Методические рекомендации и задания для самостоятельной работы студентов по теме "Ряды" (стр. 3 )

Последовательность а, где , не имеет предела, а это значит, что ряд расходится. Таким образом, ряд сходится для и расходится .

Пример 2. Докажем, что ряд: где , расходится.

Решение. Для этого ряда . Так как все члены этой суммы не меньше чем , а она состоит из n членов, то . Но при имеем и, значит, . Расходимость ряда доказана.

Пример 3. Докажем, что сходится ряд:

и найдем его сумму.

Решение. Пользуясь известным разложением , находим, что .

Так как , то ряд сходится и его сумма равна 1.

Рассмотрим простейшие свойства числовых рядов.

Свойство 1. Если ряды (А) и (В) сходятся, то сходящимся будет и ряд , причем его сумма равна сумме двух первых рядов.

Свойство 2. Если ряд сходится и его сумма равна , то ряд , где - постоянное число, также сходится и его сумма равна , т. е. постоянный множитель можно выносить за знак ряда.

Пусть дан ряд

(1).

Отбросим первые членов этого ряда и получим ряд

(2).

Ряд (2) называется остатком ряда (1) и обозначается .

Теорема 1. Если сходится ряд (1), то сходится и любой из его остатков (2). И, наоборот, из сходимости остатка (2) вытекает сходимость ряда (1).

Таким образом, ряд и его остаток сходятся и расходятся одновременно. Отбрасывание конечного числа первых членов ряда или присоединение в начале его нескольких новых членов не отражается на поведении ряда в смысле его сходимости или расходимости.

Теорема 2. Если ряд сходится, то .

Этот признак является необходимым, но не является достаточным, так как существуют ряды, общий член которых стремится к нулю, но тем не менее они расходятся. К таким рядам относится гармонический ряд:

.

,

но ряд расходится.

Если или не существует, то можно сказать, что ряд расходится.

Определение 3. Последовательность называется фундаментальной, если для любого положительного существует номер , такой что при любом и при любом выполняется неравенство:

Теорема 3. (критерий Коши). Для того чтобы последовательность сходилась на множестве действительных чисел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Теорема 4. Для того, чтобы числовой ряд был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм этого ряда была фундаментальной, т. е. чтобы , что при и выполнялось неравенство или .

Литература:

. Глава 1, § 1,2.

. Раздел 7, Глава 20, § 1,2.

Основные вопросы для повторения:

1.  Что называется числовым рядом?

2.  Как определяются частичные суммы ряда?

3.  Что означает сходимость и расходимость числового ряда?

4.  Докажите расходимость гармонического ряда.

5.  Исследуйте вопрос о сходимости ряда, составленного из членов геометрической прогрессии.

6.  В чем состоит необходимое условие сходимости ряда? Докажите соответствующую теорему.

7.  Сформулируйте и докажите теорему о сходимости ряда и его остатка.

8.  Сформулируйте и докажите теоремы о почленном умножении ряда на число и почленном сложении рядов.

9.  Сформулируйте и докажите теорему о необходимом и достаточном условии сходимости числового ряда.

Задания для самостоятельного решения.

I.  Написать простейшую формулу п-го члена ряда по указанным его первым членам: ,

Решение. Исследуем закономерность, которой подчиняются числа, составляющие ряд. Каждый член данного ряда представляет собой дробь, числитель которой равен удвоенному номеру члена. Следовательно, ый член ряда будет иметь числитель, равный . Знаменатели дробей представляют собой арифметическую прогрессию, разность которой равна 3. Следовательно, знаменатель дроби го члена запишется формулой . Таким образом, простейшей формулой го члена данного ряда будет:

.

Написать простейшую формулу п-го члена ряда по указанным его первым членам:

1.

2. ,

3. ,

4.,

5.

6.

II. Записать ряд, используя знак суммы :

Решение. Так как любой член ряда может быть вычислен по формуле общего члена, то сначала запишем общий член ряда. Числитель дроби представляет собой последовательность натуральных чисел, а знаменатель дроби – арифметическую прогрессию с разностью равной 6, поэтому