Тема 11. Определение преобразования координат вектора при переходе от одного базиса к другому. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
Тема 12. Метод ГрамаШмидта ортогонализации линейно-независимой системы векторов. Вычисление нормы векторов.
Тема 13. Вычисление собственных векторов и собственных значений линейных операторов. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
Тема 14. Задание уравнения прямой на плоскости по с угловому коэффициенту и точке и по двум точкам. Угол между двумя прямыми на плоскости, условия их параллельности и перпендикулярности. Расстояние от точки до прямой на плоскости.
Тема 15. Построение уравнения плоскости в пространстве. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору. Взаиморасположение плоскостей в пространстве. Расстояние от точки до плоскости.
Тема 16. Построение уравнения прямой в пространстве. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки в пространстве. Условия перпендикулярности и параллельности прямой и плоскости. Угол между прямыми, угол между плоскостями, угол между прямой и плоскость. кратчайшее расстояние от прямой до плоскости, кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми.
Тема 17. Уравнения и графики кривых второго порядка: эллипса, гиперболы и параболы.
II семестр
Тема 1. Графики основных элементарных функций. Замечательные кривые. Сложные и обратные функции, их графики.
Тема 2. Вычисление пределов функций. Определение областей непрерывности функций. Точки разрыва первого и второго рода.
Тема 3. Вычисление производных и дифференциалов, определение уравнения касательной и нормали к графику функции. Правила дифференцирования. Формулы дифференцирования основных элементарных функций. Производные сложной и обратной функции. Производная от неявной функции. Дифференцирование функций, заданных параметрически.
Тема 4. Предел функции нескольких переменных, повторные пределы. Частные производные. Полный дифференциал. Производная по направлению. Градиент функции. Дифференцирование неявных функций. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Тема 5. Производные высшего порядка. Формула Лейбница. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
Тема 6. Формула Тейлора. Представление основных элементарных функций exp(x), sin(x), cos(x), sh(x), ch(x), ln(1+x), (1+x) по формуле Тейлора. Применение формулы Тейлора для вычисления пределов функций.
Тема 7. Экстремумы функций. Необходимое условие экстремума и достаточные признаки его. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Тема 8. Общая схема исследования функции и построения ее графика: область ее определения; четность и нечетность функции, периодичность, возрастание и убывание, наибольшее и наименьшее значения, выпуклость, точки перегиба, асимптоты.
Тема 9. Вычисление неопределенного интеграла. Замена переменной в неопределенном интеграле. Формула интегрирования по частям.
Тема 10. Интегрирование простейших рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие: случи неповторяющихся линейных действительных множителей знаменателя и неповторяющихся квадратичных его множителей. Интегрирование тригонометрических и простейших иррациональных функций.
Тема 11. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Формулы замены переменной и интегрирования по частям для определенного интеграла. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур (в декартовых и полярных координатах) и длины дуги кривой.
Тема 12. Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций.
Тема 13. Нахождение локальных экстремумов функций нескольких переменных. Вычисление условных экстремумов методом множителей Лагранжа.
Тема 14. Двукратные и трехкратные интегралы. Сведение многократных интегралов к повторным, замена переменных. Вычисление площади поверхности и объёма. Вычисление криволинейные интегралов, применение формулы Грина.
Тема 15. Исследование сходимости числовых рядов. Признаки сходимости рядов с неотрицательными коэффициентами: Коши, Даламбера, Гаусса, интегральный признак. Исследование сходимости знакочередующихся рядов, признак Лейбница.
Тема 16. Исследование сходимости функциональных рядов, признак Вейерштрасса. Радиусы сходимости степенных рядов. Формула Коши-Адамара.
Тема 17. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Косинус и синус преобразования Фурье.
III семестр
Тема 1. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Решение однородных дифференциальных уравнений первого порядка.
Тема 2. Решение уравнений в полных дифференциалах, решения дифференциальных уравнений; неразрешенных относительно производной, особые решения.
Тема 3. Решения линейных дифференциальных однородных и неоднородных уравнений (общее и частное решения).
