Зміст (стр. 9 )

Якщо прямі (1) і (2) паралельні, тo φ΄ =φ і, відповідно,

k’ = k. (4)

Обернено, якщо виконано умову (4), то, з огляду на те, що φ΄u φ лежать в границях від 0 до π, одержуємо

φ΄ =φ , (5)

І, отже, розглянуті прямі або паралельні, або зливаються (паралельність у широкому розумінні).

Правило 1. Прямі на площині паралельні (у широкому розумінні) тоді й тільки тоді, коли їх кутові коефіцієнти рівні між собою.

Якщо прямі перпендикулярні, то Θ = л/2 й, отже,

звідси 1+ kk’ = 0 u k’= - 1⁄k. (6).

Справедливо також і обернене твердження.

Правило 2. Дві прямі на площині перпендикулярні тоді й тільки тоді, коли їх кутові коефіцієнти обернені за величиною й протилежні за знаком*.

Нехай тепер рівняння прямих задано в загальному вигляді:

Ах+Ву+С=0 (7)
(8)
Звідси, припускаючи, що В ≠ 0 й ≠ 0, одержуємо
(7’)
і

(8’)

Отже, кутові коефіцієнти цих прямих є

(9)

З формули (3) знаходимо тангенс кута між цими прямими:

(10)

Звідси одержуємо: 1) умова паралельності прямих (Θ = 0)

(11)

2) умова перпендикулярності прямих (Θ = πІ2)

АА’ + ВВ’ = 0 (12)

Відзначимо, зокрема, що прямі

Ах + Ву + С = 0 і Вх – Ау + С1 = 0

взаємно перпендикулярні.

*Для прямих, паралельних вісям Ох й Оу, умовно зазначають 1/0=∞ і 1/∞=0,

3.2.З. Рівняння прямої, що проходить через дану точку в даному напрямку

Нехай пряма РМ утворює кут φ з додатнім напрямом вісі Ох (рис. 20) і проходить через задану точку Р(х1, у1). Виведемо рівняння цієї прямої, припускаючи спочатку, що пряма не паралельна вісі Оу.

У цьому випадку, як ми бачили, рівняння прямої має вигляд у = kх + Ь, (1)

де k = tgφ - кутовий коефіцієнт прямій, а Ь - довжина

відрізка, що відтинає наша пряма на вісі Оу. Тому що

Рис.20

точка Р (х1, у1) лежить на прямій РМ, то її координати

х1 й у1 повинні задовільняти рівнянню (1), тобто

у1 = kх1 + Ь (2)

Віднімаючи з рівності (1) рівність (2), одержимо у – у1 = k(х-х

Це і є рівняння шуканої прямої.

Якщо пряма, що проходить через точку Р (х1, у1), паралельна вісі Оу, то її рівняння, очевидно, буде

x = х1 (4)

Якщо k – задане число, то рівняння (З) представляє цілком певну пряму. Якщо ж k – змінний параметр, то це рівняння визначить пучок прямих, що проходять через точку Р (х1, у1) (рис. 21); при цьому k називається параметром пучка.

Рис. 21

3.2.4. Рівняння прямої, що проходить через дві дані точки

Відомо, що через дві не співпадаючі між собою точки можна провести пряму, і притому тільки одну. Знайдемо рівняння прямої, що проходить через точки Р (х1, у1) і Q (х2, у2).

Припустимо спочатку, що х1 ≠ х2, тобто пряма PQ не паралельна вісі Оу. Оскільки пряма PQ проходить через точку Р (х1, у1), то її рівняння має вигляд

у – у1 = k(х-х1), (1)

де k – невідомий нам кутовий коефіцієнт цієї прямої. Однак, тому що наша пряма проходить також через точку Q (х2, у2), то координати х2 й у2 цієї останньої точки повинні задовольняти рівнянню (1). Звідси y2-y1 =k (х2-х1)

і, отже, при х2 ≠ х1 маємо

(2)

Підставляючи вираз (2) для кутового коефіцієнта k у рівняння (1), одержимо рівняння прямої PQ:

(3)

Це рівняння при y1 ≠ y2 можна записати також у вигляді пропорції

(3’)

Якщо х1 = х2, тобто пряма, що проходить через точки Р (х1, y1) і Q (х2, y2), паралельна вісі ОУ, то рівняння цій прямій, мабуть, буде х = х1.

