Зміст (стр. 7 )

Перемножуючи векторно ці рівності й використовуючи властивості векторного добутку, одержимо суму дев'яти доданків:

а х b = [аx bx (i х i) + аy bx (j x i) + аzbx ( k x i)] + [аx by ( i x j ) + аy by ( j x j ) +

аz by ( k x j ) ] + [ axbz ( i x k) + аy bz (j x k ) + аz bz (k x k)]. (3)

З визначення векторного добутку випливає, що для ортів i , j , k справед-лива наступна «таблиця множення»:

i х i = 0 , j x j =0, k x k =0 й

i x j = - ( j x i ) = k, j x k = - ( k x j) = i, k x i = - ( i x k) = j.

Тому з формули (З) одержуємо

a х b = i (аy bz,— аz ,by )+ j (аz bx — аx bz ) + k (аxby — аy bx ) =

= i ¾ j + k (4)

(с збереженням порядку проходження букв х, у, z).

Для зручності запам'ятовування формула (4) записується у вигляді визначника третього порядку.

i j k

а х b = аx аy аz (5)

bx by bz

З формули (4) випливає, що

½ a x b ½2 = (6)

Геометрично формула дає квадрат площі паралелограма, побудованого на векторах а й b.

2.10. Змішаний добуток векторів

Означення. Під змішаним (або векторно-скалярним) добутком векторів а, b і с слід розуміти число аbс=(а х b ) • с.

Означення. Змішаний добуток трьох векторів дорівнює об'єму V паралелепіпеда, побудованого на цих векторах, взятому зі знаком плюс, якщо ці вектори утворять праву трійку, і зі знаком мінус, якщо вони утворять ліву трійку.

аbс= (а х b ) • с.

Справедливі наступні основні властивості змішаного добутку.

1) Змішаний добуток не змінюється при циклічній перестановці його співмножників, тобто аbс = bса = саb.

Дійсно, в цьому випадку не змінюється ні об'єм паралелепіпеда, ні орієнтація його ребер.

2) При перестановці двох сусідніх множників змішаний добуток змінює свій знак на протилежний, тобто bас = асb = сba = - аbс.

Це виходить з того, що перестановка сусідніх множників, зберігаючи об'єм паралелепіпеда, змінює орієнтацію трійки векторів, тобто права трійка переходить у ліву, а ліва - у праву. За допомогою змішаного добутку отримуємо необхідну й достатню умову компланарності трьох векторів а, b, с: abc = 0 (об'єм паралелепіпеда дорівнює нулю).

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ

3.1. Рівняння лінії

3.1.1. Метод координат на площині

Розділ математики, що займається вивченням властивостей геометричних фігур за допомогою алгебри, називається аналітичною геометрією, а використання для цієї мети координат називається методом координат.

Рис.14

Тепер ми перейдемо до викладання того, як в аналітичній геометрії вирішується загальна задача, що складається в дослідженні методами математичного аналізу форми, розташування й властивостей даної лінії. Нехай ми маємо деяку лінію на площині. (рис. 14). Координати х та у точки, що лежить на цій лінії, не можуть бути цілком довільними; вони повинні бути підлеглі відомим обграницьенням, обумовленим геометричними властивостями даної лінії.

Той факт, що числа х та у є координатами точки, що лежить на даній лінії, аналітично записується у вигляді деякого рівняння. Це рівняння називається рівнянням лінії на площині.