Зміст (стр. 13 )

4.9. Точка перетину прямої і площині

Написавши параметричні рівняння прямої x = x0 + lt, y = y0 + mt, z = z0 + nt, підставимо в рівняння площини Аx + Вy + Сz + D = 0 замість x, y, z їх вираз через t. Підставляючи знайдене значення t у рівняння прямої, знаходимо шукану точку М (х; у; z) перетину прямої із площиною.

ФУНКЦІЯ

5.1. Поняття функції

Вивчаючи будь-яке явище, ми зазвичай маємо справу із сукупністю змінних величин, які пов'язані між собою так, що значення одних величин (незалежні змінні) повністю визначають значення інших (залежні змінні або функції).

Означення. Нехай Х и У – деякі числові множини.

Функцією f - називається множина впорядкованих пар чисел (х;у), таких, що

х є Х, у є У, і кожен х входить в одну й тільки одну пару цієї множини, а кожен у входить в одну пару.

При цьому говорять, що числу х поставлено у відповідність число у, і пишуть у = f (х). Число у називається значенням функції f у точці х, а змінну х – незалежної змінної (або аргументом), змінну – у називають залежною змінної; множина Х – областю визначення (або існування) функції, а У – множиною значень функцій.

Крім букви f для позначень функцій використовують інші букви латинського й грецького алфавітів; наприклад: у = у (х), у = g (х); у = φ (х); у = А (х) і т. д.

Іншими буквами позначають залежну й незалежну змінні. Іноді залежну змінну також називають функцією.

Нехай на деякій множині Х визначена функція f(x), тоді значення цієї функції, що відповідають деякому значенню аргументу х0; позначають f(x0).

Наприклад: якщо f(x) = x², то f(3) = 3² = 9, f(-2) = (-2)² = 4 і т. д.

Означення. Числовим сегментом з кінцями а й b називається множина всіх (дійсних) чисел, що задовільняють подвійній нерівності

а ≤ х ≤ b.

І записується сегмент так: [а, b]. a b

Визначення. Інтервалом з кінцями а й b, називається множина всіх чисел, що задовільняють подвійній нерівності: a < x < b

Записують так: (a, b).

а b

Означення. Напівінтервалом з кінцями a й b називається множина всіх чисел, що задовільняють подвійній нерівності:

a < x ≤ b.

a b

Записується так: (a й b].

a ≤ x < b

a b

Записується так: [a, b).

Множина всіх дійсних чисел розглядається як інтервал (-∞;+∞). Знаки не є числами.

Напівінтервал (-∞;b] є множина всіх дійсних чисел х ≤ b.

Напівсегмент [а;+∞) є множина всіх дійсних чисел х ≥ a.

5.2. Парні й непарні функції

Означення. Функція f (x), задана на симетричному відносно початку координат проміжку, називається парною, якщо для будь-якого значення х із цього проміжку має місце рівність: f (-x) = f (x).

Графік парної функції симетричний відносно вісі Оу.

Означення. Функція f (x), задана на симетричному відносно початку координат проміжку, називається непарною, якщо для будь-якого значення х із цього проміжку має місце рівність f (-x) = - f (x).

Графік непарної функції симетричний відносно початку координат.

Сума й різниця двох парних (непарних) функцій є функція парна (непарна). Дійсно, нехай φ (x) = f (x) + g (x), тоді φ (-x) = f (-x) + g (-x) = f (x) + g (x) = φ (x).

Якщо ж f (x) і g (x) - непарні, то φ (x) - непарна:

φ (-x) = f (-x) + g (-x) = -f (x) – g (x) = - [f (x) + +g (x)] = = -φ (x).

Аналогічне доведення для різниці функцій.

Добуток двох парних або двох непарних функцій є функція парна, а добуток парної функції на непарну є непарна функція. Справді, нехай

φ (х) = f(х) · g(х) – четные функции, тогда φ (-х) = f (-х) · g (-х) = f (х) · g (х) = φ (х).

Якщо f (x) і g (x) - непарні функції, то φ (-x) = f (-х) g (-х) = [-f (х)] [ - g (х)] = φ (х).

Якщо ж f (х) - парна, а g (х) – непарна функція, то

φ (-x) = f (-x) g(-x) = f (x) [-g(x)] = - φ (x).

5.3. Періодична функція

Означення. Функція f (х) називається періодичною, якщо існує число Т ≠ 0, таке, що для будь-якого значення х з області визначення функції виконується рівність: f (x+T) = f (x).

Число Т – називається періодом функції.

Якщо Т - період функції, то її періодом є також і число Т, тому що

f(x - T) = f [(x - T) + T] = f(x).

Звичайно під періодом функції розуміють найменший з додатніх періодів, якщо такий період існує. Наприклад, періодом функції sin x й cos x є число T = 2π:

sin (x + 2 π) = sin x

cos (x + 2 π) = cos x, а функцією tg x й ctg x - число Т = π.

Якщо Т - період функції, то її періодом буде також і число k, де k - будь-яке ціле число (k = ±1 , ±2...).

5.4. Найпростіші функціональні залежності

1. Пряма пропорційна залежність.

Означення. Дві змінні величини називаються прямо пропорційними, якщо при зміні однієї з них у деякому відношенні, інша змінюється в том ж відношенні. (наприклад: довжина кола і його радіус).

Рис.36

Функція називається однорідною лінійною функцією; її графіком є пряма лінія, що проходить через початки координат з кутовим коефіцієнтом k (y = kx) (Рис.36).

2. Лінійна залежність.

Означення. Дві змінні величини х и в зв'язані лінійною залежністю, якщо у = у0 + kx, де k, у0 – постійні величини. (наприклад: довжина стрижня і його температура).

Рис.37

Функція називається лінійною; її графіком є пряма лінія із початковим відрізком у0 і кутовим коефіцієнтом k. (Рис.37)

3. Обернена пропорційна залежність.

Рис.38

Означення. Дві змінні величини називаються обернено пропорційними, якщо при зміні однієї з них у деякому відношенні інша змінюється у зворотному відношенні. (наприклад: швидкість рівномірного руху й час, необхідний для подолання). Графік має вигляд гіперболи у = k/x, якщо k < 0, то гіпербола розташована в II й IV квадрантах. (Рис.38)

4. Квадратична залежність.

Графіком функції є парабола. Квадратична залежність має вигляд у = kx2.

Рис.39

Якщо k > 0, то парабола розташована вище осі Ох, якщо k < 0, то нижче осі Ох. (наприклад: площа кругу й радіус кола; шлях, пройдений тілом при вільному падінні, і час). (Рис.39)

5. Синусоідна залежність.

Графіком функції є синусоїда. Має вигляд:

у = А sin (ωx + φ), де А - амплітуда, ω - частота, φ - початкова фаза.

Рис.40

Прикладами синусоїдальної залежності можуть служити: відхилення часток повітря від положення рівноваги при поширенні в ньому звукової хвилі постійної частоти й час; сила однофазного синусоїдального струму й час. (Рис.40)

5.5. Класифікація функції

1. Функція однієї або декількох змінних: z = f (x;у).

2. Алгебраїчні й транцедентні функції: у = f (x), f – це характеристика функції. Якщо f – це сукупність алгебраїчних дій: додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення до степеня й інших, то функцію називають алгебраїчною.

Приклад: 1) у = х2 – 5х + 6; 2) у = ; 3) у = .