Зміст (стр. 14 )

Функції бувають:

- цілі раціональні;

- дробово - раціональні;

- ірраціональні.

Не алгебраїчна функція називається транцедентною: у = соs x, y = tg x.

Функції бувають:

- зворотні:(arcsin, arccos...);

- логарифмічні: (loga x);

- показникові: (ax);

- тригонометричні: (sin x, cos x...).

Явна функція у = х2, якщо вона задана формулою, права частина якої не містить залежної змінної.

Функція називається неявною, якщо задано рівнянням: f(x, y) = 0.

Наприклад: 2х + 2у + 1 = 0.

Функція y = f(x) дана у вигляді: x = φ (y), то цю функцію називають зворотньою.

Зворотна функція однозначної функції може бути багатозначною (рис. 41), тобто даному значенню у може відповідати кілька значень х1, х2, х3 ,...зворотної функції х = φ (у) (рис.42). У деяких випадках вдається зробити зворотну функцію однозначною, уводячи додаткові обграницьення на її можливі значення.

Рис.41	Рис.42

Способи задання функції:

1) таблиця; 2) графічно 3) аналітично 4) словіно

5.6. Графік функції

Оначення. Графіком функції у= f (x) називається множина всіх точок (х; у) площини Оху, координати яких пов'язані даною функціональною залежністю.

Графік функції - це лінія, рівнянням якої є рівність, що визначає функцію.

- Якщо кожному значенню змінної х відповідає одне значення змінної у, то у – називають однозначною функцією від х;

- Якщо хоча б деяким значенням змінної х відповідає декілька (два, три...) або нескінченна множина значеннь змінної у, то у – називають багатозначною (двузначной, тризначної) функцією від х.

Наприклад: у = х2 є однозначна функція від х. Також у = sin x – є однозначна функція від х. Функція у = ± є двузначная функція від х;

у = аrcsin x – є багатозначна (нескінченозначна) функція від х.

5.7. Основні графіки елементарних функцій

1. Степенева функція в = хn.

- Якщо n ≥ 0 – то графіки функцій являють собою параболи відповідно нульових, першого, другого й т. д. порядків (рис. 43);

-

Рис.43

Якщо n < 0 (n = -1,-2) – то графіки функцій являють собою гіперболи різних порядків (рис. 44).

2. Радикал в = .

Рис.45

Рис.44

Область визначення функції: -∞ < х < +∞ при n - парному, -∞ < х < +∞ при n – непарному. Тому що х = уn, те в = є зворотною функцією стосовно степеневої функції. Тому графіки при різних показниках n є параболи або їхні частини (рис. 45).

3. Показникова функція у = ах, де а – постійне число, причому а > 0,

а ≠ 1. Функція має позитивне значення й зростає від 0 до +∞, при

а > 1, і убуває від +∞ до 0, при 0 < а < 1 (рис.46).

4. Логарифмічна функція:

у = loga х (а > 0, а ≠ 1). Область визначення: 0 < х < +∞.

З формули у = loga x маємо х = ау, то функція є зворотною стосовно показникової функції.

Тому графік логарифмічної функції за допомогою дзеркального відбиття відносно I - III координатних кутів (рис.47).

Рис.46 Рис.47

5. Тригонометричні функції:

У вищій математиці аргументом тригонометричної функції є число, яке можна розглядати як міру відповідного кута, вираженого в радіанах.

5.8. Важливі тригонометричні функції

а) у = sin x – функція визначена для всіх значень х. Функція sin x - обмежена

(|sin x| ≤ 1) і періодична з періодом 2 π. Графіком її служить синусоїда (рис.48).

Рис.48

б) у = соs x - функція має подібні властивості з функцією sin x. Графік її - косинусоида, що представляє собою синусоїду, зрушену вліво на π /2 (мал.14).

Дійсно, соs х = sin (x + π /2).

в) у = tg x – функція визначена при

(k = 0, ± 1, ±2,....); має період π.

