Методические рекомендации и задания для самостоятельной работы студентов по теме "Ряды" (стр. 5 )

Иногда удобнее применять другую теорему сравнения рядов с неотрицательными членами.

Теорема 2. (вторая теорема сравнения рядов с неотрицательными членами). Пусть все члены рядов (А): и (В): неотрицательны и пусть существует конечный предел . Тогда при оба ряда либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся. Если же , то из сходимости ряда (В) вытекает сходимость ряда (А), а из расходимости ряда (А) - расходимость ряда (В).

Пример 3. Мы знаем, что ряд сходится. Так , то и ряд сходится.

3.2. Признаки сходимости Даламбера и Коши

Теорема 3. (признак Даламбера). Пусть все члены ряда (А): положительны и пусть существует предел отношения последующего члена ряда к предыдущему: . Тогда: если , то ряд сходится, если , то ряд расходится, если, то возможна как сходимость, так и расходимость ряда.

Пример 4. Докажем сходимость ряда . Для этого ряда имеем , . Значит,

Так как , то ряд сходится.

Другим признаком сходимости рядов с положительными членами, основанным на сравнении с суммой геометрической прогрессии, является так называемый радикальный признак сходимости Коши.

Теорема 4. (Признак Коши) Пусть все члены ряда (А): положительны и пусть существует предел С=. Тогда: а) если , то ряд сходится; б) если , то ряд расходится; в) если , то возможна как сходимость, так и расходимость.

3.3. Интегральный признак сходимости Коши

Во многих случаях члены рассматриваемых рядов не только положительны, но и монотонно стремятся к нулю. Для таких рядов вопрос о сходимости часто решается путем сравнения ряда с несобственным интегралом.

Напомним, что по определению несобственный интеграл сходится, если существует предел , и равен в этом случае значению этого предела. Если функция f(t) всюду имеет первообразную F(t), то , где .

Таким образом, в случае существования первообразной F(t) для функции f(t) исследование сходимости эквивалентно исследованию предела , при этом если предел существует и конечен, то интеграл сходится, а если предел равен ± или не существует, то интеграл расходится.

Если несобственный интеграл сходится, то для любой последовательности , стремящейся к , имеем:

.

В случае, когда , для сходимости интеграла достаточно существования хотя бы одной последовательности , такой, что и . Это вытекает из того, что при функция монотонно возрастает.

В частности, при сходимость интеграла равносильна сходимости ряда:

.(1)

В самом деле, частичные суммы этого ряда имеют вид:

,

а для сходимости интеграла необходимо и достаточно, чтобы существовал предел .

Сформулируем признак сходимости рядов с монотонно убывающими положительными членами.

Теорема 5. (интегральный признак Коши). Пусть функция f(t) задана на луче [1;), непрерывна, положительна, монотонно убывает и стремится к нулю, когда . Обозначим f(n) через ряд . Тогда ряд (А):, сходится в том и только том случае, когда сходится несобственный интеграл .

Пример 5. Докажем, что ряд расходится при и сходится при .

Решение. Функция удовлетворяет условиям теоремы, причем . Значит, ряд сходится или расходится одновременно с интегралом .

Таким образом, для исследования сходимости ряда достаточно рассмотреть предел первообразной F(х) для функции при . При

Если , то , и потому .

В этом случае интеграл, а тем самым и ряд расходятся. Если же , то , и тогда . В этом случае интеграл, а, следовательно, и ряд сходятся. Наконец, при , а так как , то интеграл, а, следовательно, и ряд расходятся.

Литература:

. Глава 2, § 6,7,8

. Раздел 7, Глава 20, § 3,4,5

Основные вопросы для повторения:

1.  Сформулируйте и докажите признаки сходимости положительных рядов на основе их сравнения.

2.  Докажите, что ряд сходится при > и расходится при <.