Тема уроку. Послідовності (стр. 3 )

б) d=6-7= -1; a1 =7; an =7+(n-1)(-1)= -n +8

в) d=; a1 =; an =+(n-1)=n

г) d=1,5-2= -0,5; a1 =2; an =2+(n-1)(-0,5)= -0,5n+2,5

V. Підсумок уроку. Домашнє завдання. Прочитати § 60(ст. 237-238), виконати вправу 224(а-г)

Вправа 224. а1, а2, а3, а4, … - арифметична прогресія. Знайдіть а30, якщо:

а) а3=3, а4=4; б) а5=9, а7=13; в) а1=8, а5-а3=6; г) а2=5, а5-а1=12.

Розв’язання.

а) d=a4 – a3 =4-3=1; a1=a3 -2d =3-2*1=1; a30 =a1+29d=1+29*1=30;

б) 2d=a7 – a5 =13-9=4; d=2; a1=a5 -4d =9 - 4*2=1; a30 =a1+29d=1+29*2=59;

в) 2d=a5 – a3 = 6; d=3; a30 =a1+29d=8+29*3= 95;

г) 4d=a5 – a1 = 12; d=3; a1=a2 - d = 5 -3 = 2; a30 =a1+29d=2+29*3= 89.

Урок 3

Тема уроку. Сума перших n членів арифметичної про­гресії.

Мета: вивести формулу Sn для арифметичної прогресії, навчати обчислювати Sn, знаходити раціональні способи розв’язування задач.

ХІД УРОКУ

І. Актуалізація опорних знань. Перевірка домашнього завдання.

1. Усне опитування учнів.

1. Яку послідовність називають арифметичною прогресією?

2. Як називають стале число d для такої послідовності?

3. Чому дорівнює число d?

4. Якою є арифметична прогресія, якщо d<0, d>0, d=0 ?

5. За якою формулою можна знайти будь-який член арифметичної прогресії?

6. Як записується властивість трьох послідовних членів арифметичної прогресії?

7. Як перевірити, чи є послідовність арифметичною прогресією?

2. Перевірка домашнього завдання (Усно або з записом на дошці).

II. Мотивація навчальної діяльності.

Найдавнішою задачею на прогресії є задача про розподіл хліба, записана в єги­петському папірусі Рінда, яка відно­ситься, можливо, до III ст. до н. є. Зміст її приблизно такий: «Сто мір хліба слід розділити між п'ятьма людьми так, щоб другий одержав на стільки ж більше від першого, на скільки третій одержав більше від другого, четвертий — більше від третього і п'ятий — більше від чет­вертого. Крім того, двоє перших повинні одержати в 7 раз менше за трьох інших. Скільки потрібно дати кожному?»

Бачимо, що перші із задач на про­гресії, які дійшли до нас, пов'язані із запитами господарського життя і сус­пільної практики, як, наприклад, роз­поділ продуктів та спадщини, одержан­ня винагороди тощо.

Ось цікавий епізод із біо­графії вченого-математика, що належить до значно пізнішого часу. (Демонструється портрет К. Гаусса).

У 7 років Карл Гаусс пішов до шко­ли. Якось учитель дав учням досить складне завдання: додати всі числа від 1 до 100. Учитель вважав, що учні до­сить довго шукатимуть відповідь. Але через кілька хвилин Карл написав на своїй грифельній дошці відповідь. Коли вчитель проглянув розв'язання, то по­бачив, що маленький Гаусс винайшов спосіб скороченого знаходження суми членів арифметичної прогресії.

—Як же ти це підрахував? — запитав учитель.

—Дуже просто, — відповів хлопчик. — Я додав 1 і 100, одержав 101. Потім додав 2 і 99, теж одержав 101 і так 50 доданків по 101 кожний. Помножив 101 на 50. Одержав 5050.

Здивований учитель зрозумів, що зустрів найобдарованішого учня у своє­му житті. Отже, К. Гаусс обчислив суму 100 перших членів арифметичної про­гресії. І саме суму потрібно знайти в багатьох історичних задачах. Причому для знаходження цих сум математики давно не користувалися безпосереднім додаванням; для цього вони застосову­вали формули.

IIІ. Постановка мети уроку.

Сьогодні на уроці ми виведемо фор­мулу суми членів арифметичної про­гресії та навчимося її застосовувати в різних випадках.

IV. Вивчення нового матеріалу.
Запишемо суму, яку успішно обчис­лив юний Гаусc: S=1 + 2 + 3 + ... + 99+ 100.

Підпишемо під нею цю саму по­слідовність у порядку спадання і дода­мо рівності почленно. Одержимо:

S=1 + 2 + 3 + ... + 99+ 100,

S=100 +99+ ... + 2+ 1

2S=101*100, .

З допомогою аналогічних міркувань можна знайти суму перших членів будь-якої арифметичної прогресії.

,

, де ,

,

Що потрібно знати, щоб скориста­тися цією формулою?

Незважаючи на те, що задачі на про­гресії були відомі протягом 50 століть, у шкільних підручниках прогресії з'я­вилися порівняно недавно. Так у підручнику Л. Магницького, виданому 200 років тому, прогресії хоча і є, але загальних формул, які пов'язують ве­личини між собою, в ньому не наведе­но. Між тим формулу суми членів арифметичної прогресії можна легко вивести простим і наочним способом з допомогою паперу в клітинку. На такому папері будь-яку арифметичну прогресію можна зобразити східчастою фігурою. (Плакат або малюнок на дошці)

Фігура на цьому плакаті зображає прогресію: 2,5,8,11,14,....