Рабочая программа дисциплины математика (стр. 3 )

Тема 17.  Дифференцирование функций нескольких аргументов

Частные производные. Геометрический смысл частных производных. Полный дифференциал, его связь с частными производными. Инвариантность формы полного дифференциала. Производная по направлению, градиент функции, его связь с производной по направлению. Геометрический смысл полного дифференциала. Дифференцирование неявных функций. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. [1, c. 142-147]; [2, c. 389-395] ; [4, с. 184-191, 193-195]

Тема 18.  Экстремум функции. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа

Точки экстремума функции. Теоремы Ферма, Ролля и Лагранжа, их применение. [1, c. 129-131]; [2, c. 205-208, 236-238]; [4, с. 63-64]

Тема 19.  Производные и дифференциалы высших порядков. Правило Лопиталя

Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. Правило Лопиталя. Частные производные и дифференциалы высших порядков функций нескольких переменных. Основные понятия векторного анализа. Градиент, ротор, дивергенция, оператор Лапласа. [1, c. 126-128, 132-134, 146-148]; [2, c. 193-194, 208-211, 245-246]; [4, с. 61-62, 64-68, 191-193]

Тема 20.  Формула Тейлора

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и в форме Лагранжа. Формула Маклорена. Представление основных элементарных функций exp(x), sin(x), cos(x), sh(x), ch(x), ln(1+x), (1+x) по формуле Маклорена. Формула Тейлора в случае функций нескольких переменных. [1, c. 131-132]; [2, c. 371-375] ; [4, с. 68-71]

Тема 21.  Исследование функций одной и нескольких переменных

Достаточный признак возрастания (убывания) функции одной переменной. Экстремумы функции (максимум и минимум). Необходимое условие экстремума и достаточные признаки его. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. [1, c. 134-137]; [2, c. 212-221] ; [4, с. 71-73]

Вогнутость, выпуклость и точки перегиба графика функции. Достаточные признаки вогнутости (выпуклости) и наличия точек перегиба. [1, c. 99-100, 138-140]; [2, c. 221-225] ; [4, с. 73-74]

Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Примеры применения теории экстремумов при поиске оптимальных решений. [1, c. 148-154]; [2, c. 396-402], [3, c. 200-213]; [4, с. 195-196]

Асимптоты графика функции (вертикальная, горизонтальная, наклонная). Понятие об асимптотическом разложении. Общая схема исследования функции и построения ее графика. [1, c. 140-141]; [2, c. 225-236]; [4, с. 74-82]

Тема 22.  Основы интегрального исчисления. Неопределённые интегралы

Первообразная, неопределенный интеграл, его свойства. Замена переменной в неопределенном интеграле. Формула интегрирования по частям. Интегрирование простейших рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие: случи неповторяющихся линейных действительных множителей знаменателя и неповторяющихся квадратичных его множителей. Интегрирование тригонометрических и простейших иррациональных функций. [1, c. 157-164]; [2, c. 247-277] ; [4, с. 82-101]

Тема 23.  Определенные интегралы

Интегральные суммы. Определенный интеграл, его геометрический смысл, свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Формулы замены переменной и интегрирования по частям для определенного интеграла. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур (в декартовых и полярных координатах) и длины дуги кривой. Методы вычисления определенных интегралов по формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона. [1, c. 164-167]; [2, c. 278-302, 307-318] ; [4, с. 102-116, 122-123]

Тема 24.  Несобственные и кратные интегралы

Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций, их основные свойства. [1, c. 167-169]; [2, c. 302-306]; [4, с. 116-122]

Двойные и тройные интегралы, их свойства. Вычисление кратных интегралов повторным интегрированием. Замена переменных в двойных и тройных интегралах. Вычисление площади поверхности и объема. Криволинейные интегралы. Формула Грина. [1, c. 170-175]; [2, c. 406-409]; [4, с. 196-206, 212-217]

Тема 25.  Числовые ряды

Числовой ряд, определение его сходимости и расходимости. Сумма числового ряда. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости ряда. Гармонический ряд. Признаки сравнения. Признак сходимости Д'Аламбера. Признак сходимости Коши. Интегральный признак. Обобщенный гармонический ряд. Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда. Действия с рядами. [1, с. 188-192]; [2, c. 343-365] ; [4, с. 130-137]

