Зміст (стр. 5 )

Якщо виконано рівність (1), то колінеарність векторів a й b безпосередньо випливає зі змісту множення векторів на скаляр.

2.6. Компланарні вектори

Означення. Три вектори а, b і с називаються компланарними, якщо вони паралельні деякій площині в широкому розумінні (тобто або паралельні площині, або лежать у ній).

Можна сказати також, що вектори а, b і с компланарні тоді й тільки тоді, коли після приведення їх до спільного початку вони лежать в одній площині.

За змістом означення трійка векторів, серед яких є хоча б один нульовий, компланарна.

Теорема. Три ненульових вектори а, b і с компланарні тоді й тільки тоді, коли один з них є лінійною комбінацією інших, тобто, наприклад, с = k a + l b, ( k , l – скаляри).

2.7. Скалярний добуток векторів

Означення. Під скалярним добутком двох векторів а й b розуміють число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними, тобто у звичайних позначеннях:

a • b ≡ ( a, b ) = ab cosφ, де φ =Ð (а, b). (1)

Помітимо, що у формулі (1) скалярний добуток можна ще записувати як аb, опускаючи крапку. Тому що (рис.9)

b соs φ = прa b й а соs φ = прb а,

то можна записати

ab = а • прa b = b • прb a, (2)

тобто, скалярний добуток двох векторів дорівнює довжині одного з них, помноженій на проекцію іншого на вісь із напрямком першого.

Рис. 9 Рис.10

Фізичний зміст скалярного добутку. Нехай постійна сила F забезпечує прямолінійне переміщення s = матеріальної точки. Якщо сила F утворить кут φ с переміщенням s (рис. 10), то з фізики відомо, що робота сили F при переміщенні s дорівнює A = Fs cos φ.

На підставі формули (1) має

А = F × s, (3)

таким чином, робота постійної сили при прямолінійному переміщенні її точки прикладення дорівнює скалярному добутку вектора сили на вектор переміщення.

Скалярний добуток має наступні основні властивості:

1) Скалярний добуток двох векторів не залежить від порядку їх множення (переставна властивість):

ab = ba (4)

Ця формула безпосередньо випливає з формули (1).

2) для трьох векторів a, b і с справедливо розподільна властивість

(а + b) • с = ас + bc, (5)

тобто, при скалярному множенні суми векторів на вектор можна «розкрити дужки».

Дійсно, на підставі формули (2), з огляду на властивості проекцій векторів, маємо

(a +b) • с = прс (а+b) • c = (прc a + прc b) • с = прcа • с + прc b • с = ас + bс.

3) Скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату модуля цього вектора, тобто

а2 = а2.

дійсно,

а2 = аа = аа соs (а, а) = а2.

Звідси для модуля вектора одержуємо формулу

ïа ï = (6)

4) Скалярний множник можна виносити за знак скалярного добутку, тобто ( λa b) = (а, λb) = λ (а, b). (7)

Ця властивість також легко виходить із (1).

5) Скалярний добуток лінійної комбінації векторів на довільний вектор дорівнює такій же лінійній комбінації даних векторів на цей вектор, тобто

( λa + μb, с) = λ ( а, c) + μ (b , с), де ( λ і μ - скаляри).

Це - очевидний наслідок 2) і 4).

З означення (1) випливає, що косинус кута φ=(a,b) між двома ненульовими векторами а й b дорівнює

(8)

З формули (8) одержуємо, що два вектори а й b перпендикулярні (ортогональні), тобто φ = π/2, тоді й тільки тоді, коли

ab = 0 (9)

Це твердження справедливо також й у тому випадку, коли хоча б один з векторів a або b нульовий.