Зміст (стр. 11 )

Площини Оху, Oyz, Oxz називаються координатними площинами. Вони ділять весь простір на вісім частин, названих октантами, які нумерують так, як показано на рисунку 29.

4.2. Поняття вектора

Означення 1. Напрямлений відрізок АВ називається вектором.

Буква А означає початок вектора, а буква В — його кінець.

Вектор також позначають й однією буквою з рискою нагорі, наприклад . Напрямок вектора на малюнку вказують стрілкою (рис. 30).

Вектор, у якого початок і кінець збігаються, називається нульовим і позначається 0 або просто .

Довжина вектора позначається ½½ або ½½.Якщо ½½=1, то вектор називається одиничним.

Рис.30

.

Вектори а й b називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих.

Нульовий вектор напрямлений однаково з будь-яким вектором; довжина його дорівнює нулю, тобто ½ ½ = 0.

Означення 2. Вектори й називаються рівними ( = ), якщо вони колінеарні, однаково напрямлені і їх довжини рівні.

Проекцією вектора АВ на вісь u називається величина А’В’ напрямленого відрізка А’В’ на осі и, де А’ — проекція точки А на вісь и , а В’ — проекція точки В на цю вісь. Позначення: прu АВ.

Проекція вектора АВ на вісь и визначається формулою

при АВ = ½АВ½соs j, (1)

де j — кут між вектором АВ і віссю_й.

Нехай Х = прх АВ, Y = npу AB, Z =прz АВ. Проекції Х, Y. Z вектора АВ на осі координат називають його координатами. При цьому пишуть: AВ = {Х; У; Z}.

Які б не були дві крапки А (х1; у1; z1) і В (х2;у2 ; z2) , координати вектора АВ визначаються наступними формулами:

Х=х2 – х1, У=у2 – у1, Z = z2 – z1, (2)

Нехай даний довільний вектор а = {Х; У; Z}. Формула

ú аú = (3)

Рис.31

виражає довжину довільного вектора через його координати. Позначимо через a, b, g кути між вектором а й осями координат (рис. 31).

З формул (1) і (3) одержуємо:

соs a = , соs b = , cos g = (4)

соs a, соs b , соs g називаються напрямними косинусами вектора а.

Підносячи до квадрата ліву й праву частини кожного з рівностей (4) і підсумовуючи отримані результати, маємо: cоs2 a + соs2 b + соs2 g =1, (5)

тобто сума квадратів напрямних косинусів будь-якого вектора дорівнює 1.

4.3. Лінійні операції над векторами. Розкладання вектора за базисом

Лінійними операціями над векторами називаються операції додавання й віднімання векторів і множення векторів на числа.

Сумою а + b двох векторів а й b називається вектор, що йде з початку вектора а в кінець вектора b за умови, що вектор b прикладений до кінця вектора а (правило трикутника) (рис. 32, а).

Різницею b - а двох векторів b й a називається вектор, що у сумі з вектором а дає вектор b ( рис. 32, б).

Добутком λа ( а ≠ 0 і число λ ≠ 0) називається вектор, що колінеарен до вектору а, має довжину, рівну │λ││а│, і такий напрямок, як і вектор а, якщо λ>0, і протилежний, якщо λ<0 (рис.33).

Рис. 32	Рис. 33

На рис. 33 зображений випадок ½λ½ > 1.

Якщо λ = 0 або а = 0, то добуток λ а вважається рівним нульовому вектору.

Мають місце наступні дві основні теореми про проекції векторів.

Теорема. Проекція суми двох векторів на вісь дорівнює сумі їх проекцій на цю вісь, тобто при (а1 +а2) = при а1 + при а2.

Наслідок. Якщо а ={Х,; У1 ; Z1) і b = (Х2 ;У2 ; Z2), то а+b = {X1+X2;Y1+Y2;Z1+Z2 }