Зміст (стр. 12 )

Теорема. При множенні вектора а на число λ його проекція на вісь також множиться на це число, тобто при λа = λ приа.

Наслідок. Якщо а ={Х; В; Z), то λа ={λХ; λУ;λZ} для будь-якого числа λ.

Ознакою колінеарності двох векторів а = {Х1;У1;Z,), b = (Х2;У2;Z2} є пропорційність їх координат.

.

Нехай вектори i, j, k — одиничні вектори, тобто l i l = l j l = l k l = 1, вектор i лежить на осі Ох, вектор j— на осі Оу, вектор k — на осі Oz u кожний з них спрямований на своїй вісі в додатньому напряму. Трійка векторів i , j , k називається базисом.

Будь-який вектор а может быть разложен по базису i , j , k, тобто представлений у вигляді: а = Xi + Yj + Zk, где Х, Y, Z – координаты вектора а.

4.4. Скалярний добуток векторів

Рис.34

Означення. Скалярним добутком двох ненульових векторів а й b називається число (скаляр), яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними. Якщо хоча б один з векторів нульовий, то кут не визначений і скалярний добуток за визначенням дорівнює нулю.

Скалярний добуток векторів a і b позначають .

Отже, = l a l l b l cos φ, де φ – кут між векторами а і b.

Властивості скалярного добутку:

1. = (переставна властивість співмножників).

2. (λа) = λ( ) (сполучна властивість щодо множення на число).

3. (b + c) = + (розподільна властивість суми векторів).

4. = │а│2 (скалярний добуток називається скалярним квадратом вектора а й позначається а 2 ).

5. = 0, якщо а ┴ b, і обернено, якщо = 0, а ≠ 0, b ≠ 0.

Вектори а, b, с називаються компланарними, якщо вони лежать в одній площині або в паралельних площинах.

Упорядкована трійка некомпланарних векторів називається правою, якщо після приведення їх до спільного початку з кінця третього вектора найкоротший поворот від першого до другого – проти годинникової стрілки. У іншому випадку трійка називається лівою.

Означення. Векторним добутком вектора а на вектор b називається вектор а х b, що визначається трьома умовами:

1) Довжина вектора а х b дорівнює │а││b │ sin φ, де φ – кут між векторами а й b.

2) Вектор а х b перпендикулярний кожному з векторів а й b.

Вектори а, b, а х b утворять праву трійку векторів.

4.5. Змішаний добуток трьох векторів

Означення. Змішаним добутком трьох векторів а, b, c називається число, яке дорівнює скалярному добутку вектора а на векторний добуток векторів b й c, тобто a (b х с).

Наступна теорема виражає геометричний зміст змішаного добутку.

Теорема. Змішаний добуток а(b х с) дорівнює об'єму V паралелепіпеда, побудованого на векторах а, Ь, с, взятому зі знаком «+», якщо трійка а, Ь, с — права зі знаком «-», якщо трійка а, b, с — ліва. Якщо ж а, Ь, c - компланарні, то а(b х с) = 0.

Наслідок. З теореми легко виводиться тотожність:

a( b x c) = (a x b)c, тобто знаки можна міняти місцями. (1)

Теорема. Якщо вектори а, b, с задані своїми координатами

а ={Х1 ; Y1; Z1}, b ={X2 ; Y2 ;Z2}, c ={Х3,; Y3 ;Z3},

то змішаний добуток а, Ь, с визначається формулою:

abc

4.6. Рівняння площини

Нехай задані: прямокутна система координат Oxyz; довільна площина π; точка М0 (х0; у0; z0), що належить площині π; вектор N{A; B;C}, перпендикулярний до площини π (рис.35).

Рис. 35

Розглянемо довільну точку М (х; у; z). Точка М належить площині π тоді й тільки тоді, коли вектори М0М и N взаємно перпендикулярні. Тому що координати вектора М0М(х-х0 ,у–y0,z-z0) то за умови перпендикулярності двох векторів одержуємо, що точка М (х; y; z) належить площині π тоді й тільки тоді, коли

А (х-х0) +В (у-у0) + C (z-z0) = 0. (1)

Рівняння (1) є шукане рівняння площини π.

Ах + Вy + Сz +D = 0 (2)

Рівняння (2) називається загальним рівнянням площини.

Вектор N = {A; В; С}, перпендикулярний до площини, називається нормальним вектором цієї площини.

Умова перпендикулярності площин: А1А2 + В1В2 + С1С2 = 0.

4.7. Рівняння прямої

Пряма визначається спільним завданням рівнянь двох площин, що перетинаються по цій прямій.

A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0,

A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0,

Нехай дано яка-небудь пряма L і ненульовий вектор а, що лежить на даній прямій або паралельний їй. Вектор а називається напрямним вектором даної прямої. Виведемо рівняння прямої, що проходить через дану точку М0. (х0; у0 ;z0 ) і напрямний вектор, що має даний, а = { l ; m ; n }.

Нехай М (х; у; z) — довільна точка. Вона лежить на прямій тоді й тільки тоді, коли координати вектора M0М={х-х0;y-y0;z-z0} пропорційні координатам вектора а:

(1)

Рівняння є шуканими. Вони називаються канонічними рівняннями прямої.

х = х0 + lt

y = y0 + mt (2)

z = z0 + nt

Рівності (2) називаються параметричними рівняннями прямої, що проходить через точку М0 (х0 ;у0 ;z0) і напрямний вектор, що має а = { l ; m ; n }.

Кут між двома прямими, заданими їхнім канонічним рівняннями.

і

визначається за формулою cos φ =

4.8. Пряма й площина

Кут між прямою й площиною Аx+Вy+Сz+D=0

визначається за формулою: sin φ =

Умова паралельності прямої і площини: Al + Bm + Cn = 0;