Методические рекомендации и задания для самостоятельной работы студентов по теме "Ряды" (стр. 13 )

Для определения коэффициентов используются следующие формулы:

.

Пусть задана функция на интервале . На этом интервале ее можно разложить в равномерно сходящийся ряд

.

Коэффициенты этого ряда вычисляются по формулам:

Эти коэффициенты называются коэффициентами Фурье, а ряд с такими коэффициентами называется рядом Фурье функции .

Определение 1. Функция называется гладкой на интервале , если на этом интервале она непрерывна вместе со своей первой производной.

Определение 2. Функция называется кусочногладкой на интервале , если этот интервал можно разбить на конечное сило частичных интервалов, на каждом из которых функция - гладкая.

Теорема. Если функция кусочногладкая на интервале , то ее ряд Фурье сходится к значению функции во всех точках, где она непрерывна; в точках разрыва функции ряд сходится к среднему арифметическому ее предельных значений слева и справа, т. е. к значению , где точка разрыва первого рода; на концах интервала ряд сходится также к среднему арифметическому предельных значений функции при стремлении независимой переменной к этим граничным точкам внутри интервала

.

Рассмотрим, как можно разложить в ряд Фурье четные и нечетные функции.

Пусть разлагаемая в ряд Фурье функция четная, тогда произведение - нечетная функция и интеграл, взятый на интервале от такой функции, равен нулю. Все коэффициенты в ряду Фурье окажутся нулями, а сам ряд будет состоять из одних косинусов:

, где .

Предположим, что функция - нечетная. В этом случае функция нечетная и все коэффициенты ряда, включая и , обратятся в нуль.

Ряд Фурье будет содержать только синусы:

, где .

Определение 1. Тригонометрическим рядом называют ряд вида

или ( 1 )

Рассмотрим ряд

Постоянные ап, bп (п = I, 2, .. .) называются коэффициентами ряда. Свободный член удобно записывать в виде .

9.2. Ряды Фурье. Коэффициенты Фурье

Пусть задана функция f(x) на интервале Предполагаем, что на этом интервале ее можно разложить в равномерно сходящийся ряд

(14), который можно почленно интегрировать.

Интегрируя правую и левую части (14) в пределах от —я до я, получим (15). Отсюда

Интегралы от остальных членов ряда в силу формул (10) обратятся в нуль.

Для отыскания коэффициента ат, где т — любое целое положительное число, обе части равенства (14) умножим на cos mx и, учитывая только что отмеченное свойство, проинте­грируем в пределах

Все интегралы в правой части, исключая интеграл при коэффициенте ат, равны нулю в силу формул (И) и •(12). Интеграл же при коэффициенте ат, согласно первой формуле (13), равен it, т. е.

f {x) cos mxdx = ат cos2mxdx = ат. (16)

9.3. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций

Напомним, что функция f{x) называется четной, если для всех значений х имеет место f(-x) =f(x).

Функция называется нечетной, если для всех х имеет место f(-x) = - f(x).

График четной функции симметричен относительно оси ординат; график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Если интегрируемая на интервале (-а, а) функция f(x) четная, то , если f(x) - нечетная, то

Таким образом, для четной функции

для нечетной

Пусть разлагаемая в ряд Фурье функция f(x) четная, тогда произведение f (x) sinmx — нечетная функция и интеграл, взятый на интервале (-П, П) от такой функции, равен нулю. Все коэффициенты bm в ряду Фурье окажутся нулями, а сам ряд будет состоять из одних косинусов:

(m =0,1,2, ...)• (19)

Предположим сейчас, что функция f(x) нечетная. В этом случае функция f(x)cosmx нечетная и все коэффициенты аm ряда, включая a0, обратятся в нуль.

Ряд Фурье будет содержать только синусы bm sin mx,

где (20)

Как показывают формулы (19) и (20), коэффициенты Фурье можно вычислять, если функция f(x) задана на поло­вине периода.

9.4. Примеры на разложение функций в ряд Фурье

Пример 1. Найти ряд Фурье для функции f(x) = x, -π < x ≤ π.

Решение. Функция удовлетворяет условиям Дирихле - она непрерывна и ограничена на заданном интервале, а потому допускает разложение в ряд Фурье. Так как эта функция нечетная, то ряд Фурье будет содержать только синусы.

В самом деле

Для отыскания аm используем формулу (19), интеграл возьмем по частям

.

Таким образом, получаем ряд:

Ряд сходится во всех точках, кроме точек разрыва. В точках разрыва x:=(2k + 1) (k = 0, ±1, ±2, ...) значение функции равно среднему арифметическому ее пределов справа и слева, т. е. нулю.

Пример 2. Найти ряд Фурье для функции f(x) = |x| (-П, П). График функции вместе с ее периодическим продолжением на всю числовую ось с периодом 2п.