Тема 4. Решения линейных дифференциальные уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами и с правой частью специального вида.
Тема 5. Решения систем линейных дифференциальных уравнений, с постоянными коэффициентами.
Тема 6. Особые точки системы дифференциальных уравнений первого порядка. Линеаризация системы в окрестности особой точки. Исследование типа особой точки.
Тема 7. Графический метод решения двухмерных задач линейного программирования.
Тема 8. Симплекс-метод и симплекс-таблицы. М-метод. Основная теорема двойственности и ее следствия.
Тема 9. Методы решения открытых транспортных задач.
Тема 10. Методы решения задач целочисленного программирования: метод Гомори и метод ветвей и границ.
Тема 11. Решение задач нелинейного программирования.
Тема 12. Решение задач динамического программирования с помощью рекуррентных соотношений Беллмана.
Тема 14. Вычисление эластичности. Применение эластичности в экономике.
Тема 15. Вычисление экстремумов функционалов и определение их типов.
Тема 16. Матричные бескоалиционные антагонистические игр 22, цена игры. Ситуации равновесия в смешанных стратегиях. Решение матричной игры с помощью методов линейного программирования.
Тема 17. Составление и решение основных задач сетевого планирования. Анализ и оптимизация сетевого графика по времени и стоимости.
Тема 18. Разомкнутые и замкнутые системы массового обслуживания.
Тема 19. Производственные функции, экономический смысл коэффициентов производственных функций.
Тема 20. Линейная модель межотраслевого баланса Леонтьева. Модель равновесных цен.
Тема 21. Динамическая модель макроэкономики Солоу.
Тема 22. Математическая модель поведения фирмы на конкурентных рынках.
Тема 23. Математические модели взаимодействия потребителей и производителей: паутинообразная модель, модель Эванса, модель Вальраса.
Тема 24. Математические модели управления запасами.
Тема 25. Математические модели рыночной экономики. Модель Кейнса. Математические модели теории общественного благосостояния.
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины
Основными видами промежуточного контроля знаний являются задания для самостоятельной проработки, тесты и контрольные работы, выполняемые самостоятельно в течение каждого семестра.
Основным видом рубежного контроля знаний являются: зачет во 2-м семестре и экзамены в 1-м и 3-м семестрах.
.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ для очной и заочной формы обучения
ВОПРОСЫ к экзамену
I семестр
1. Основные черты математического мышления, аксиоматический подход, математические доказательства, прямая, обратная и противоположная теоремы.
2. Индукция и дедукция, бином Ньютона.
3. Элементы и множества, конечные и бесконечные множества, отношения и отображения.
4. Натуральный ряд чисел, целые числа, рациональные числа. Иррациональные числа, степени и корни, логарифмы.
5. Действительные (вещественные) числа. Аксиоматическое определение действительных чисел. Числовая ось. Абсолютные величины. Интервал, отрезок, окрестность точки. Десятичные дроби.
6. Определение числовой последовательности. Предел числовой последовательности и его свойства.
7. Бесконечно большая и бесконечно малая величины, связь между ними. Свойства бесконечно малых.
8. Теоремы о пределах. Признаки существования предела, существование предела у монотонной ограниченной последовательности.
9. Число e. Натуральные логарифмы.
10. Сравнение бесконечно малых.
11. Роль числовой последовательности в вычислительных процессах.
12. Определение комплексных чисел, действия с ними. Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа.
13. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Формула Эйлера.
14. Показательная форма комплексного числа. Извлечение корня из комплексного числа. Логарифм комплексного числа.
15. Корни многочлена. Деление многочленов (алгоритм Евклида).
16. Теорема Безу. Основная теорема алгебры.
17. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители.
18. Операции над матрицами. Свойства операции умножения матриц.
19. Элементарные преобразования матрицы. Вычисление матричных многочленов.
20. Симметричные и ортогональные матрицы.
21. Определители (детерминанты) квадратных матриц. Вычисление определителей второго и третьего порядка.
22. Алгебраические дополнения и миноры.
23. Разложение определителя любого порядка по элементам строки (столбца).
24. Определитель треугольной квадратной матрицы. Свойства определителей.
