так щороку. Отже, кількість гілок є послідовністю чисел ряду Фібоначчі.

Листя на гілках росте навколо стеб­ла рівномірно за гвинтовою лінією, тобто кожний наступний листок зна­ходиться вище й убік від попередньо­го. При цьому для кожного виду рос­лин характерний свій кут розходження сусідніх листків. Цей кут звичайно ви­ражається дробом, що показує, яку час­тину кола він становить. Так у липи і в'яза кут розходження листків становить ½ частини кола, у бука 1/3, у дуба і вишні 2/5, у тополі і груші – 3/8, у верби — 5/13 тощо. Такий самий кут у кожного виду рослин зберігається також і в роз­ташуванні гілок, бруньок, лусочок усе­редині бруньок, а також у квітів.

Послідовність Фібоначчі називають рекурентною послідовністю.

Рекурентний — від латинського сло­ва recurro — повертатися. Зміст назви цього методу полягає в тому, що для зна­ходження наступного члена послідов­ності слід повернутися до попереднього.

Деякі послідовності називають прогресіями.

Слова «прогресія», «прогрес», «прогресивний» — одного кореня.

Прогресія — це послідовність, побудо­вана за таким законом, який дає змогу продовжувати її необмежено, тобто ру­хатися вперед.

Термін «прогресія» вперше зустрі­чається у римського вченого Боеція (V— VI ст.). У XVII ст. поряд із терміном «прогресія» для позначення послідовності використовували термін «ряд».

Послідовності можна задати переліченням їх членів. Члени багатьох послідовностей — цілі числа. Такі послідовності називаються цілочис­ловими.

Таких послідовнос­тей багато. Усі вони дуже цікаві, але де­які з них відомі ще мало. Лише в 1973 р. у США було видано довідник числових послідовностей. У ньому описано більше 2300 послідовностей, кожна під своїм номером. У цьому списку під номером 577 записано послідовність:

1,2,5,14,132,429,....

Члени цієї послідовності називають­ся числами Каталана на честь бельгій­ського вченого Ежен Шарля Каталана, який у 1838 р. вперше описав цю по­слідовність.

Числа Каталана

Першим із числами Каталана зуст­рівся Леонард Ейлер, розв'язуючи зада­чу: скількома способами опуклий многокут­ник можна розділити на трикутники діа­гоналями, що не перетинаються?

лівого кута в правий на шахівницях зі сторонами 2, 3, 4,... ?

З допомогою чисел Каталана роз­в'язується багато цікавих задач, на­приклад, задача про рукостискання.

За круглим столом сидить парна кількість осіб. Кожний потискує руку од­ному з інших так, щоб ніякі дві пари з’єднаних рук не перетиналися. Скількома способами це можна зробити?

(Демонстрація розв'язання задачі для двох і чотирьох осіб практично, а для шести — доціль­ніше зробити малюнок.)

З допомогою чисел Каталана роз­в'язується більше 450 математичних за­дач. От яка це цікава послідовність!

II. Тренувальні вправи.

Вправа 204. Напишіть кілька перших членів послідовності квадратів натуральних чисел. Який її n-ий член?

Розв’язання. Послідовність матиме вигляд: 1, 4, 9, 16, 25, …, n2, …

Такий спосіб задання називається задання послідовності формулою n-го члена.

Вправа 206. Напишіть кілька перших членів послідовності натуральних чисел, кратних 3. Обчисліть її сороковий член.

Розв'язання

(аn) = 3, 6, 9, 12, 15, 18,... . Загальна формула аn=3n

a1 = 3, a5 = 15, а10 = 30, а100 = 300, а40 = 120

Запитання

1. Яким способом було задано по­слідовність? (Словесним.)

2. Яка формула n-го члена для цієї послідовності? (аn =3*п)

Вправа 207. Напишіть кілька перших членів послідовності, n-ий член якої an=n2-1 Знайдіть a10, a20, a100

Розв'язання

(аn) = 0, 3, 8, 15, 24, … a10=99, a20=399, a100=9999.

Вправа 208. Знайдіть шостий, восьмий і десятий члени послідовності, n-ий член якої

Розв'язання

b6 = 26=64, b8=28=256, b10=210=1024

Вправа 209. Чи правильно, що - формула n-го члена послідовності натуральних чисел, які при діленні на 5 дають остачу 2 ?

Розв'язання

Формула задає таку послідовність чисел : 2, 7, 12, 17, 22, …, що дійсно задовольняють описану умову, тобто при діленні на 5 дають остачу 2.

Вправа 211. Перший член послідовності дорівнює 7, а кожний інший на 2 більший від попереднього. Напишіть кілька її перших членів.

Розв'язання

(аn) = 7, 9, 11, 13, 15, 17, … аn = 5+2n

Вправа 213. Послідовність а1, а2, а3, а4, … така, що а1= -5 і аі+1 – аі =3 для кожного натурального числа і. Знайдіть а2, а5, а10.

Розв'язання

(аn) = -5, -2, 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, … аn = -8+3n; а2=-2, а5=7, а10=22

Вправа 215. Підберіть n-ий член послідовності, перші члени якої:

а) 2, 5, 8, 11, …;

б) 3, 6, 12, 24, 48, …;

в) 0, -2, -4, -6, …;

г) .

Розв'язання

а) аn=3n – 1, б) an= 3*2n-1 в) an=2-2n г)

Вправа 216. Перші два члени послідовності 1 і 3, а кожний інший дорівнює сумі двох попередніх її членів. Напишіть 10 перших членів цієї послідовності.

Розв'язання

Вправа 217. Послідовність 1, -1, 1, -1, 1, -1, … така, що сума будь-яких двох її сусідніх членів дорівнює 0. Напишіть її n-ий член.