Методические рекомендации и задания для самостоятельной работы студентов по теме "Ряды" (стр. 9 )

Литература:

. Глава 3, § 10 11, 12.

. Раздел 7, Глава 21, § 1,2.

Основные вопросы для повторения:

1.  Какой ряд называется функциональным?

2.  Как определяется сходимость функционального ряда в точке и на промежутке?

3.  Что понимается под равномерной сходимостью функционального ряда?

4.  Сформулируйте и докажитепризнак Вейерштрасса (равномерной сходимости функциональных рядов).

5. В каком случае говорят, что данный функциональный ряд можно почленно дифференцировать, интегрировать?

Задания для самостоятельного решения

Пример 1. Определить область (абсолютной и условной) сходимости функционального ряда: .

Решение. При каждом значении имеем обыч­ный числовой ряд. Применяем к нему признак Даламбера, как это делалось при исследовании абсолютной сходимости. Вводим величину:

.

Отыскиваем предел

.

Для тех значений , при которых , рассматриваемый ряд сходится абсолютно. Для значений , при которых , исследуемый ряд расходится, (общий член не стремится к нулю). Точки, для которых , подлежат специальному рассмотрению, так же как и точки, для которых нельзя было составить величину . В данном примере это точки . Сразу отметим, что при ряд состоит из одних нулей и, очевидно, является абсолютно сходящимся, а при ряд не определен. Решим неравенство .

Это неравенство равносильно следующему: . Но - расстояние от точки до точки , а - расстояние от точки до . Так как начало координат равноудалено от точек А и В, то неравенство |МА| < |МВ| выполняется, если точка М лежит на положительной полуоси, т. е. если . При имеем , и потому а поэтому ряд расходится.

При имеем , и потому эту точку рассматриваем отдельно. Получаем ряд: , который сходится условно.

Итак, областью сходимости ряда является числовой луч: [0; ). При: исследуемый ряд сходится условно, а в остальных точках луча: [0; ) - абсолютно.

Для отыскания области сходимости этого ряда можно было применить признак Коши (радикальный). В этом случае вводится последовательность и отыскивается предел (если он существует). Далее решается неравенство . На множестве, являющемся егo решением, ряд сходится абсолютно. Там, где , ряд расходится (общий член не стремится к нулю). Точки, в которых , требуют отдельного рассмотрения.

Пример 2. Найдем область сходимости ряда .

Решение. Применяем признак Даламбера. Имеем:

.

Далее

Если |, тогда .

Из выражения для следует, что и при и при | исследуемый ряд сходится абсолютно. Заметим, что при признак Даламбера не применим, но в этом случае ряд состоит из нулей и его абсолютная сходимость тривиальна.

Далее при , но в этих точках общий член ряда по абсолютной величине равен , и потому ряд расходится.

Итак, во всех точках числовой оси, кроме , рассматриваемый ряд сходится и притом абсолютно.

Пример 3. Найдем область сходимости ряда .

Решение. Применяем признак Даламбера. Имеем:

В силу периодичности тангенса решение неравенства достаточно провести лишь для отрезка .

В силу монотонности тангенса на этом отрезке получаем: . Область абсолютной сходимости является объединением интервалов . Легко проверить, что на левых концах этих интервалов исследуемый ряд сходится условно, а на правых - расходится (проверьте это!).

Пример 4. Найдем область сходимости ряда: .

Решение. Множество, на котором ряд определен, задается условием , где т. е. , . Для всех х, для которых ряд определен, начиная с некоторого значения , аргумент принадлежит интервалу . Для этих значений имеем: . Применим к ряду и ряду вторую теорему сравнения для положительных рядов. Так как , то Этот предел конечен, поэтому ряд - сходится вместе с геометрической прогрессией . Следовательно, рассматриваемый ряд абсолютно сходится во всех точках, где он определен.

I.  Найти область сходимости функционального ряда:

1. ;	14. ;
2. ;	15. ;
3. ;	16. ;
4. ;	17. ;
5. ;	18. ;
6. ;	19. ;
7. ;	20. ;
8. ;	21. ;
9. ;	22. ;
10. ;	23. ;
11.	24. ;
12.	25.
13.

§ 6. Степенные ряды