Тема уроку. Послідовності (стр. 6 )

7. Знайти суму членів арифметичної прогресії з дев’ятого по двадцятий включно, якщо

а1=3,6; d= -0,3.

Розв’язання.

1) аn=а1 +(n-1)= -1,8+(n-1)*0,5=0,5n-2,3=9,7; 0,5n= 9,7+2,3=12; n= 12: 0,5=24; n=24;

Якщо існує натуральний розв’язок рівняння. аn=а1 +(n-1)= -1,8+(n-1)*0,5=0,5n-2,3=14,6; то існуватиме і член послідовності з таким значенням. 0,5n -2,3= 14,6; 0,5n= 14,6+2,3= 16,9;

n= 16,9 :0,5= 33,8. Число 14,6 не є членом цієї послідовності.

2) Умову подамо у вигляді системи:

Почленно віднявши обидві частини рівнянь, одержимо: 15d= - 45 – ( -15)= -30; d= - 2.

а1 = -15 – 7d= -15 -7*(-2)= -1.

3) Якщо між числами -3 та -38 вставити чотири числа, то число -3 буде першим членом арифметичної прогресії, а -38 її 6-им членом (2+4=6). Але a6=a1+5d; 5d= a6 – a1 =-38 – (-3)=-35

d= -35 : 5= -7. Звідси, маємо a2= -3 -7= -10; a3= -10 – 7= -17; a4= -17 – 7 == -24; a5= -24 – 7 = -31.

Отже, потрібно вставити числа -10, -17, -24, -31.

4) У даній арифметичній прогресії а1= -15,3; d= -11,2 – ( -15,3) =4,1. Умова від’ємності члена запишеться як an=a1+(n-1)d= -15,3+(n-1)*4,1= 4,1n -19,4 <0 ; 4,1n<19,4 ; n<19,4 : 4,1 = . Це означає, що від’ємними будуть перші чотири члени прогресії. Номер першого додатного члена цієї прогресії дорівнює 5. a5=a1+4d=-15,3 +4*4,1=1,1.

5) Щоб знайти суму всіх натуральних чисел, кратних 7, які лежать на проміжку від 300 до 600, необхідно визначити перший і останній члени та їх кількість. Формула чисел, кратних 7 це 7n. Так як 300=7*42+6, 600=7*85+5, то з послідовності an=7n нам необхідно знайти суму членів від 43 по 85 включно, тобто суму 85-42=43 чисел, першим з яких є число 7*43=301, а останнім 7*85=595.

За формулою суми маємо

6) Умову подамо у вигляді системи:

Почленно віднявши обидві частини рівнянь, одержимо: 9d= 2,7 – 0,9 = 1,8; d= 0,2.

а1 = 0,9 – 4d= 0,9 – 4 *0,2 =0,1.

Отже, сума перших п’ятнадцяти членів цієї прогресії дорівнює 22,5 .

7) Знайти суму членів арифметичної прогресії з дев’ятого по двадцятий включно можна такими двома способами:

1-й спосіб , ,

S=S20 – S8 =15 – 20,4= -5,4 .

2-й спосіб Члени послідовності, починаючи з дев'ятого, утворюють прогресію, в якій

b1 = а9=a1+8d=3,6 +8* ( -0,3)= 1,2; останній 20 – 8 = 12 член дорівнює b12=a20=a1+19d=3,6+19*(-0,3)= - 2,1;

ІІІ. Підсумок уроку. Домашнє завдання. Переглянути ще раз § 60, виконати вправи 234(а, б)

№ 000 а) аn= 3n; 1000=333*3+1; n=333; S333=(3+999)*333 :2 = 166833;

б) аn= 5n; 1000=200*5; n=200; S200=(5+1000)*200 :2 = 100500.

Урок 6

Тема уроку. Арифметична про­гресія: підсумкова самостійна робота.

Мета: закріплення знань, перевірити рівень засвоєння матеріалу.

ХІД УРОКУ

І. Актуалізація опорних знань. Перевірка домашнього завдання.

ІІ. Розв’язування задач і вправ.

Задача 240. На стороні СА кута АСВ від його вершини відкладено рівні відрізки і через їх кінці проведено паралельні прямі. Знайдіть довжини відрізків А3В3, А7В7, AnBn, якщо А1В1=2,5 см.

Розв’язання.

Провівши через точки А1, А2, … прямі, паралельні до другої сторони кута, побачимо, що утворені відрізки пропорційні відрізку А1В1. А2В2=2А1В1=2*2,5 см= 5см;

А3В3=3А1В1=3*2,5 см= 7,5см; А7В7=7А1В1=7*2,5 см=17,5см; АnВn=nА1В1=2,5n см.

Задача 244. Кінці відрізків, паралельних основам трапеції, лежать на її бічних сторонах і ділять кожну з них на 8 рівних відрізків. Знайдіть довжини цих відрізків і їх суму, якщо основи трапеції a i b.

Розв’язання.

Нехай в трапеції АВСD більша основа AD=a, а менша ВС=b. Провівши відрізок ВК || CD , K Î AD. Довжини відрізків А1К1, А2К2, …, АК утворюють арифметичну прогресію з різницею d=. Маємо ; ;

В С

А1 К1 С1

А4 К4 С4

А6 К6 С6

А7 К 7 С7

А К С

і т. д.

Сума довжин всіх семи відрізків:

ІІІ. Підсумкова самостійна робота за варіантами.

Варіант 1.

Знайдіть 23-ій член арифметичної прогресії ( an) , якщо a1 = – 15; d=3.

2. Знайдіть суму 16-и перших членів арифметичної прогресії 8, 4, 0, …

3. Знайдіть суму 60-и перших членів послідовності (bn) , заданої формулою bn=7n – 5 .