3.2.5. Рівняння прямої в “ відрізках ”

Це рівняння прямої в “відрізках”. Тут х и в, як звичайно, координати довільної крапки М (х, у), що лежить на прямій АВ (рис. 22).

Рис.22

Примітка. Рівняння прямої, що проходить через початок координат або паралельної одній з вісей координат, не може бути записане як рівняння прямої в “відрізках”.

3.2.6. Точка перетину двох прямих

Нехай маємо дві прямі Ах + Ву + С = 0 (1) і (2)

Точка перетину цих прямих лежить як на першій прямій, так і на другий. Тому координати точки перетину повинні задовольняти як рівнянню першої, так і рівнянню другої прямої. Отже, для того щоб знайти координати точки перетину двох даних прямих, досить розв’язати спільно систему рівнянь цих прямих.

Послідовно вилучаючи із рівнянь (1) і (2) невідомі у і х, будемо мати

(3)

(4)

Звідси, якщо , то для координат точки перетину прямих одержуємо такі вирази: (5)

або, ввівши визначники другого порядку, маємо

Для прямих (1) і (2) можливі наступні три випадки.

1) , тобто

На підставі прямі не паралельні. Координати їх єдиної точки перетину визначаються з формул (6)

2) , або , тобто .

Прямі паралельні і точки перетину немає. Аналітично це видно з того, що щонайменше одно з рівнянь (3) або (4) суперечливо й, виходить, система (1) і (2) несумісна.

3) , , тобто , тобто .

Прямі (1) і (2) зливаються, і таким чином, існує незліченна множина точок перетину. У цьому випадку ліві частини рівнянь (1) і (2) відрізняються тільки на постійний множник й, отже, система цих рівнянь допускає нескінченно багато розв’язків.

3.2.7. Відстань від точки до прямої

Розглянемо пряму KL, задану загальним рівнянням Ах + Ву – С = 0, (1)

і якусь точку М(х1,у1). Під відстанню від точки М до прямої KL розуміється довжина перпендикуляра ­ d = MN (MN ┴ KL),опущеного із точки М на пряму KL (pиc. 23).

Рис.23

Рівняння перпендикуляра MN можна записати у вигляді:

В(х – х1) – А(у – у1) = 0 (2)

Звідси для основи перпендикуляра N(х2, у2) будемо мати

В(х2 – х1) – А (у2 – у1) =

і отже (4)

де t - коефіцієнт пропорційності.

Тому (5)

З іншого боку, з огляду на те, що точка N (х2, в2) лежить на прямій KL, причому з (4) маємо

х2 =х1 + Аt, у2 = у1+Вt, одержуємо

Ах2+Ву2 +С = А (х1+Аt)+В(y1+Вt)+С = (Ах1+Ву1+С) + t(A2 + B2) = 0

Отже (6)

Таким чином, в силу формули (5) маємо (7)

Зокрема, припускаючи = 0, = 0, одержуємо відстань від початку координат до прямої (8)

Зауваження. Розділивши обидві частини рівняння прямої (1) на , одержимо рівняння , (9)

вільний член якого дорівнює відстані від початку координат до прямої. Таке рівняння прямої будемо називати нормованим.

З формули (7) одержуємо правило: щоб визначити відстань від точки до прямої, потрібно в ліву частину нормованого рівняння цієї прямої підставити координати даної точки й взяти модуль одержаного результату.

3.3. Лінії другого порядку

3.3.1. Коло

Виведемо рівняння кола (рис. 24) із центром С ( ) і радіусом R.

Для довільної точки М (х, у) кола виконана рівність MC = R (1)

Звідси, згадуючи формулу відстані між двома точками, маємо . (2)

Тому що обидві частини рівності (2) додатні,

то, підносячи до квадрату, одержимо рівносильне

рівняння (х – х0)2 + (у – у0)2 = R2 (3)

Отже, координати будь-якої точки М (х, у)

даного кола задовільняють рівнянню (3).

Справедливо також обернене твердження.

Рис.24