Зміст (стр. 8 )

Сутність методу координат на площині полягає в тому, що будь-якій плоскій лінії відповідає її рівняння, а потім властивості цієї лінії вивчаються шляхом аналітичного дослідження відповідного рівняння.

3.1.2. Лінія як множина точок

Лінія на площині звичайно задається як множина точок, що мають деякі геометричні властивості, винятково їм властивими.

Приклад 1. Коло радіуса R (puc. 15) є множина всіх точок площини, вилучених на відстані R від деякої її точки О (центр кола).

Рис.16

Іншими словами, на колі розташовані ті й тільки ті точки, відстань яких від центра кола дорівнює його радіусу.

Приклад 2. Бісектриса кута АВС (рис. 16) є множина всіх точок, що лежать усередині кута й равновдалених від його сторін.

Цим стверджується, що: 1) для кожної точки М, що лежить на бісектрисі BD, довжини перпендикулярів МР й MQ, опущених відповідно на сторони ВА й ВС кута, рівні між собою: MP=MQ, і 2) будь-яка точка, що перебуває усередині кута АВС і яка не лежить на його бісектрисі, буде ближче до однієї сторони кута, ніж до іншої.

3.1.3. Рівняння лінії на площині

Сформулюємо тепер точніше означення рівняння лінії на площині.

Означення. Рівнянням лінії (рівнянням кривої) на площині Оху називається рівняння, якому задовільняють координати х і у кожної точки даної лінії й не задовольняють координати будь-якої точки, що не лежить на цій лінії.

Таким чином, для того щоб встановити, що дане рівняння є рівнянням деякої лінії К, необхідно й достатньо: 1) довести, що координати будь-якої точки, що лежить на лінії К, задовільняють цьому рівнянню, і 2) довести, обернене, що якщо координати деякої точки задовільняють цьому рівнянню, то точка обов'язково лежить на лінії К.

Звідси вже автоматично буде випливати, що: 1’) якщо координати будь-якої точки не задовільняють даному рівнянню, то ця точка не лежить на лінії К, 2’) якщо точка не лежить на лінії К, то її координати не задовільняють даному рівнянню.

Якщо точка М (х, у) рухається по лінії К, то її координати х і у, змінюючись, увесь час задовільняють рівнянню цієї кривої. Тому координати точки М(х, у) називаються поточними координамами точки лінії К.

На площині Оху поточні координати точки М даної кривої К звичайно позначаються через х і у, причому перша з них є абсциса точки М, а друга – її ордината. Однак, якщо це доцільно, то поточні координати точки М можна позначати будь-якими буквами, наприклад, М (X, Y), і т. д. Так, наприклад, рівняння у =2х й У = 2Х, де крапки N(x, y) і N(X, Y) розташовані на площині Оху, являють собою рівняння однієї й тієї ж прямої на цій площині.

Основне поняття аналітичної геометрії – рівняння лінії.

3.1.4. Побудова лінії за її рівнянням

Якщо змінні х та у зв'язані деяким рівнянням, то множина точок М (х, у), координати яких задовільняють цьому рівнянню, являє собою, загалом кажучи, деяку лінію на площині («геометричний образ рівняння»).

В окремих випадках ця лінія може вироджуватися в одну або кілька точок. Можливі також випадки, коли рівнянню не відповідає жодна множина точок.

Наприклад, рівнянню (х -1)2 + (у - 2)2 = 0, відповідає єдина точка (1, 2), тому що цьому рівнянню задовільняє єдина пара значень х = 1 і у = 2.

Рівнянню x2 + y2 = -1 не відповідає жодна множина точок, тому що цьому рівнянню не можуть задовільнити жодні дійсні значення х і у.

Знаючи рівняння лінії, можна по точках побудувати цю лінію.

3.1.5. Деякі елементарні задачі

Якщо відомо рівняння лінії, то легко можуть бути вирішені найпростіші задачі, пов'язані з розташуванням цієї лінії на площині.

Задача 1. Задано рівняння лінії К і координати точки М (а, Ь). Визначити, чи лежить точка М на лінії К чи ні?