Решение. Так как функция \х\ четная, то все коэффициенты bт равны нулю. По формуле (19) имеем:

Интегрируя по частям:

Следовательно, f(x) =

Пологая, что x=0, получим 0=

Откуда,

Полученным рядом можно воспользоваться для вычисления суммы ряда, который представлен в таком виде:

S= (1+)

Тогда, S =

Пример 5. Найти ряд Фурье для функции (х) = 5х + 2 (-П, П)

Решение. Функция удовлетворяет условиям Дирихле, а потому может быть разложена в ряд Фурье. Найдем коэффициенты

 

Полученное равенство аm - 0 можно было предвидеть и заранее, так как функция f(x) = 5x + 2 отличается от нечетной f(x)=5x только постоянным слагаемым, которое увеличивает соответствующие ординаты на две единицы.

Итак,

Пример 6. Разложить функцию f(x) = х2 (— л<х<п) в ряд Фурье. Функция всюду непрерывная.

Решение. Функция f(x) четная, а потому коэффициенты bт равны нулю.

Два раза интегрируя по частям, найдем

Следовательно,

9.5. Ряд Фурье на произвольном интервале

Часто приходится рассматривать задачу о разложении в ряд Фурье периодической функции f(x), заданной на интервале (—l, l), где l — произвольное число (l> 0).

Если функция / (х) на заданном интервале (— l, l) удовлетворяет условиям Дирихле, то ее разложение может быть легко осуществлено путем замены независимой переменной t =х. Когда х пробегает интервал
(— l, l), переменная t пробегает интервал(-П, П). В этом случае функция f(x) =f() будет иметь период 2П и, следовательно, может быть разложена в ряд Фурье

Ряд (21) представляет собой функцию с периодом 21.

Заметим, что формулы для определения коэффициентов Фурье в случае четных и нечетных функций записываются по аналогии с формулами (19) и (20).

Для четных функций

Если функция f(x) нечетная, то ее ряд Фурье

содержит только синусы, где (24)

Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=x с периодом 21 на интервале (—2, 2). График функции, периодически продолженный на всю числовую ось.

Решение. Функция f(x) нечетная, следовательно, ее ряд Фурье будет содержать только синусы

Пример 2. Разложить функцию с периодом 2/ = 2, определяемую равенством f(x) — \x\ — I при — I < х < I в ряд Фурье.

Решение. Функция четная, следовательно, Ьт — 0 и

Решение. Так как рассматриваемая функция – четная, то

Следовательно, разложение имеет вид

Вопросы

1.  Какой ряд называется тригонометрическим рядом?

2.  Какой тригонометрический ряд называется рядом Фурье?

3.  Для каких функций можно составить ряды Фурье?

4.  Сформулируйте и докажите теорему об ортогональности системы тригонометрических функций.

5.  Покажите, что четная функция может быть разложена в ряд Фурье только по косинусам кратных дуг, а нечетная – только по синусам.

6.  Как осуществляется разложение в тригонометрический ряд функции, заданной на произвольном промежутке?

Литература

1. , Дударенко анализ, - Минск, Вышейшая школа, 1990 г.

2. Фихтенгольц математического анализа: В 2 ч.: Учебн. для вузов. - СПб.: Лань, 2001. ч I - 448 с, ч II - 464 с.

3. Кудрявцев математического анализа. - М.: Высшая школа, 1981, т. I-II.

4. , , Лащенов математического анализа. - М.: Просвещение, 1972, т. I-II

8. и др. Ряды. - М., Просвещение, 1980 г.

9. , , Никольский задач по математическому анализу. - М., Просвещение, 1973 г.

Содержание

		Стр.
	Введение ……………………………………………………	3
§1.	Числовые ряды. Сходимость числового ряда …………….	6
1.1.	Числовые ряды ………………………………………………	6
1.2.	Сумма ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды…………..	7
	Задания для самостоятельного решения……………………	9
§2.	Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами	10
2.1.	Признаки сравнения………………………………………….	10
2.2.	Признаки сходимости Даламбера и Коши………………….	12
2.3.	Интегральный признак сходимости Коши…………………	13
	Задания для самостоятельного решения……………………	16
§3.	Знакочередующиеся ряды…………………………………...	17
	Задания для самостоятельного решения……………………	20
§4.	Функциональные ряды и области их сходимости…………	20
	Задания для самостоятельного решения …………………...	24
§ 5.	Степенные ряды……………………………………………...	27
	Задания для самостоятельного решения……………………	28
§6.	Формула Тейлора……………………………………………..	29
	Задания для самостоятельного решения……………………	31
§7.	Применение рядов к приближенным вычислениям……….	31
	Задания для самостоятельного решения……………………	33
§8.	Ряды Фурье	34
	Задания для самостоятельного решения
	Литература……………………………………………………	35

Методические рекомендации и задания для самостоятельной работы студентов по теме «Ряды»

Лицензия на издательскую деятельность

ЛР № 000 от 25 июля 1997 г.

Подписано в печать

Формат 60х84 1/16 Усл. печ. л.

Тираж 50 экз. Заказ №

____________________________________________________________________________________

Отпечатано в типографии Тобольского государственного

педагогического института им.

626150 Тобольск,