Зміст (стр. 10 )

Таким чином, рівняння (3) являє собою

рівняння кола радіуса R з центром у точці

С (х0, у0). Це рівняння називається нормальним рівнянням кола.

Зокрема, якщо х0 = 0 й = 0, одержимо рівняння кола із центром у початку координат . (4)

Рівняння кола (3) після нескладних перетворень можна привести до виду

, (5)

де .

Таким чином, коло є кривою другого порядку.

Порівнюючи рівняння (5) із загальним рівнянням кривої другого порядку

Ах2+ Вху+ Су2+Dx+Еу+F=0, (6)

ми бачимо, що в (5) В=0 й, крім того, А=1, С=1, тобто А=С.
Обернено, покладемо в (6) В = 0 й А = С ≠ 0: Ах2+Ау2+Dx+Еу+F = 0. (7)
Поділимо рівняння (7) почленно на А ≠ 0 і покладаючи D/A= , Е/А= , F/A= , (8) ми приходимо до рівняння виду (5).

Рівняння (7) називається загальним рівнянням кола.

Помітимо, однак, що не всяке рівняння (7) є рівнянням дійсного кола. Легко показати що (7) визначає дійсну криву (коло) лише при , де виражаються рівностями (8).

У такий спосіб: дійсна крива другого порядку є колом, тоді й тільки тоді, коли 1) коефіцієнти при квадратах поточних координат рівні між собою й 2) відсутній член, що містить добуток поточних координат.

3.3.2. Центральні криві другого порядку

Розглянемо рівняння кривої другого порядку

Ах2+Су2+Dx+Еу+F = 0. (1)
( ) без члена з добутком координат x й y (B=0). Доповнюючи члени, що містять x й y відповідно, до повних квадратів, будемо мати

(2)

Звідси, полагаючи

(3) і (4) одержуємо (5)

Паралельні вісям координат Ох й Оу прямі у = у0

Рис.25

і х = х0 є осями симетрії кривої (5) (вісі кривої). Дійсно, якщо точка М(х0, у0—h) лежить на кривій (5), то симетрична їй відносно прямої у = у0 точка

М’(х0, в0 + h) також лежить на цій кривій.

Аналогічною властивість має пряма х = х0.

Надалі, для простоти дослідження, будемо припускати, що центр кривої перебуває на початку координат, тобто х0 = 0, у0 = 0. Тоді рівняння кривої має вигляд: Ах2 + Су2 = ∆. (6)

Означення 1. Крива другого порядку (6) називається еліпсом (точніше, належить еліптичному типу), якщо коефіцієнти А и С мають однакові знаки, тобто АС > 0 (7)

Для визначеності будемо вважати, що А > 0 і С > 0 (тому що, у іншому випадку, знаки членів рівняння (6) можна змінити на протилежні).

Можливі три випадки: 1) ∆>0, 2) ∆=0 й 3) ∆<0.

У першому випадку, ∆ > 0, маємо дійсний еліпс

(8) де числа (9)

називаються півосями еліпса. Звичайно думають 0 < b ≤ а (цього завжди можна домогтися шляхом належного вибору вісей Ох й Oу). Рівняння (8) називається канонічним рівнянням еліпса з півосями а і b (рис. 25). Точки А(а,0), В(0,b), А’(-а,0), В’(0,-b) називаються вершинами еліпса , а відрізки А’А = 2а й В’В = 2b - його осями. Відзначимо, що з рівняння (8) маємо x ≤ а, у ≤ b.

Помітимо, що при а = b

одержуємо коло х2 + у2 =а2

У іншому випадку, ∆ = 0,

крива (6) являє собою точку O (0, 0)

Рис.26

(вироджений еліпс).

Нарешті, у третьому випадку, ∆ < 0,

крива (6) не має дійсних точок; її умовно називають уявним еліпсом.

Означення 2. Крива другого порядку (6) називається гіперболою (точніше, кривою гіперболічного типу), якщо коефіцієнти А и С мають протилежні знаки, тобто АС < 0. (10)

Припустимо, для визначеності, А > 0, тоді С < 0. Можливі три випадки:

1) ∆ > 0, 2) ∆ = 0, 3) ∆ < 0.

У першому випадку, ∆ > 0, маємо гіперболу з канонічним рівнянням

(11)

де (дійсна піввісь) і (уявна піввісь)

(рис. 27). точки А (а, 0) і А’ (-а, 0) називаються вершинами гіперболи. Відзначимо, що ≥ а.

У другому випадку, ∆ = 0, одержуємо пари прямих,

що перетинаються

(вироджена гіпербола)

Рис.27

Нарешті в третьому випадку, ,

одержимо гіперболу

(12) з півосями

Якщо а'= а та b’ =b, то гіпербола (12) називається спряженою до гіперболи (11); її вершини: В (0; b) і В′ (0, -b) (рис. 27).

Відрізок А’А = 2а називається дійсною віссю, а відрізок В’В =2b – уявною віссю гіперболи (11).

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ У ПРОСТОРІ

4.1. Прямокутна система координат у просторі

Прямокутна система координат Oxyz у просторі визначається заданням масштабної одиниці виміру довжин і трьох взаємно перпендикулярних осей, які перетинаються в одній точціі О: Ох; Оу й Oz. Точка О — початок координат, Ох — вісь абсцис, Оу - вісь ординат, Oz - вісь аппликат.

Рис. 28

Нехай М - довільна точка простору (рис. 28). Проведемо через точку М три площини, перпендикулярні координатним осям Ох, Оу й Oz. точки перетину площин з осями позначимо відповідно через Мх, Му, і Мz. Прямокутними координатами точки М називаються числа:

х = ОМх, у = ОМу , z = ОМz ,

тобто величини спрямованих відрізків ОМх, ОМу, ОМz; при цьому x називається абсцисою, у - ординатою, а z - аппликатою точки М. Символ М (х; у; z) позначає, що точка М має координати х, y, z.

Рис. 29

Таким чином, при обраній системі координат кожній точці М простору відповідає єдина впорядкована трійка чисел (х; у; z) — її прямокутні координати й, обернено, кожній упорядкованій трійці чисел (х; у; z) відповідає, і притому одна, точка М у просторі.