25. Обратная матрица. Алгоритм нахождения обратной матрицы.
26. Ранг и коранг матрицы.
27. Определение векторного произведения, его свойства, выражение через координаты сомножителей.
28. Условие коллинеарности двух векторов.
29. Геометрический смысл определителя второго порядка.
30. Смешанное произведение трех векторов, условие их компланарности.
31. Геометрический смысл определителя третьего порядка.
32. Системы линейных уравнений. Матричная запись системы линейных уравнений. Метод Гаусса.
33. Однородные и неоднородные системы линейных уравнений. Построение фундаментальной системы решений.
34. Теорема Кронекера-Капелли.
35. Общее решение системы линейных уравнений в векторной форме.
36. Методы решения систем линейных уравнений: метод обратной матрицы.
37. Методы решения систем линейных уравнений: правило Крамера.
38. Методы решения систем линейных уравнений: метод Гаусса.
39. Нахождение обратной матрицы и ранга матрицы методом Гаусса.
40. Вектор. Определение вектора, модуль вектора, единичный вектор.
41. Линейные операции над векторами. Коллинеарные и компланарные векторы.
42. Проекция вектора и сумм векторов на ось. Разложение вектора по координатному базису в пространстве.
43. Радиус-вектор точки. Направляющие косинусы вектора.
44. Скалярное произведение 2-х векторов, его свойства, выражение через координаты сомножителей.
45. Определение модуля вектора по его координатам.
46. Угол между двумя векторами, условие их перпендикулярности.
47. n-мерный вектор и пространство Rn. Основные операции над n-мерными векторами.
48. Длина (модуль, норма) n-мерного вектора. Угол между двумя n-мерными векторами. n-мерное векторное пространство.
49. Линейные пространства. Линейные операции в линейном пространстве.
50. Аксиомы линейного пространства. Линейная зависимость и независимость.
51. Размерность и базис линейного пространства.
52. Евклидово пространство. Декартова система координат. Понятие линейного оператора.
53. Понятия собственного вектора и собственного значения матрицы.
54. Характеристический многочлен. Характеристическое уравнение.
55. Собственные значения неотрицательных матриц. Теорема Фробениуса-Перрона. Число и вектор Фробениуса.
56. Уравнения линии на плоскости. Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом.
57. Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через данную точку.
58. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
59. Уравнение прямой в отрезках.
60. Общее уравнение прямой.
61. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
62. Расстояние от точки до прямой.
63. Окружность и эллипс. Гипербола и парабола.
64. Понятие об уравнении плоскости и прямой в пространстве.
65. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
66. Канонические уравнения прямой в пространстве.
67. Понятие выпуклого множества. Полупространство как выпуклое множество.
68. Выпуклые множества в пространстве Rn.
69. Многогранная область в Rn. Выпуклый многогранник. Угловая точка.
ВОПРОСЫ к зачету
II семестр
1. Функция, область ее определения. Характеристики поведения функций: четность и нечетность, возрастание и убывание, наибольшее и наименьшее значения, ограниченность, периодичность.
2. Основные элементарные функции, их свойства и графики.
3. Замечательные кривые. Неявные функции.
4. Сложные и обратные функции, их графики.
5. Функции нескольких переменных, область определения.
6. Предел функции в точке.
7. Предел функции на бесконечности.
8. Предел монотонной функции.
9. Некоторые замечательные пределы.
10. Односторонние пределы.
11. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
12. Эквивалентность функций, главная часть функции, омалое и Обольшое.
13. Предел функции нескольких переменных
14. Непрерывность функции. Точки разрыва.
15. Свойства непрерывных функций. Непрерывность основных элементарных функций.
16. Производная, дифференцируемость функции.
17. Непрерывность дифференцируемой функции.
18. Геометрический смысл производной, уравнения касательной и нормали.
19. Дифференциал функции, его геометрический смысл.
20. Правила дифференцирования. Формулы дифференцирования основных элементарных функций.
21. Производные сложной и обратной функции.
22. Логарифмическое дифференцирование. Эластичность функции.
