Методические рекомендации и задания для самостоятельной работы студентов по теме "Ряды" (стр. 1 )

Министерство образования и науки РФ

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Тобольский государственный педагогический институт имени "

Методические рекомендации

и задания для самостоятельной работы студентов по теме "Ряды"

г. Тобольск, 2008

Печатается по решению Редакционно-

издательского совета ТГПИ им.

УДК 51

© . Методические рекомендации и задания для самостоятельной работы студентов по теме «Ряды». - Тобольск: ТГПИ им. , 2008. - 65 с. -

100 экз.

Данное руководство написано в помощь студентам пединститута для изучения раздела «Ряды» курса математического анализа и решения задач, выносимых на аудиторные контрольные работы и самостоятельную работу.

В пособии представлена в начале каждого параграфа теоретическая часть раздела "Ряды", затем предложен ряд общих замечаний и рекомендаций по выполнению заданий для самостоятельной работы с учетом специфики изучения данного раздела, в конце предлагаются вопросы для повторения теоретического материала по теме "Ряды" и набор заданий для самостоятельного выполнения. Также представлены варианты контрольных работ.

Отдельным разделом представлены ряды Фурье, а также ряды в комплексной области.

Данное пособие может быть использовано студентами очного и заочного отделений, изучающих курс математического анализа.

ISBN

Ответственный редактор___________________

Рецензенты:

© , 2008.

© ТГПИ им. , 2008

Введение

Теория рядов является одним из важнейших разделов математического анализа. Ряды используются во многих областях современной математики – как в теоретических исследованиях, так и для практических целей. При помощи рядов были вычислены, например, постоянные и , составлены значения логарифмов, тригонометрических функций и т. д. С помощью рядов приближенно вычисляются не берущиеся в конечном виде интегралы, решаются дифференциальные уравнения.

В предлагаемом пособии изложены основные идеи раздела математического анализа "Ряды". При составлении пособия использовались различные учебники, задачники; значительная часть задач переработана. Данное пособие составлено в соответствии с Государственным образовательным стандартом по математическому анализу педагогических институтов для специальности «математика».

Содержание лекционного материала представляется следующим:

1. Числовые ряды. Числовой ряд и его частичные суммы. Сходящиеся ряды. Сложение рядов и умножение ряда на число. Остаток сходящегося ряда. Необходимое условие сходимости числового ряда. Гармонический ряд. Критерий Коши сходимости числовой последовательности и числового ряда. Необходимое и достаточное условие сходимости числового ряда. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с положительными членами. Сравнение рядов с положительными членами. Признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак сходимости. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютно сходящиеся ряды. Перестановка членов абсолютно сходящегося ряда. Условно сходящиеся ряды. Теорема Римана.

2. Функциональные последовательности и ряды. Функциональная последовательность и функциональный ряд. Область сходимости. Равномерная сходимость. Необходимый и достаточный признак равномерной сходимости. Признак равномерной и абсолютной сходимости. Предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций. Сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций. Интегрирование и дифференцирование функциональных последовательностей и рядов.

3. Степенные ряды. Понятие степенного ряда. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости. Равномерная сходимость степенного ряда. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов.

4. Разложение функций в степенной ряд. Задача разложения функций в степенной ряд. Ряд Тейлора. Разложение функций sinx, cosx, ex, ln(1+x), (1+x)a в степенной ряд. Приближенное вычисление значений функций и интегралов с помощью степенных рядов.

5. Ряды Фурье. Тригонометрическая система функций. Ряд Фурье. Разложение функции в ряд Фурье. Особенности разложения в ряд Фурье четной и нечетной функций.

В пособии указываются особенности изучения каждой темы курса и ее связь с другими разделами; обращается внимание на наиболее важные и сложные вопросы, дается краткое изложение некоторых тем. Теоремы, как правило, формулируются без доказательства, однако указывается их место и значение в общем курсе - ссылка, где это доказательство имеется. После каждой главы приводятся соответствующие вопросы программы для самостоятельного изучения студентами. Разумеется, полностью охватить весь материал этого раздела в течение отведенного учебным планом времени немыслимо. Поэтому наша задача состоит в том, чтобы отобрать такой материал и уделить такое внимание, при котором практические занятия действительно помогли бы студенту продолжить в дальнейшем самостоятельную работу по окончательному усвоению данного раздела.

Как основные учебники по математическому анализу рекомендуются:

1. и др. Ряды. - М., Просвещение, 1982.- 160 с.

2., , . Курс математического анализа. - М., Просвещение, 1965.

В конце пособия приводится список дополнительной литературы.

Для того чтобы студент мог успешно справиться с заданиями, в данном пособии приводится ряд решенных задач, а также даются общие указания к работе над типичными упражнениями. Основной целью приведенного набора задач является расширение навыков студентов в применении математического аппарата. Весь комплекс рассмотренных задач не претендует на полноту охвата практического материала.

После каждого параграфа приведены задачи для самостоятельного решения. Весь набор таких упражнений можно рассматривать как своего рода минимум для подготовки по практической части курса. Для удобства все упражнения представляют собой дифференциацию, т. е. последние задания несколько сложнее первых, что позволяет варьировать объем минимальных заданий.

В конце пособия предлагаются варианты контрольных работ.

Глава I. Ряды

§1. Числовая последовательность и ее предел

Пусть переменная величина принимает последовательно значения:

, (1)

которые занумерованы и расположены в порядке возрастания своих номеров.

Такое множество значений переменной называют числовой последовательностью. Сами числа называются членами этой последовательности.

Числа можно рассматривать как значения некоторой функции положительного целочисленного аргумента: каждому целому числу соответствует число - член последовательности, имеющий номер . Так что: .

Поэтому числовую последовательность можно определить как множество значений функции , определенной на множестве натуральных чисел: 1,2,3, …, n, …..

Член называют общим членом последовательности (1).

Переменную , пробегающую последовательность значений (1), часто обозначают через , подчеркивая тем самым, что она рассматривается не как переменная, а как некоторая функция от п.

Приведем примеры последовательностей:

1. 1,2,3,…..,п,…

2.  1!, 2!,3!,….,п!,… !

3. 

4.  ,

5. 

Определение 1. Постоянное число а называется пределом последовательности , если каково бы ни было наперед заданное положительное число , всегда можно было найти такое натуральное число , что для всех значений будет выполняться неравенство:

. (2)

То, что число а есть предел переменной величины , или последовательности с общим членом , символически записывается так: