Методические рекомендации и задания для самостоятельной работы студентов по теме "Ряды" (стр. 11 )

Представление функции в виде суммы ряда вида называется разложением функции в степенной ряд. Для разложения функции в степенные ряды применяется формула Тейлора.

Определение 1. Если какая-либо функция является суммой степенного ряда в интервале его сходимости, т. е. при , то говорят, что функция в этом интервале разлагается в степенной ряд, а сам степенной ряд называется сходящимся к функции на указанном интервале.

Теорема1. Если функция в интервале разлагается в степенной ряд, то это разложение единственно.

Определение 2. Степенной ряд, коэффициенты которого вычисляются по формуле называется рядом Маклорена для функции , а степенной ряд, коэффициенты которого определяются по формуле называется рядом Тейлора.

Теорема2. Пусть функция имеет на отрезке производные до -го порядка включительно, причем непрерывна на этом отрезке. Тогда для из этого отрезка выполняется равенство

(1),

где

(2).

Равенство (1) называется формулой Тейлора, – остаточным членом этой формулы, а выражение (2) - интегральной формой остаточного члена формулы Тейлора. Отметим, что из существования на отрезке производных функции до -го порядка включительно вытекает непрерывность функций на этом отрезке.

Литература:

. Глава 4, § 15, 16.

. Раздел 7, Глава 22, § 1,2,3, 4, 5.

Основные вопросы для повторения:

1.  Когда говорят, что некоторая функция разлагается в степенной ряд?

2.  Сформулируйте и докажите теорему о единственности разложения функции в степенной ряд.

3.  Дайте определение ряда Тейлора.

4.  Каким условиям должна удовлетворять функция, чтобы для нее можно было составить ряд Тейлора?

5.  Сформулируйте и докажите теорему о необходимых и достаточных условиях разложимости функции в ряд Тейлора.

6.  Как осуществляется разложение в ряд Тейлора дробно-рациональной функции?

7.  Исследовать возможность разложения в ряд Тейлора функций: Почему вместо рассматривается ?

8.  Какой степенной ряд называется биномиальным рядом и как он получается?

Задания для самостоятельного решения

Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки :

1. ,	14,
2. ,	15. ,
3. ,	16
4. ,	17..
5.	18. ,
6. ,	19. ,
7. ,	20. ,
8. ,	21. ,
9. ,	22.
10. ,	23. ,
11. ,	24. ,
12. ,	25. ,
13.,

§ 8. Применение рядов к приближенным вычислениям.

Степенные ряды являются мощным вычислительным средством. С их помощью можно, например, вычислять приближенные значения функций.

1.  Показательная функция разлагается в ряд Тейлора следующим образом:

Прежде чем вычислить число , выведем формулу для оценки погрешности:

,

или

Заменив каждый из сомножителей в знаменателе меньшим значением, получим неравенство

Итак, .

Возьмем , получим: .

Чтобы узнать, сколько слагаемых нужно взять в этой сумме, чтобы погрешность вычисления не превышала 0,01, составим или решить неравенство: . Получим, что достаточно взять 6 слагаемых. Тогда .

С помощью данной формулы можно вычислять значения любой показательной функции.

Пример 1. Вычислим е0,2 с точностью до 0,0001.

Решение. Имеем

.

Оценим погрешность, получаемую при отбрасывании всех членов, начиная с пятого:

Значит, с точностью до 0,0001 имеем:

.

2.  Тригонометрические функции.

Воспользуемся разложениями:

Пример 2. Вычислить с точностью до 0,0001.

Решение. Воспользуемся тем, что радиан.