Тема 26.  Функциональные и степенные ряды

Функциональные ряды, область сходимости, методы её определения. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Дифференцирование и интегрирование функциональных рядов. [1, с. 192-194]

Определение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Аналитические функции. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях. [1, с. 194-197]; [2, c. 366-382] ; [4, с. 137-143, 150-152]

Тема 27.  Тригонометрические ряды

Ряды Фурье по тригонометрическим системам. Разложение функций в тригонометрические ряды Фурье. Условие поточечной сходимости и сходимости "в среднем". Применение тригонометрических рядов Фурье в приближенных вычислениях. Понятие о преобразовании Фурье. Косинус - и синус преобразование Фурье. [1, с. 197-201] ; [4, с. 143-145]

Раздел IV. Дифференциальные уравнения

Тема 28.  Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений

Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы. Основные понятия: порядок уравнения (системы), общее и частное решение, произвольные постоянные, интегральные кривые, первые интегралы. Краевая задача. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Условие Липшица. [1, c. 175-177]; [7, с. 319-327]

Тема 29.  Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка

Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Основные классы обыкновенных уравнений, интегрируемые в квадратурах: уравнения с разделяющимися переменными, уравнения в полных дифференциалах, однородные дифференциальные уравнения, линейные дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной, особые решения. Примеры применения дифференциальных уравнений в экономике. [1, c. 177-180]; [7, с. 328-335]; [8, с. 223-230]

Тема 30.  Линейные дифференциальные уравнения произвольного порядка

Обыкновенные линейные дифференциальные однородные и неоднородные уравнения произвольного порядка (определение общего и частного решения). Определитель Вронского. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида. Приложения к описанию линейных моделей в экономике. [1, c. 180-182]; [7, с. 335-342]; [8, с. 230-239]

Тема 31.  Системы дифференциальных уравнений

Нормальная система дифференциальных уравнений. Автономные системы. Векторная запись нормальной системы. Геометрический смысл решения. Фазовое пространство (плоскость), фазовая кривая. Системы линейных дифференциальных уравнений, свойства решений. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Классификация типов положений равновесия. Приложения к моделированию экономических процессов. [1, c. 182-187]; [8, с. 240-247]

Раздел V. Экономико-математические методы

Тема 32.  Математическое программирование

Линейное программирование. Целевая функция. Каноническая и стандартные задачи линейного программирования, основные и неосновные переменные, допустимый базис. Решение двумерных задач: метод перебора вершин, графический метод решения задач линейного программирования. Симплекс-метод и симплекс-таблицы. Определение допустимого базиса (начального опорного решения): метод искусственного базиса, М-метод. Взаимно-двойственные задачи: основные теоремы двойственности и их следствия. Задачи дробно-линейного программирования: оптимизация рентабельности производства. [1, с. 202-224]; [2, с. 16-27, 44-122]; [4, с. 32-148]

Транспортная задача. Свойства транспортной задачи. Транспортная таблица. Нахождение первоначального базисного распределения поставок: метод "северо-западного угла", метод наименьших затрат. Вычисление матрицы оценок методом потенциалов. Распределительный метод решения транспортной задачи, цикл пересчета. Открытая модель транспортной задачи. [1, с. 225-230]; [2, с. 123-152]

Целочисленные задачи линейного программирования. Методы решения задач целочисленного программирования: метод отсечения (метод Гомори), метод ветвей и границ, метод Беллмана. [1, с. 232-242]; [2, с. 153-172]

Нелинейное программирование. Задачи нелинейного программирования. Свойства задач выпуклого программирования. Задачи выпуклого квадратичного программирования. Приближенные решения задач выпуклого программирования: метод кусочно-линейной аппроксимации, метод возможных направлений (градиентный метод). [1, с.154-156, 243-254]; [2, с. 214-244]

Динамическое программирование. Задачи динамического программирования. Рекуррентные соотношения Беллмана. Применение алгоритмов динамического программирования к задаче об оптимальном распределении ресурсов. Задача о распределении средств между предприятиями, задача о замене оборудования. [2, c. 245-272]

Тема 33.  Эластичность и её применение в экономическом анализе

Эластичность функции и её геометрический смысл. Свойства эластичности и эластичность основных элементарных функций. Применение эластичности в экономическом анализе. [3, c. 73-88]

Тема 34.  Математическая теория оптимального управления

Основные понятия вариационного исчисления: постановка задачи, теория Эйлера-Лагранжа, теория Гамильтона Якоби. Оптимальное управление: основные понятия, принцип максимума Понтрягина. [1, c. 254-260]; [5, c. 218-220]

