Тема уроку. Послідовності (стр. 7 )

4. Чи є число 54, 5 членом арифметичної прогресії, в якій а1=25,5; а9=5,5 ?

5. Знайдіть суму всіх натуральних чисел, кратних 3, що не перевищують 200.

6**(додаткове) Між числами 3 і 24 вставте три числа так, щоб утворилася арифметична прогресія

ІV. Підсумок уроку. Домашнє завдання. Повторити основні формули §60, виконати вправу 242(див. задачу 241)

№ 000 аn= 4,9 +9,8(n-1)=9,8n-4,9; h=Sn==490; n2=490:4,9=100;

n=10. Гайка падатиме з висоти 490 м протягом 10 с.

Урок7

Тема уроку. Геометрична прогресія, її властивості. Формула n-го члена геометричної прогресії.

Мета: дати означення геометричної прогресії, навчити знаходити елементи прогресії за формулою n-го члена, визначати зростання й спадання прогресій залежно від q.

Хід уроку

І. Актуалізація опорних знань. Аналіз самостійної роботи. Розбір типових помилок. Перевірка домашнього завдання. (усно)

ІІ. Мотивація навчальної діяльності.

Де людина у своїй практичній діяльності зустрічається з прогресія­ми? У наш час існує така галузь знань, яка називається стандартизація, де розробляються вимоги до промисло­вих виробів з позицій споживача. Ма­тематика є теоретичною основою су­часної стандартизації.

Розглянемо приклад. Виготовлені на заводах консерви пакують у ящики, далі їх завантажують у контейнери, які перевозять в автомобілях, а потім — на залізничні платформи. Якби розміри всіх цих видів тари не були узгоджені, то це призвело б до великих втрат і збитків під час перевезень.

Як забезпечити цю узгодженість? Виявляється, якщо конструктори за­лізничних вагонів і платформ введуть відповідно величини вантажопідйом­ності 25; 40; 63 і 100 т, конструктори автомобілів приймуть вантажопід­йомність проектованих машин 2,5; 4; 6,3; 10 т, масу контейнерів визначать у 250; 400; 630 і 1000 кг, масу ящиків - у 25; 40; 63 і 100 кг, а масу окремих консервних банок — у 250; 400; 630 і 1000 г, то вантажопідйомність і місткість транспортних засобів під час перевезення консервів буде використана найефективніше.

Чому саме ці числа? Тому що вони - члени основного ряду кращих чисел 1; 1,6; 2,5; 4; 6,3; 10; … — гео­метричної прогресії зі знаменником q=.

Також зручні для стандартизації про­гресії зі знаменниками ; i

Вибір саме цих знаменників ви­значається багаторічним міжнародним досвідом, оскільки вони найкраще за­довольняють потреби промислового виробництва.

Члени цих прогресій називають кращими числами через те, що їх ре­комендують для раціональнішого за­стосування під час конструювання і розрахунків. До того ж не лише ре­комендують. Існує неписана міжна­родна угода, за якою ціни на товари міжнародної торгівлі автоматично знижуються на 10 %, якщо парамет­ри цих товарів не відповідають рядам кращих чисел.

Сьогодні на уроці ми повинні на­вчитися працювати з прогресіями — знаючи одні їх елементи, обчислюва­ти інші.

ІІІ. Вивчення нового матеріалу.

Тема, яку ми сьогодні вивчатимемо, називається «Геометрична прогресія, її властивості. Формула n-го члена геометричної прогресії»

Геометричною про­гресією називається послідовність, кож­ний член якої, починаючи з другого, дорів­нює попередньому, помноженому на одне і те саме число .

Запишемо це означення рекурент­ною формулою

Число q називають знаменником гео­метричної прогресії

Зв'я­зок між арифметичною та геометричною прогресіями був встановлений шотланд­ським математиком Джоном Непером. Йому належить ідея про те, що від властивостей арифметичної прогресії можна перейти до аналогічних власти­востей геометричної прогресії з додат­ними членами, якщо додавання і віднімання замінити відповідно множен­ням і діленням, а множення і ділення — піднесенням до степеня і добуванням кореня. Після такої заміни залишають­ся в силі не тільки формулювання влас­тивостей, але й доведення.

Перевіримо принцип Непера на практиці. Формула n-го члена арифметичної прогресії має вигляд: . Для геометричної прогресії формула n-го члена матиме вигляд: , тобто при переході від першого члена до n-го необхідно виконати множення на q n-1 раз.

Будь-який член ариф­метичної прогресії дорівнює середньому арифметичному наступно­го і попереднього членів, тобто

Розглянемо будь-який член геометричної прогресії. Як він пов'язаний з його наступним і попереднім чле­нами? Виявляється, що він дорівнює середньому геометричному наступно­го і попереднього членів, тобто або

Звідси і назва прогресії – геометрична . Цю властивість доводимо у вправі 250 (ст. 245)

Цю властивість можна узагальнити і сформулювати так: добуток двох членів скінченої геометричної прогресії, рівновіддалених від її кінців, дорівнює добутку крайніх членів.

ІV. Тренувальні вправи.

Вправа 248. Напишіть формулу n-го члена геометричної прогресії :

а) 3; 9; 27; 81; …; б) 1;

Розв’язання.

а) b1=3; b2=9; q= bn=b1*qn-1=3*3n-1=3n;

б) b1=1; b2=; q= bn=b1*qn-1=1*.

Якими мають бути b1 і знаменник q, щоб геометрична прогресія була зроcтаючою (спадною)?

Вправа 245. Чи є геометричною прогресією послідовність :

а) 3, 6, 12, 14, …; б) 1, ?

Два учні біля дошки пояснюють недотримання правила утворення геометричної прогресії.

Вправа 246. Напишіть сім перших членів геометричної прогресії, у якої :

а) b1=1; q=3; б) b1= 10; q=.

Розв’язання.

а) b1=1; b2=3; b3=9; b4=27; b5=81; b6=243; b7 =729.

б) b1=10; b2=5; b3=2,5=; b4=1,25=; b5=; b6=; b7 =.

Вправа 247. b1, b2, b3, b4, … - геометрична прогресія. Знайдіть b12 , якщо :

а) b1=1; b2=6; б) b1=25; b2= - 50; в) b3=1; b4=0,5.

Розв’язання.

а) q= b12=b1*q11=1*611=611;

б) q= b12=b1*q11=25*(-2)11= - 51200;