Зміст (стр. 15 )

Цей факт позначається в такий спосіб: y = f(x) (x Î X).

Можна сказати, що функція f здійснює відображення множини Х у множину Y.(Рис.54).

Приклад: Функція f(x) = sin x (0 < x < 2π) відображає інтервал Х = (0,2π) на відрізок Y = [-1,1].

Означення 2:

Околом Uа точки а (а – дійсне число) будемо розуміти будь-який інтервал α<х<β, що оточує цю точку (α< а < β), з якого вилучена точка а.

Під окілом U∞ символу ∞ ≡ ± ∞, розуміється зовнішність будь-якого відрізка [α;β], тобто U∞ = (-∞;α) U (β; +∞). Природньо, що символ ∞ не міститься в своєму околу.

Отже, надалі, під окілом точки а ми будемо розуміти будь-який інтервал, що оточує цю точку а, ми будемо його називати “повним окілом точки а”.

При визначенні однобічних околів точки а: U--а = (α, а) (лівий окіл) і U+a = (а, β) (правий окіл) точка а завжди виключається!

Як неважко переконатися:

1) сума (об'єднання ) будь-якого числа околів точки а

2) добуток (перетинання) кінцевого числа околів точки а є також окіл цієї точки.

Рис. 57

Для додатнього числа d окіл Uа деякої кінцевої точки а назвемо її d- окіл, якщо Uа = (а-d, а) U (а, а + d), тобто якщо " х є Uа , 0 < | х-а | < d.

Нехай функція f (х) задана на множині Х. Точка а (а звичайно) називається граничною точкою (точкою накопичення) цієї множини, якщо в будь-якому її d-окілу Uа втримується нескінченно багато елементів х є Х, тобто "Uа Uа ∩ Х ≠ Ǿ. У найпростішому випадку можна припускати, що функція f (х) визначена в деякому окілу точки а, причому в самій точці а функція f (х) не обов'язково має сенс.

Отже, нехай а – гранична точка множини Х – області визначення функції f(х).

Означення 3:

Число А називається границею функції f (х) при х >а (а - число), тобто

f(x) = A, якщо для будь-якого ε > 0 існує такий окіл

Uа = {х | 0 < | х – а | < d}, d = d (e) – залежить від e, що | f(x) – A | < e при х Є Uа.

Звичайно, нерівність повинна виконуватися для всіх тих х, для яких визначена функція f(х), тобто для х Є Х ∩ Uа ; відповідно до визначення граничної точки в кожному околу Uа множина таких значень не порожнья.

Зауваження. За змістом означення границі функції, числа e та d = d (e) можна брати досить малими.

Означення 4:

Твердження f(x) = A еквівалентно наступному:

| f(x) – A | < e при | х | > ∆, де ∆ = ∆ (e) залежить від e.

Множина всіх точок х, для яких | х | > ∆, є симетричним окілом U∞ символу ∞; при цьому передбачається, що для будь-якої такої окілу U∞ ∩ Х ≠ Ǿ; умовно можна сказати, що ∞ є гранична точка множини Х - області визначення функції f(х).

6.3. Загальне визначення границі функції

Означення. Нехай f (х) – функція, визначена на множині Х, і а – гранична точка цієї множини. Число А є границею функції f (х) при х→а тоді й тільки тоді, коли для кожного e > 0 існує такий окіл Uа точки а, що | f (x) – A | < e " x Î Ua ∩ X.

Записують так:

Lim f (x) = A Û " e > 0 $ d (e) > 0 " x | x – a | < d Þ | f (x – A) | < e.

x ® a

Коротко цей факт записується так: якщо f (х) - неперервна в точці

Теорема. Якщо функція f (х) = с постійна в деякому окілу точки а, то

Причому с є єдиною границею цієї функції при х ® а.

Функцію, що має границю, не слід плутати з обмеженою функцією.

Означення.

Функція f (х) називається обмеженою на даній множині Х, якщо існує таке додатне число М, що | f (x) | ≤ M при х Î Х.

Якщо такого числа М немає, то функція f (х) називається необмеженою.

Лема. Функція f (х), що має границю А при х ® а, обмежена в деякому окілу точки а.

Зауваження. Обернене твердження неправильно: обмежена функція може не мати границі. Наприклад: функція f (x) = sin 1/x обмежена при 0 < | х | < +¥ і не має границі при х ® 0.

Відзначимо ще одну теорему, що встановлює зв'язок між границями функції і її межею.

Теорема.Нехай існує М < f (x) < N й , у деякій окілу Uа точки а. Тоді М ≤ А ≤ N.

Наслідок. Додатня функція не може мати від’ємної границі.

Зауваження. Поняття границі функцій однієї змінної природно переноситься на функції декількох змінних.

Кілька прикладів обчислення границь функцій:

Розглянемо функцію у = f (х) задану формулами:

х, якщо х ≠ 0

у = f (x) = 1, якщо х = 0

очевидно, що коли х → 0, значення f (х) → 0, тому f (x) = 0

Границя функції: - ця рівність називається першою чудовою границею.

Границя функції: - ця рівність називається другою чудовою границею.

Приведемо ще дві границі:

1) =0 (n >

До поняття границі функції примикає поняття безперервності функції f (х) у точці х0:

- Якщо значення функції f (х0) у точці х0 збігається зі значенням границі f(х) у точці х0, тобто, якщо у0 = f (х0) = lim f (x), то функція f (x) неперервна в точці х0.

- Якщо ця рівність не має місця, то функція f (x) називається розривною у точці х0.

6.4. Властивості границь

Теорема. Нехай функції f (х) і g (х) мають у точці х0 (a) значення В и С відповідно. Тоді функції ; і (c ¹ 0) мають у точці х0 границі, рівні відповідно: В ± С, ВС і тобто ,

, , якщо $ і $