Тема 35.  Теория игр

Бескоалиционные игры нескольких лиц. Ситуации равновесия в бескоалиционных, антагонистических и матричных играх. Оптимальные стратегии. Стратегическая эквивалентность бескоалиционных игр, смешанные расширения конечных бескоалиционных игр. Матричные игры, платежная матрица, верхняя и нижняя цена игры, принцип минимакса, седловая точка, цена игры. Ситуации равновесия в смешанных стратегиях, основная теорема теории игр, теорема об активных стратегиях. Игра 22 в смешанных стратегиях, геометрическая интерпретация игры 22. Приведение матричной игры к задаче линейного программирования. [1, c. 261-278]; [2, c. 173-199]; [3, c. 217-229]

Кооперативные игры. Классические кооперативные игры, супераддитивная характеристическая функция. Дележи в кооперативных играх, с-ядро кооперативной игры, n-ядро кооперативной игры, вектор эксцессов. [1, c. 279-284] ; [3, c. 229-243]

Тема 36.  Сетевое планирование и управление

Графы и сети. Основные понятия теории графов: связные графы, подграфы, операции над графами, деревья, лес, разрезы. Плоские графы. Эйлеровы и гамильтоновы графы, ориентированные графы (орграфы); матричные и числовые характеристики графов; прикладные задачи и алгоритмы анализа графов; оптимизационные задачи на графах и алгоритмы их решения; критический путь и критическое время сетевого графа, задача о кратчайшем пути между двумя вершинами графа, алгоритм построения деревьев. Сети Петри. [1, c. 285-305]

Сетевое планирование и управление. Основные задачи сетевого планирования. Сетевая модель, правила построения сетевых графиков, упорядочение сетевого графика, путь, временные параметры сетевых графиков. Сетевое планирование в условиях неопределенности. Коэффициент напряженности работ. Анализ и оптимизация сетевого графика по времени и стоимости. [2, c. 286-332]

Тема 37.  Основы теории массового обслуживания

Классификация систем массового обслуживания. Показатели эффективности массового обслуживания. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний. Разомкнутые системы массового обслуживания: системы массового обслуживания с отказами, с ограниченной длиной очереди, с ожиданием, с ограниченным временем ожидания. Замкнутые системы массового обслуживания. [1, c. 358-369]; [2, c. 333-370]

Раздел V. Экономико-математические модели

Тема 38.  Математические модели макроэкономики

Производственные функции. Функции выпуска продукции. Производственные функции затрат ресурсов. Однофакторные производственные функции. Неоклассические мультипликативные производственные функции. Функция Кобба-Дугласа. Предельные эффективности. Трудосберегающий (интенсивный) и фондосберегающий (экстенсивный) рост. Изокванты и изоклины. Предельные нормы замены труда фондами и фондов трудом. Эластичность замены труда фондами. Определение масштаба и эффективности производства с помощью производственных функций. [3, c. 156-177]; [4, с. 199-327]; [5, с. 16-28]

Линейные балансовые модели. Матрица Леонтьева (структурная), балансовые уравнения, свойства технологических коэффициентов, продуктивная матрица. Теорема Фробениуса-Перрона. Матрица коэффициентов полных затрат. Коэффициенты косвенных затрат. Коэффициенты прямых и полных затрат труда и капиталовложений. Линейная модель обмена (модель международной торговли). Динамическая модель планирования. Линейная модель производства. [1, с. 76-78], [4, с. 149-198], [5, с. 28-37], [7, с. 56-60, 91-93]

Модель равновесных цен. Векторы валового выпуска, цен и норм добавленной стоимости, прогноз изменения цен и инфляции по изменению норм добавленной стоимости. [6, с. 69-74]

Динамические модели макроэкономики Модель Харрода-Домара. Модель Солоу. Переходный режим в модели Солоу. «Золотое» правило накопления. Учет запаздывания при вводе фондов. Односекторная модель оптимального экономического роста. Динамические модели линейной экономики. Модель динамического межотраслевого баланса. Модель Неймана. [3, c. 204-216]; [5, с. 38-90]

