Зміст (стр. 4 )

Іншими словами, вільний вектop допускає перенос його в будь-яку точку простору, за умови збереження довжини й напрямку. Зокрема, для вільних векторів можна забезпечити загальну початкову їх точку. Надалі будемо розглядати теорію вільних векторів у тривимірному просторі.

2.2. Сума векторів

Означення. Сумою декількох векторів, наприклад, а, b, c, d (Рuc.2), називається вектор S = a + b + c + d, за величиною й напрямком рівний замкненій просторової ламаної лінії, побудованої на даних векторах.

Рис. 3

Рис. 2

Для випадку двох векторів а й b (рис. 3) їхньою сумою s є діагональ паралелограма, побудованого на цих векторах, що виходить із спільної точки дотику їх (правило паралелограма).

Тому що в трикутнику довжина однієї сторони не перевищує суми довжин двох інших сторін, то з мал. 4 маємо: │а +b │ │ a │ + │b │, тобто

модуль суми двох векторів не перевищує суми модулів цих векторів.

Для випадку трьох векторів а, b, c (рис. 4) їхньою сумою s є діагональ паралелепіпеда, побудованого на цих векторах (правило паралелепіпеда).

Легко перевірити, що для векторного додавання справедливі наступні властивості :

1) переставна властивість: a + b = b + a, тобто,

векторна сума не залежить від порядку доданків;

2) сполучна властивість:

a + ( b + c) = ( a + b ) + c = a + b + c, тобто

Сума трьох (і більшого числа ) векторів не залежить від порядку розміщення дужок.

Рис.4

Для кожного вектора а = (рис. 5) існує протилежний вектор - а = , що має ту ж довжину, але протилежний напрямок.

За правилом паралелограма, очевидно, маємо: а + (-а) = 0, де 0 – нуль-вектор. Легко перевірити, що а + 0 = а.

2.3. Різниця векторів

Під різницею векторів а й b розуміється вектор d = a – b , такий що b + d = a. Відзначимо, що в паралелограмі, побудованому на даних векторах а й b, їхньою різницею є відповідно спрямована друга діагональ паралелограма (рис. 6).

Легко перевірити, що справедливо наступне правило вирахування:

а - b = a + (- b).

2.4. Множення вектора на скаляр

Означення. Добутком вектора а на скаляр k (рис. 7) називається вектор b = k a ≡ a k, який має довжину b = |k|a, та напрямок якого: 1) збігається з напрямком вектора а, якщо k > 0; 2) протилежний йому, якщо k < 0; 3) довільний, якщо k = 0.

Рис. 7

Неважко переконатися, що ця векторна операція має наступні властивості:

1) ( k + l ) a = ka + la

2) k ( a + b ) = ka + kb

3) k ( la ) = (kl ) a

4) 1 x a = a, (-1)a = -a, 0 • a = 0, де ( k, l — скаляри).

Якщо ненульовий вектор а розділити на його довжину а =ïаï (тобто помножити на скаляр 1/а), то ми одержимо одиничний вектор e, так званий орт, того ж напрямку: е = а/а. Звідси маємо стандартну формулу вектора

a = ае. (1)

Формула (1) формально справедлива також і для нульового вектора а = 0, де а = 0 й e — довільний орт.

2.5. Колінеарні вектори

Означення. Два вектори а = й b = (рис. 8) називаються колінеарними, якщо вони паралельні в широкому змісті (тобто розташовані або на паралельних прямих, або ж на одній і тій же прямій).

Рис.8

Тому що напрямок нульового вектора довільний, то можна вважати, що нульовий вектор колінеарен будь-якому вектору.

Теорема. Два ненульових вектори а й b колінеарні тоді й тільки тоді, коли вони пропорційні, тобто

b = ka (1)

(k — скаляр).