Іншими словами, потрібно довідатися, чи проходить лінія К через точку М або не проходить.

На підставі поняття рівняння лінії одержуємо правило: щоб визначити, чи лежить точка М на даній лінії К, потрібно в рівняння цієї лінії підставити координати нашої точки. Якщо при цьому рівняння задовільниться (тобто в результаті підстановки вийде тотожність), то точка лежить на лінії; в іншому випадку, якщо координати точки не задовільняють рівнянню лінії, дана точка не лежить на лінії.

В окремому випадку лінія проходить через початок координат тоді й тільки тоді, коли рівняння лінії задовільняється при x = 0 й у = 0.

3адача 2. Знайти точку перетину двох ліній, заданих своїми рівняннями.

Точка перетину одночасно перебуває як на першій лінії, так і на другій. Отже, координати цієї точки задовільняють рівнянням обох ліній. Звідси одержуємо правило: щоб знайтu координати точки перетину двох ліній, досить спільно вирішити систему їх рівнянь. Якщо ця система не має дійсних розв’язків, то лінії не перетинаються.

Задача 3. Знайти точки перетину даної лінії з осями координат.

Ця задача є окремим випадком задачі 2.

З огляду на те, що рівняння вісі Ох є у = 0, одержуємо правило: щоб знайтu абсциси точок nеретину даної лінії з віссю Ох, потрібно в рівнянні цієї лінії покласти у = 0 і розв’язати одержане рівняння відносно х.

Аналогічно, тому що рівняння вісі Оу є x = 0, то одержуємо правило: щоб знайти ординати точок перетину даної лінії з віссю Оу, потрібно в рівнянні цієї лінії покласти x = 0 і розв’язати одержане рівняння відносно у.

3.1.6. Дві основні задачі аналітичної геометрії на площині

Виникають дві основні задачі аналітичної геометрії на площині.

1) Дано лінію, яка розглядається як множина точок. Скласти рівняння цієї лінії.

2) Дано рівняння деякої лінії. Вивчити по цьому рівнянню її геометричні властивості (форму й розташування).

3.1.7. Алгебраїчні лінії

Означення. Лінія називається лінією (або кривою) n-го порядку (n = 1, 2, . .), якщо вона визначається рівнянням n-го ступеня щодо поточних прямокутних координат.

Такі лінії називаються алгебраїчними. Наприклад, лінії

х + у – 1 = 0, х2 + у2 = І, х3 + у3 - З х у = 0

є кривими відповідно першого, другого й третього порядку.

Загальний вид кривих першого порядку є Ах + Ву + С = 0,

де коефіцієнти А і В не дорівнюють нулю одночасно, тобто . Як буде доведено нижче, всі криві першого порядку - прямі лінії.

Загальний вид кривих другого порядку наступний: Ах2+Вху+Су2+Dх+Еу+F = 0,

де коефіцієнти А, В і С не дорівнюють нулю одночасно, тобто А2+В2+С2 ≠ 0.

Зазначимо, що не кожному рівнянню другого порядку відповідає дійсна крива. Наприклад, рівнянню х2 + 2ху + у2 +1 = 0 не відповідає жодна крива на площині Оху, тому що, мабуть, немає дійсних чисел х і у, що задовільняють цьому рівнянню.

У наступних главах ми докладно вивчимо криву першого порядку (пряму лінію) і розглянемо найважливіші представники кривих другого порядку (коло, еліпс, гіпербола, парабола).

3.2. Пряма лінія

3.2.1. Рівняння прямої

Рис.17

Нехай РQ – деяка пряма на площині Оху (рис. 17). Через довільну точку . Цій прямій (умовно названій «початковою точкою») проведемо пряму , паралельну вісі Ох й, що має з нею однаковий напрям. Тоді найменший невід’ємний кут φ =Ð Q , (0 ≤ φ < π), утворений напівпрямою М0Q, що лежить вище вісі або співпадаючої з нею, з віссю , називається кутом між даною прямою й віссю Ох.

