Методические рекомендации и задания для самостоятельной работы студентов по теме "Ряды" (стр. 10 )

Определение1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида:

(1)

или

(2).

Степенной ряд (1) получается из ряда (2) простой подстановкой . Всякий степенной ряд обязательно сходится хотя бы в одной точке. Степенной ряд (1) сходится при , так как сводится при этом к своему начальному члену .

Частичная сумма степенного ряда является многочленом, поэтому вычисление ее значения сводится к арифметическим операциям над значениями аргументов, числом и коэффициентами ряда. При степенной ряд принимает вид:

.

Для сходимости степенного ряда существует признак Абеля

Теорема 1. Если степенной ряд (1) сходится в точке , то он сходится и притом абсолютно при любом значении , удовлетворяющем условию . Если же в точке степенной ряд расходится, то он расходится и при любом значении , удовлетворяющем условию .

Определение 2. Число , где или называется радиусом сходимости степенного ряда, а интервал - интервалом сходимости.

Теорема 2. Если степенной ряд имеет радиус сходимости , то каково бы ни было положительное число , ряд будет сходиться равномерно на интервале . Иными словами, степенной ряд сходится равномерно на любом интервале, лежащем внутри его промежутка сходимости.

Теорема 3. Сумма степенного ряда есть непрерывная функция на промежутке его сходимости.

Теорема 4. Если степенной ряд имеет радиус сходимости , то на любом промежутке этот ряд можно почленно интегрировать, т. е., где - есть сумма ряда.

Теорема 5. Если степенной ряд имеет радиус сходимости , то его можно почленно дифференцировать в любой точке его интервала сходимости : , где - есть сумма ряда.

Литература:

. Глава 4, § 14, 15.

. Раздел 7, Глава 20, § 3.

Основные вопросы для повторения:

1.  Дайте определение степенного ряда.

2.  Сформулируйте и докажите теорему Абеля о степенных рядах.

3.  Может ли область сходимости степенного ряда состоять из нескольких отдельных промежутков?

4.  Как определяется радиус сходимости степенного ряда?

5.  Какой интервал называется интервалом сходимости степенного ряда?

6.  Как выясняется вопрос о сходимости степенного ряда на концах промежутка сходимости?

7.  Может ли сумма степенного ряда в интервале его сходимости оказаться разрывной функцией?

8.  Как сходится степенной ряд на отрезке, расположенном в интервале сходимости?

Задания для самостоятельного решения.

Найти интервал и радиус сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости:

Пример 1..

Решение. Применим признак Даламбера .

Следовательно, и данный ряд сходится на всей числовой оси.

Пример 2.

Решение. Применим признак Коши .

Следовательно, и ряд сходится только в точке .

Пример 3. .

Решение. .

Следовательно, и ряд сходится на интервале . Исследуем сходимость ряда на концах интервала.

1). Пусть .

Получим числовой ряд . Этот ряд расходится.

2). Пусть .

Получим числовой ряд

Этот ряд также расходится.

Таким образом, степенной ряд сходится только внутри промежутка .

1.	14. ,
2. ,	15.,
3. ,	16. ,
4. ,	17. ,
5. ,	18.,
6. ,	19.
7. ,	20. ,
8. ,	21. ,
9. ,	22. ,
10.,	23.,
11. ,	24..
12. ,	25. ,
13.,

§ 7. Формула и ряд Тейлора