Методические рекомендации и задания для самостоятельной работы студентов по теме "Ряды" (стр. 4 )

.

Краткая запись данного ряда будет иметь вид:

Записать ряд, используя знак суммы :

1.

2. .,

3. ,

4.,

5. .

III.  Найти сумму ряда:

Решение. Первый способ. Составим последовательность частичных сумм ряда:

Мы видим, что частичные суммы представляют собой дроби, числители которых равны индексу (номеру) частичной суммы, а знаменатели – удвоенному индексу, сложенному с единицей. Поэтому можно предположить, что .

Методом полной математической индукции докажем, что эта формула верна. В самом деле, имеем:

Таким образом, мы доказали, что

.

Переходя к пределу при , получим:

.

Следовательно, сумма данного ряда существует и равна .

Второй способ. Представим общий член данного ряда в виде суммы двух дробей, т. е. разложим дробь на простейшие, пользуясь методом неопределенных коэффициентов:

В этом тождестве мы приводим левую и правую части к общему знаменателю и отбрасываем его:

или

Затем, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему уравнений:

,

из которой находим:

и .

Таким образом,

.

Представляя теперь каждый член данного ряда в виде суммы двух слагаемых, мы получим следующее выражение для ой частичной суммы:

.

Все слагаемые, кроме первого и последнего, взаимно уничтожаются.

Теперь находим сумму ряда:

Найти сумму ряда:

1.	11. ;
2. ;	12. ;
3. ;	13. ;
4. ;	14. ;
5.  .;	15. ;
6. ;	16. ;
7. ;	17. ;
8. ;	18. ;
9. ;	19. ;
10. ;	20.

§ 3. Признаки сходимости числовых рядов с неотрицательными членами

3.1. Признаки сравнения

Определение 1.Положительным рядом или рядом с положительными членами называется такой ряд, все члены которого неотрицательны, т. е. , где

Пусть дан ряд вида , где все an > 0. Так как и , то . Это значит, что последовательность частичных сумм данного ряда неубывающая: . Для сходимости неубывающей последовательности необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху, т. е. необходимо и достаточно, чтобы существовало такое М, что sn £ М для всех п. Значит, в этом и только в этом случае ряд где an ³ 0, сходится.

Теорема 1. (сравнения рядов) Пусть даны два ряда (А): и (В): , члены которых неотрицательны, причем для всех выполняется неравенство . Тогда, если сходится ряд (В), то сходится и ряд (А), причем £ (из сходимости ряда соответственно с большими членами вытекает сходимость ряда с соответственно меньшими членами).

Следствие. Если члены рядов (А): и (В):неотрицательны и для всех выполняется неравенство , то из расходимости ряда (А) вытекает, что и ряд (В) расходится.

Пример 1. Выше было доказано, что ряд сходится. Но при любом n имеет место неравенство , то есть . Значит, ряд тоже сходится.

Пример 2. Так как ряд расходится, а при любом n имеем , то ряд тоже расходится.

Замечание. Так как сходимость ряда равносильна сходимости любого его остатка, то члены рядов и можно сравнивать лишь, начиная с некоторого места (однако если лишь при , то, вообще говоря, неравенство может не иметь места).