Очевидно, цей кут не залежить від вибору точки . Якщо пряма PQ перетинає вісь Ох у деякій точці А (а, 0), To φ є звичайний кут між спрямованими прямими. Якщо PQ ║Ox, то, мабуть, φ = 0. Початкова точка М0 прямої та кут φ («напрямок прямої») однозначно визначають положення цієї прямої на площині.

1) Нехай спочатку 0 ≤ φ< π/2. Тоді пряма PQ перетинає вісь Оу в деякій точці В (0,b), яку можна прийняти за початкову.

Ордината y = NM поточної точки М (х, у) прямої (рис. 18) складається із двох частин:

У = NС + СМ, (1)

з яких перша постійна, а друга змінна. Введемо кутовий коефіцієнт tg φ= k, з рис. 18 будемо мати

NC = b і CM = BC tgφ = kx (2) при х ≥ 0.

Таким чином,

y=b + kx (3) при х ≥ 0.

Неважко перевірити, що формула (3) залишається справедливою також і при х < 0.

Ми довели, що координати будь-якої точки М (х, у) прямої PQ задовільняють рівнянню (3). Легко переконатися у оберененому: якщо координати будь-якої точки М1 (х1, у1) задовільняють рівнянню (3), то точка М1 обов'язково лежить на прямій PQ. Отже, рівняння (3) являє собою рівняння прямої лінії PQ (так зване рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом). Постійні величини b і k (параметри) мають наступні значення: b = ОВ — початковий відрізок (точніше, початкова ордината) і k= tgφ - кутовий коефіцієнт.

Рис.18

Зазначимо, що якщо точка В розташована вище вісі Ох, то b > 0, а якщо нижче, то, b <0. При b = 0 пряма проходить через початок координат і рівняння такої прямої є y = kx (4)

При k = 0 одержуємо рівняння прямої, паралельної вісі Ох: у = b.

2) Якщо π∕2 ‹ φ ‹ π , то за допомогою аналогічних міркувань ми приходимо до рівняння (3).

3) Якщо φ = π∕2 , тобто пряма АВ перпендикулярна вісі Ох, то її рівняння є х = а, (5)

де а – абсциса сліду тієї прямої на вісі Ох (тобто її точки перетину з віссю Ох).

Зауваження. Як окремі випадки, одержуємо рівняння осей координат:

у = 0 (вісь Ох) і х = 0 (вісь Oу). (6)

Пряму легко побудувати за її рівнянням.

Для довільної прямої на площині можна скласти її рівняння; обернено, знаючи рівняння деякої прямої, можна побудувати цю пряму. Таким чином, рівняння прямої повністю характеризує її положення на площині.

З формул (3) і (5) видно, що рівняння прямої є рівнянням першого ступеня щодо поточних координат х і у. Справедливо й обернене твердження.

Теорема. Усяке невироджене рівняння першого ступеня

Ах + Ву + С = 0 (А2 + В2 ≠ О) (7)

являє собою рівняння деякої прямої лінії на площині Оху (загальне рівняння прямої лінії).

3.2.2. Кут між двома прямими

Розглянемо дві прямі (не паралельні вісі Оу), задані їх рівняннями з кутовими коефіцієнтами (рис. 19):

Y = kx + b, де kx = tgφ (1)

Рис.19

у = k’х + Ь’, де k’ = tgφ΄. (2)

Потрібно визначити кут Θ між ними. Точніше, під

кутом Θ ми будемо розуміти найменший кут, рахуючи проти ходу годинникової стрілки, на якій друга пряма повернена щодо першої (0 ≤ Θ < π ). Цей кут Θ (рис. 19) дорівнює куту АСВ трикутника АВС.

Далі, з елементарної геометрії відомо, що зовнішній кут трикутника дорівнює сумі внутрішніх, з ним не суміжних. Тому φ΄= φ + Θ, або Θ = φ΄ - φ; звідси на підставі відомої формули тригонометрії одержуємо

Замінюючи tgφ і tgφ΄ відповідно на k й k’, остаточно будемо мати

(З)

Формула (З) виражає тангенс кута між двома прямими через кутові коефіцієнти цих прямих.

Виведемо тепер умови паралельності й перпендикулярності двох прямих.