23. Производные параметрически заданных функций.
24. Производная от неявной функции.
25. Инвариантность формы дифференциала.
26. Дифференцирование функций, заданных параметрически.
27. Частные производные. Геометрический смысл частных производных.
28. Полный дифференциал, его связь с частными производными. Инвариантность формы полного дифференциала.
29. Производная по направлению, градиент функции, его связь с производной по направлению. Геометрический смысл полного дифференциала.
30. Дифференцирование неявных функций.
31. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
32. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма, Ролля и Лагранжа, их применение.
33. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
34. Правило Лопиталя.
35. Частные производные и дифференциалы высших порядков функций нескольких переменных.
36. Основные понятия векторного анализа.
37. Градиент, ротор, дивергенция, оператор Лапласа.
38. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и в форме Лагранжа.
39. Формула Маклорена.
40. Представление основных элементарных функций exp(x), sin(x), cos(x), sh(x), ch(x), ln(1+x), (1+x) по формуле Маклорена.
41. Формула Тейлора в случае функций нескольких переменных.
42. Достаточный признак возрастания (убывания) функции одной переменной.
43. Экстремумы функции (максимум и минимум). Необходимое условие экстремума и достаточные признаки его.
44. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
45. Вогнутость, выпуклость и точки перегиба графика функции. Достаточные признаки вогнутости (выпуклости) и наличия точек перегиба.
46. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума.
47. Условный экстремум.
48. Метод множителей Лагранжа.
49. Примеры применения теории экстремумов при поиске оптимальных решений.
50. Асимптоты графика функции (вертикальная, горизонтальная, наклонная). Понятие об асимптотическом разложении.
51. Общая схема исследования функции и построения ее графика.
52. Первообразная, неопределенный интеграл, его свойства.
53. Замена переменной в неопределенном интеграле.
54. Формула интегрирования по частям.
55. Интегрирование простейших рациональных дробей.
56. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие: случи неповторяющихся линейных действительных множителей знаменателя и неповторяющихся квадратичных его множителей.
57. Интегрирование тригонометрических и простейших иррациональных функций.
58. Интегральные суммы. Определенный интеграл, его геометрический смысл, свойства.
59. Формула Ньютона-Лейбница.
60. Формулы замены переменной и интегрирования по частям для определенного интеграла.
61. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур (в декартовых и полярных координатах) и длины дуги кривой.
62. Методы вычисления определенных интегралов по формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона.
63. Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций, их основные свойства.
64. Двойные и тройные интегралы, их свойства.
65. Вычисление кратных интегралов повторным интегрированием.
66. Замена переменных в двойных и тройных интегралах.
67. Вычисление площади поверхности и объема.
68. Криволинейные интегралы. Формула Грина.
69. Числовой ряд, определение его сходимости и расходимости. Сумма числового ряда.
70. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
71. Свойства сходящихся рядов.
72. Необходимый признак сходимости ряда.
73. Гармонический ряд. Признаки сравнения.
74. Признак сходимости ряда Д'Аламбера.
75. Признак сходимости ряда Коши.
76. Интегральный признак сходимости ряда.
77. Обобщенный гармонический ряд.
78. Знакочередующийся ряд.
79. Признак Лейбница.
80. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда.
81. Действия с рядами.
82. Функциональные ряды, область сходимости, методы её определения.
83. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса.
84. Дифференцирование и интегрирование функциональных рядов.
85. Определение степенных рядов.
86. Разложение функций в степенные ряды.
87. Аналитические функции.
88. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях.
89. Ряды Фурье по тригонометрическим системам.
90. Разложение функций в тригонометрические ряды Фурье.
91. Условие поточечной сходимости и сходимости "в среднем".
92. Применение тригонометрических рядов Фурье в приближенных вычислениях.
93. Понятие о преобразовании Фурье. Косинус - и синус преобразование Фурье.
ВОПРОСЫ к экзамену
III семестр
1. Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы. Основные понятия: порядок уравнения (системы), общее и частное решение, произвольные постоянные, интегральные кривые, первые интегралы.
2. Краевая задача.
3. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
