Методические рекомендации и задания для самостоятельной работы студентов по теме "Ряды" (стр. 7 )

Рассмотрим ряды с членами произвольного знака или знакопеременные.

Определение 1. Ряд , два соседних члена которого имеют противоположные знаки, называется знакочередующимся рядом и обозначается .

Имеет место следующий признак Лейбница для сходимости знакочередующихся рядов:

Теорема 1 (Лейбница). Если модули членов знакочередующегося ряда монотонно убывают и стремятся к нулю, то этот ряд сходится. Модуль остатка такого ряда не превосходит модуля первого члена остатка ряда и имеет тот же знак, что этот член.

Пример 1. Ряд: сходится при любом , т. к. , причем

Перейдем теперь к рассмотрению произвольных знакопеременных рядов.

Определение 2. Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеется бесконечно много как положительных, так и отрицательных, т. е. ряд вида

С каждым таким рядом связан ряд с неотрицательными членами, составленный из модулей членов данного ряда, т. е. ряд .

Теорема 2. Если сходится ряд (А*):, то сходится и ряд (А): .

Определение 3. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд , составленный из модулей его членов. Если же ряд сходится, а ряд расходится, то первый ряд называют условно сходящимся (или неабсолютно сходящимися).

Теорема 3. Ряд, полученный из абсолютно сходящегося ряда (А): перестановкой членов, также абсолютно сходится, причем имеет ту же сумму, что и сходящийся ряд.

Теорема 4. Если ряды и абсолютно сходятся, то абсолютно сходится и ряд, составленный из членов , взятых в любом порядке. При этом сумма такого ряда равна произведению сумм данных рядов.

Теорема 5. Если ряд (А):сходится условно, то путем перестановки его членов можно получить ряд, имеющий любую, наперед заданную, сумму, а также расходящийся ряд.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда (А):

Решение. Для ряда (А*), составленного из абсолютных величин рассматриваемого ряда, общий член . Применяем к ряду (А*) признак Даламбера:

.

Ряд (А) сходится абсолютно.

Литература:

. Глава 2, § 6,7,8

. Раздел 7, Глава 20, § 3,4,5

Основные вопросы для повторения:

1.  Какой числовой ряд называется знакочередующимся?

2.  Сформулируйте и докажите теорему Лейбница.

3.  Чем отличается необходимое условие сходимости любого числового ряда от достаточного условия сходимости знакочередующегося ряда?

4.  Какой ряд называется абсолютно сходящимся?

5.  Сформулируйте и докажите теорему о сходимости абсолютно сходящегося ряда.

6.  Докажите переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов.

7.  Какие числовые ряды называются условно (неабсолютно) сходящимися?

Задания для самостоятельного решения.

I.  Записать ряд в развернутом виде:

1. ,

2. ,

3. ,

4.,

5. .

II.  Исследовать на сходимость знакопеременные ряды:

1.	14. ,
2. ,	15. ,
3. ,	16. ,
4. ,	17. ,
5. ,	18. ,
6. ,	19. ,
7. ,	20.
8. ,	21. ,
9. .	22. ,
10. ,	23. ,
11. ,	24. ,
12. ,	25. ,
13. ,

§ 5. Функциональные последовательности и ряды и их области сходимости

Определение 1. Функциональной последовательностью называется последовательность, элементами которой являются функции одной переменной , определенные на некотором множестве .

Рассмотрим функциональную последовательность , где - функции, определенные на некотором множестве . Зафиксируем и рассмотрим последовательность , которая является числовой последовательностью.

Определение 2. Говоря, что функциональная последовательность сходится в точке , если в этой точке сходится числовая последовательность .

Определение 3. Множество всех значений , при которых функциональная последовательность сходится, называется ее областью сходимости.