Тема уроку. Послідовності (стр. 2 )

Розв'язання

an=(-1)n+1

III. Підсумок уроку. Домашнє завдання.

Прочитати §59, розв’язати вправи № 000, 212, 214

№ 000 (an)= 1, 8, 27, 64, 125, … an=n3

№ 000 (an)= 5, 2, -1, -4, -7, … an= 8-3n

№ 000 (an)= , 1, 2, 4, 8, 16, … an=2n-2

Урок2

Тема уроку. Арифметична прогресія, її властивості. Формула n-го члена арифметичної прогресії.

Мета: дати означення арифметичної прогресії, навчити знаходити елементи прогресії за формулою n-го члена, визначати зростання й спадання прогресій залежно від d.

Хід уроку

І. Організаційна частина. Актуалізація опорних знань. 1. Задайте послідовність словесно і формулою:

а) 1, 2, 3, 5, 8, … ;

б) 1, 5, 9, 13, …;

в) 1, 4, 9, 16, 25, … ;

г) 5, 10, 20, 40, … ;

д) 35, 40, 45, 50, …;

е) 50, 40, 30, 20, … .

2. Обчисліть кілька перших членів послідовності за формулою n-го члена:

а) ; б)

ІІ. Перевірка домашнього завдання. (усно)

ІІІ. Вивчення нового матеріалу.

Тема, яку ми сьогодні вивчатимемо, називається «Арифметична прогресія, її властивості. Формула n-го члена арифметичної прогресії.»

Арифметичною про­гресією називається послідовність, кож­ний член якої, починаючи з другого, дорів­нює попередньому, складеному з одним і тим самим числом.

Запишемо це означення рекурент­ною формулою

Число d називають різницею ариф­метичної прогресії

Назвіть, чому дорівнюють d у написаних вами прогресіях.

Історична довідка.

У перекладі з латинської слово про­гресія означає рух уперед.

Прогресії відомі здавна, а тому не можна сказати, хто їх відкрив. Адже і натуральний ряд 1, 2, 3,4,... — це ариф­метична професія, в якої а1 =1; d=1. .

Під час розкопок у Єгипті було знайде­но папірус, що датується 2000 р. до н. е., але і його було переписано з іншого, ще давнішого, віднесеного до третього тисячоліття до н. е. Учені розшифрува­ли текст папірусу і прочитали кілька задач. Зміст деяких з них дає мож­ливість віднести їх до задач на прогресії.

Задачі на прогресії зустрічаються в одній з найдавніших пам'яток пра­ва — «Руській правді», укладеній ще за Київського князя Ярослава Мудро­го (XI ст.). Там є стаття, присвячена обчисленню приплоду від 22 овець за 12 років за умови, що кожна вівця що­річно приносить 1 вівцю і 2 барани.

Значна кількість задач на професії є в «Арифметиці» Л. Магницького (1703), що була основним математич­ним підручником у Росії протягом майже півстоліття.

А тепер подумаємо, чому професію назвали арифметичною.

Розгляньте будь-який член ариф­метичної прогресії. Як він пов'язаний з його наступним і попереднім чле­нами? Виявляється, що він дорівнює середньому арифметичному наступно­го і попереднього членів, тобто

Звідси і назва прогресії – арифметична

Цю властивість можна узагальнити і сформулювати так: сума двох членів скінченої арифметичної прогресії, рівновіддалених від її кінців, дорівнює сумі крайніх членів.

Використовуючи означення арифметичної прогресії, одержимо її члени:

a1, а1+d, а1+2d, а1+3d, а1+4d, а1+5d, а1+6d, а1+7d, …

Звідси аn=а1+(n-1)d Це формула n-го члена арифметичної прогресії.

IV. Тренувальні вправи.

Усно: Вправа 219. Чи є арифметичною прогресією послідовність:

а) 1, 3, 5, 8, 11, 14, … ; б) 0, -1, -3, -5, -8, … ?

Розбір прикладів 1 і 2 на стор.238 та коментування їх розв’язування.

Вправа 220. Напишіть сім перших членів арифметичної прогресії, у якої :

а) а1 =2, d=5; б) a1 = -3, d=4; в) a1 =0, d=0, 5; г) a1 = 4, d= -1.

Розв'язання

а) 2; 7; 12; 17; 22; 27; 32; б) -3; 1; 5; 9; 13; 17; 21;

в) 0; 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; 3; г) 4; 3; 2; 1; 0; -1; -2.

Вправа 221. В арифметичній прогресії a1 = 9; d=4. Знайдіть а15, а32.

Розв’язання.

a15 = a1 +14d= 9+14*4=65; a32 = a1 +31d= 9+31*4=133.

Вправа 222. В арифметичній прогресії a2 =14; а3=25. Знайдіть а10, а20.

Розв’язання.

d =a3-a2=25-14=11; a1=a2-d= 14-11=3; a10 = a1 +9d=3+9*11=102;

a20 = a1 +19d= 3+19*11=212.

Вправа 223. В арифметичній прогресії a4 = 2; a6=3. Знайдіть а40, а41.

Розв’язання.

a4 = a1 +3d; a6=a1+5d; a6-a4=2d=3-2=1; d=0,5; a1=a4-3d=2-3*0,5=0,5;

a40 = a1 +39d= 0,5+ 39*0,5=20; a41=a40+d=20+0,5=20,5.

Вправа 225. Знайдіть n-ий член арифметичної прогресії:

а) 2, 5, 8, …; б) 7, 6, 5, … ; в) г) 2; , 1, …

Розв’язання.

a) d=5-2=3; a1 =2; an =2+(n-1)3=3n-1;