Графік функції - тангенсоїда (рис. 49).

Рис.49

г) у = ctg x - функція визначена при x ≠ kπ

(k = 0, ±1, ±2,...); має період π .

Графік функції – котангенсоїда (рис. 49).

6. Обернені тригонометричні функції:

а) y = arcsin x, тобто в є дуга, узята в границях

–π/2 ≤ у ≤ π/2, синус якої дорівнює х: sin y = x (головне значення).

Графіком функції є частина синусоїди (рис.50).

б) у = arccos x, тобто у є дуга, узята в границях 0 ≤ у ≤ π, косинус якої дорівнює х:

cos y = x (головне значення).

Рис.50

Функція визначена на відрізку [-1, 1]; графік її – частина косинусоїди (рис. 51).

в) у = arctg x, тобто у є дуга, узята в границях –π/2 < у < π/2, тангенс якої дорівнює х: tg y = x (головне значення). Функція визначена в проміжку -∞ < х < +∞ однозначно; графік її - дуга тангенсоїди (рис.52).

г) у = arcctg x, тобто у є дуга, узята в границях 0 < у < π, котангенс якої дорівнює х: ctg y = x. Функція однозначно визначена в проміжку -∞ < х < +∞ ; її графіком служить дуга котангенсоїди (мал.53).

Рис.52 Рис.53

Рис.51

Розглянуті графіки основних елементарних функцій варто пам'ятати. Користуючись ними, можна будувати велику кількість графіків елементарних функцій, розглядаючи останні як «перетвореня основних елементарних функцій».

При побудові графіка функції важливо враховувати симетрію графіка й періодичність.

ТЕОРІЯ ГРАНИЦЬ

6.1. Дійсні числа. Абсолютна величина

Означення. Абсолютною величиною дійсного числа х називається саме число х, якщо воно додатнє або нуль, і –х, якщо х – від’ємне число.

Позначається величина х символом |х|.

У такий спосіб:

|х| = х, якщо х ≥ 0,

|х| = - х, якщо х < 0.

Наприклад: |7| = 7, |0| = 0, |-7| = -= 7.

Абсолютна величина числа х геометрично виражає відстань від точки з абциссой х до початкової точки О числової прямої.

М1 (х) О М (х)

|х| = - х |х| = х

Очевидно, що числа - х і х мають однакову абсолютну величину: |-х| = |х|.

|-7| = |7| = 7.

Нерівності |х| < а будуть задовольняти всі значення числа х, величина яких менше а:

(-а; а) і буде інтервал: - а < х < а

- а 0 а

Нерівності |х| > а (а > 0) будуть задовольняти всі значення х, величина яких більше а, тобто буде два інтервали (-∞;-а), (а;+∞).

х х

- а 0 а

Інтервали: (-∞;-а), (а;+∞) можуть бути записані за допомогою нерівностей: х < - а й х > а, а напівінтервал (-∞; - а] і напівсегмент [а; +∞) - за допомогою нерівностей х ≤ - а, х ≥ а.

Властивості абсолютних величин

1. |х + у| ≤ |х| + |у|.

2. |х| ≥ х.

3. |х - у| ≥ |х| - |у|.

4. |х·у| = |х| ·|у|

5. , при |у| ≠ 0.

6. |хn| = |x|n, при n – парному.

6.2. Границя функції

У математичному аналізі, як правило, розглядаються безрозмірні величини, позбавлені фізичного змісту. Сукупності значень таких величин являють собою деякі числові множини виходячи із цього й використовуючи логічні символи ( «для кожного», «існує», «знайдеться»), можна формалізувати означення функції.

Означення 1:

Рис.54

Нехай Х и Y – дані числові множини. Якщо в силу деякої відповідності f, що ставить у відповідність елементам множини Х елементи множини Y, "х Î Х $ у Î Y (єдиний), то у називають однозначною функцією від х, визначеній на множині Х.