Тема уроку. Послідовності (стр. 8 )

в) q= b3=b1*q2; b1=; b12=b1*q11=4*=.

Вправа 249. Чи є геометричною прогресією послідовність, n-ий член якої:

а) bn=2n; б) cn=9 .

Розв’язання.

а) так, b1=2; q=2; б) так, q=, с1=3.

Вправа 250. Доведіть, що квадрат кожного члена геометричної прогресії, починаючи з другого, дорівнює добутку двох сусідніх його членів.

Розв’язання.

Формулою цю умову запишемо як : . Так як , а , то , тобто , що й треба було довести.

V. Підсумок уроку. Домашнє завдання.

Прочитати §61, розв’язати вправи № 246(в, г); 249 (в)

Вправа 246. Напишіть сім перших членів геометричної прогресії, у якої :

в) b1=-5; q=2; б) b1= 1; q= - 2.

Розв’язання.

в) b1= -5; b2= -10; b3= -20; b4= -40; b5= -80; b6= - 160; b7 = -320.

г) b1=1; b2=-2; b3=4; b4=-8; b5=16; b6=-32; b7 =64.

Вправа 249. Чи є геометричною прогресією послідовність, n-ий член якої:

в) рn= - .

Розв’язання.

в) так, р1= ; q=.

Урок8

Тема уроку. Сума перших n членів геометричної прогресії.

Мета: ознайомити учнів з формулою для обчислення суми n перших членів геометричної прогресії, формувати навички й уміння застосовувати формулу для розв’язування задач; розвивати логічне мислення, обчислювальні навички учнів; виховувати інтерес до предмета; показати зв’язок математики з життям.

Хід уроку

І. Актуалізація опорних знань.

1. Дати означення геометричної прогресії.

2. Як можна задати геометричну прогресію?

3. Відомі перший член геометричної прогресії і знаменник. Як знайти десятий член?

4. Відомі будь-які два послідовні члени геометричної прогресії. Як знайти знаменник?

ІІ Вивчення нового матеріалу.

Тема, яку ми сьогодні вивчатимемо, називається «Сума перших n членів геометричної прогресії»

Виведемо формулу суми перших членів довільної геометричної прогресії.

Нехай bn –геометрична прогресія. Позначимо суму перших n її членів через Sn.

Маємо:

Помножимо обидві частини рівності на q:

Враховуючи, що , , …, , маємо:

Віднімемо почленно рівності, що містять Sn , одержимо:

Отже, якщо , то . Якщо врахувати, що , то дістанемо ще одну формулу для обчислення суми n перших членів геометричної прогресії: , якщо

ІІІ. Тренувальні вправи. Формування навичок і вмінь.

Вправа 255(а, б). Знайдіть суму 15 перших членів геометричної прогресії:

а) 1, 2, 4, 8, …; б) 1024, 512, 256, ….

Розв’язання.

а)За умовою Тоді

б)За умовою Тоді

Вправа 256(а, б). Знайдіть суму семи перших членів послідовності, n-ий член якої:

а) an=2n ; б) an=0,5n

Розв’язання.

а) Підстановкою одержимо, що Тоді

б) За формулою маємо Тоді

Вправа 257(в, г). Знайти суму n перших членів геометричної прогресії, якщо:

в) а1=81, q=, n=8; г) a1=-2, q=2, n=12.

Розв’язання.

в) г)

Задача 260. Було це майже 100 років тому. Селянин продавав 20 овець за 200крб. Коли один з покупців став надто довго торгуватись, селянин запропонував: «Дай за першу вівцю одну копійку, за другу ­­- 2 к., за третю - 4 к. і далі за кожну вівцю вдвічі більше копійок, ніж за попередню». Покупець погодився. Скільки він заплатив за тих 20 овець?

Розв’язання

Вартість овець, про які йдеться в задачі, є сумою 20 членів геометричної прогресії, перший член якої b1=1, а знаменник q=2. Тоді (к). Легко побачити, що 1048575 к=10485крб. 75к, тобто набагато більше 200 крб.

Задача 262. Бактерія, потрапивши в організм, до кінця двадцятої хвилини ділиться на дві, кожна з них до кінця двадцятої хвилини знов ділиться на дві і т. д. Скільки бактерій стане в організмі через добу?

Розв’язання.

Очевидно, що за одну годину поділ пройде тричі, за 24 години, тобто за добу, поділ бактерій відбудеться 3*24=72 рази, причому залежність кількості бактерій від номера поділу має вигляд: bn=2n, тобто b72=272.

IV. Підсумок уроку. Домашнє завдання. § 61, № 000(в), 257(а, б), 263 (додатково)

№ 000 в)За умовою Тоді

№ 000 а) б)

№ 000 Від початку нашої ери пройшло вже 2005 років, протягом яких вже було 66 проміжків по 30 років, бо , причому на цей час у 1980 році народилось 267 дітей у 266 тридцятирічних матерів, які тепер мають 55 років, а їх дочки мають 25 років, тобто тепер їх живе не менше як 266 +267

Урок 9.

Тема. Сума нескінченно спадної геометричної прогресії. Задачі на обчислення сум.

Мета: ознайомити учнів з форму­лою суми нескінченно спадної про­гресії; готувати їх до сприйняття понят­тя границі; вчити перетворювати періо­дичні дроби у звичайні; закріплювати навички роботи з підручником.

Хід уроку

І. Актуалізація опорних знань.

1. Охарактеризуйте кожну з по­слідовностей:

а) 4, 9, 14, 19,...;

б) 5, 10, 20,...;

в) 20, 5, ;

г) 3, 6, 12, 24,...;

д) 8, 4, 0, -4..

2. За якої умови арифметична (гео­метрична) прогресія буде зростаючою(спадною)?

II. Постановка мети і завдань.

Сьогодні мова йтиме про спадну гео­метричну професію, тобто таку гео­метричну професію, в якій |q| < 1.

III. Вивчення нового матеріалу.
Запишемо вже відому нам формулу суми для геометричної професії та перетворимо її :

При необмеженому збільшенні п множник q" ® 0, а отже, прямує до нуля і добуток Тому при необмеженому збільшенні п сума Sn прямує до числа і це число називають сумою нескінченної геометричної прогресії, у якої |q| < 1.