Тема 39.  Математические модели микроэкономики

Модели потребительского выбора. Функции полезности, максимизация полезности, теорема Дебре. Предельная полезность товара, закон убывания предельной полезности. Кривые безразличия, функции спроса, бюджетное множество. Модель поведения потребителя, модель Стоуна, взаимозаменяемость благ, эффекты компенсации, уравнение Слуцкого. Кривые «доход-потребление», кривые «цена-потребление», коэффициенты эластичности. Материальные балансы. [3, c. 135-155]; [5, c. 91-102]

Модели поведения фирмы в условиях совершенной и несовершенной конкуренции. Задачи оптимизации производства. Модель фирмы. Функции спроса на факторы (ресурсы). Основное матричное уравнение теории фирмы. Поведение фирмы на конкурентных рынках. Модель Курно. Равновесие Курно. Равновесие и неравновесие Стакельберга. [3, c. 178-196]; [5, c. 103-122]

Тема 40.  Модели взаимодействия потребителей и производителей. Модели рыночного равновесия

Модели установления равновесной цены. Паутинообразная модель. Модель Эванса.

Конкурентное равновесие. Технологические множества производителей и производственные процессы. Совокупные технологические множества и совокупные производственные процессы. Вектор затрат выпуска, вектор совокупного спроса, вектор конкурентных цен. Поле предпочтений потребителя. Стратегия потребителей. Точка насыщения. Бюджетное ограничение. Модель дезагрегированной экономики (модель Вальраса, модель Эрроу-Гурвица) и конкурентное равновесие. Законы Вальраса. Теорема Эрроу-Дебре. Оптимальное распределение по Парето. Основное свойство конкурентного равновесия. [1, c. 370-375]; [3, c. 197-204]; [5, c. 123-131]

Тема 41.  Модели управления запасами

Детерминированные статистические модели: модель с дефицитом и без дефицита. Формула Уилсона. Плотность убытков. Стохастические статистические модели управления запасами. Дискретный и непрерывный случайный спрос. Модель с фиксированным временем задержки поставок. [2, c. 371-392]

Тема 42.  Модели краткосрочного прогнозирования и регулирования экономики

Математические модели рыночной экономики. Классическая модель рыночной экономики. Рынок товаров и денег. Модель Кейнса. Математические модели финансового рынка. Финансовые операции. Финансовый риск. [5, c. 132-161]

Тема 43.  Математические модели государственного регулирования экономики

Математическая теория общественного выбора. Оптимальность по Парето. Производственная диаграмма Эджворта-Боули. Производственная кривая. Область производственных возможностей. Договорная кривая. Кривая полезности. Область возможных полезностей. Функции благосостояния. Кривая Лоренца. Коэффициент Джини. Кривые социального безразличия. Максимизация полезности. Теорема невозможности Эрроу. [3, c. 229-239]; [5, c. 181-196]

Заключение. Применение методов математики в исследованиях социально-экономических явлений

На практическом занятии студент может получить помощь преподавателя по тем вопросам, которые вызвали у него затруднения.

Перед завершением практического занятия по текущей теме студент посылает преподавателю из компьютерного класса электронное письмо, прикрепляя к нему zip-файл с решением задач и разработанными материалами.

Примерные темы семинарских и практических занятий

I семестр

Тема 1. Метод математической индукции. Бином Ньютона.

Тема 2. Предел числовой последовательности. Признаки существования предела последовательности, вычисление предела. Роль числовой последовательности в вычислительных процессах.

Тема 3. Комплексные числа, действия с ними. Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа.

Тема 4. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа. Извлечение корня из комплексного числа. Логарифм комплексного числа.

Тема 5. Корни многочленов. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители.

Тема 6. Линейные операции над векторами. Коллинеарные векторы. Проекция вектора и сумм векторов на ось. Разложение вектора по координатному базису в пространстве. Выражение через координаты сомножителей скалярного произведения векторов. Вычисление модуля вектора по его координатам и угла между двумя векторами.

Тема 7. Вычисление и свойства определителей. Разложение определителя по элементам строки (столбца).

Тема 8. Выражение через координаты сомножителей векторного произведения. Применение векторного произведения для вычисления площадей треугольников и параллелограммов. Смешанное произведение трех векторов, применение смешанного произведения для вычисления объемов параллелепипедов и пирамид.

Тема 9. Сложение, умножение и транспонирование матриц. Вычисление ранга и коранга матрицы, вычисление обратной матрицы.

Тема 10. Решение систем линейных уравнений методами Гаусса и Крамера.