Зміст (стр. 3 )

б) Якщо ū0 — деякий розв’язок системи лінійних рівнянь із матрицею А, то будь-який розв’язок ū цієї системи можна представити у вигляді суми ū0 + Ū, де Ū — деякий розв’язок однорідної системи лінійних рівнянь із тією ж матрицею А.

1.5. Система трьох лінійних рівнянь

Розглянемо стандартну лінійну систему трьох рівнянь:

вільні члени яких перебувають у правих частинах. Під розв’язком системи розуміється,будь-яка трійка чисел (х, у, z), що задовольняє даній системі.

Введемо визначник системи:

, а також додаткові визначники:

, ,

Послідовно множачи рівняння системи на алгебраїчні доповнення А1, А2, А3 відповідних елементів а1, а2, а3 перші стовпці визначника D одержимо:

(а1А1 +а2А2 + а3А3 ) х +( b1A1 + b2A2 + b3A3 ) y + (c1A1 + c2A2 + c3A3 ) z = d1A1 + d2A2 + d3A3.

Звідси, застосовуючи теорему розкладання, будемо мати Dx = Dx.

Якщо визначник системи D ≠ 0, то з рівнянь одержуємо єдиний розв’язок системи:

, , .

Таким чином, маємо правило Крамера: невідомі стандартної лінійної системи з ненульовим визначником являють собою дроби, знаменник яких є визначник системи, а чисельники рівні відповідним додатковим визначникам.

Зауваження. Якщо визначник системи D = 0, то система або несумісна або має нескінченно багато розв’язків.

1.6. Однорідна система трьох лінійних рівнянь

Система трьох лінійних рівнянь

вільні члени якої дорівнюють нулю називається однорідною.

Однорідна лінійна система, вочевидь, допускає нульове розв’язання х = 0, у = 0, z = 0 й, отже, завжди сумісна.

Цікаво з'ясувати випадки, коли однорідна система має ненульові розв’язки.

Теорема. Лінійна однорідна система трьох лінійних рівнянь із трьома невідомими має ненульові розв’язки тоді й тільки тоді, коли її визначник дорівнює нулю, тобто

Геометрично рівняння системи являють собою рівняння трьох площин у просторі Oxyz. Якщо визначник D ≠ 0, то ці площини перетинаються в єдиній точці

О(0, 0, 0); якщо ж визначник D=0, але не всі його мінори другого порядку дорівнюють нулю, то в нашому випадку ці площини перетинаються по прямій лінії (як «аркуші» книги).

1.7. Система лінійних рівнянь із багатьма невідомими. Метод Гаусса

Розглянемо систему n лінійних рівнянь із n невідомими:

(2)

Тут для коефіцієнтів системи уведена подвійна індексація, а саме, у коефіцієнта перший індекс i позначає номер рівняння, а другий j - номер невідомого. Для зручності вільні члени позначені через , ( і = 1, 2,…, n)...

Найбільш простий метод розв’язання системи (2) - це метод виключення. Ми викладемо його у формі схеми Гаусса (звичайно називають методом Гаусса).

Нехай для визначеності a ≠ 0 — «ведучий коефіцієнт». Розділивши всі члени першого рівняння на а11 , будемо мати наведене рівняння

х1 + а12 х2 +…....+ а1n хn = а1 n+1 (3)

(j = 1, 2, …, n + 1) (4)

Розглянемо перше рівняння системи (2):

аі1 х1 + а і2 x + ... + а inхn = a і, n + 1 (5)

Для виключення х1 із цього рівняння помножимо наведене рівняння (3) на аi1 й отримане рівняння віднімемо від рівняння (5). Тоді будемо мати:

аi 2 х2 +.......+ аi n хn = ai , n+1 (6)

aij = aij - ai1 a1 j ( j = 2 , 3 ,..., n+1). (7)

Таким чином, одержуємо вкорочену систему:

(8)

коефіцієнти якої визначаються по формулам (7).

Якщо її ведучий коефіцієнт а22 ≠ 0, то із системи (8) зазначеним вище прийомом можна виключити невідоме х2, причому нові коефіцієнти будуть обчислюватися по формулам типу (7) і т. д.

Ця частина обчислень називається прямим ходом методу Гаусса.

Для визначення невідомих х1 , х2, ...., хn розглянемо наведені рівняння:

(9)

Звідси послідовно знаходимо невідомі ( зворотний ход).

(10)

Помітимо, що операції (10) виконуються без ділення.

Якщо черговий ведучий коефіцієнт виявиться рівним нулю, то рівняння системи варто переставити належним чином. Можливо, що система (2) несумісна. Тоді, природно, метод Гаусса не допускає реалізації.

Використовуючи формулу (7), підраховуємо коефіцієнти вкороченої системи, що не містить невідомого х1. Тоді на підставі формули (7) справедливо правило: перетворені коефіцієнти схеми Гаусса рівні її колишнім коефіцієнтам мінус добуток «проекцій» їх на відповідний наведений рядок і ведучий стовпець таблиці.

ЕЛЕМЕНТИ ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ

2.1. Скаляри й вектори

Величина, яка повністю характеризується своїм числовим значенням в обраній системі одиниць, називається скалярною або скаляром. Такими, наприклад, є маса тіла, об'єм тіла, температура середовища й т. п. Скаляр визначається числом, позитивним або негативним, або рівним нулю. Величина, яка крім числового значення характеризується напрямком, називається векторною або вектором. До їх числа відноситься сила, переміщення, швидкість і т. д.

Вектор визначається числом і напрямком.

Вектори звичайно позначають буквами жирного шрифту, наприклад, а.

Рис. 1

Геометрично вектор зображується спрямованим відрізком простору; при цьому використається позначення а = , де точка А - початок відрізка, а точка В - його кінець. Надалі, для наочності викладання, вектори ми будемо розглядати як спрямовані відрізки.

Під модулем (довжиною) вектора а: │а │ = а

розуміють числове значення його, без зазначення напрямку. (Природно, │ │ позначає модуль вектора ). Вектор 0, модуль якого дорівнює нулю, називається нульовим або нуль-вектором (напрямок нульового вектора довільний).

Два вектори а й b вважаються рівними, якщо вони розташовані на паралельних або співпадаючих прямих (паралельність у широкому змісті) і мають однакову довжину й однаково спрямовані. Ми вмовимося не розрізняти рівні вектори, і таким чином, приходимо до поняття вільного вектора.