Методические рекомендации и задания для самостоятельной работы студентов по теме "Ряды" (стр. 8 )

Если функциональная последовательность сходится на множестве , то она сходится в каждой точке этого множества, следовательно, для каждой точки существует свой предел. Это означает, что на множестве определена некоторая функция , которая называется предельной функцией для функциональной последовательности .

Определение 4. Функция называется предельной функцией последовательности , если при любом справедливо равенство: .

Рассмотрим функциональную последовательность , сходящуюся к предельной функции на множестве .

Определение 5. Функциональная последовательность называется равномерно сходящейся к предельной функции на множестве X, если для любого положительного существует номер , такой что при всех и при всех выполняется неравенство: .

Теорема 1. (критерий Коши) Пусть функции определены на множестве . Для того, чтобы функциональная последовательность равномерно сходилась к предельной функции на множестве , необходимо и достаточно, чтобы для любого существовал номер такой, что при всех и при всех выполнялось неравенство: .

Пусть функции u1(x), u2(x), …, un(x), … заданы на одном и том же множестве X.

Определение 6. Назовем функциональным рядом с общим членом un(х) выражение ., где - некоторые функции.

Выберем точку и рассмотрим ряд

Таким образом, каждый функциональный ряд определяет множество числовых рядов, получаемых из него подстановкой вместо переменной ее значений. Эти числовые ряды могут сходиться при одних значениях аргументов и расходиться при других значениях. Например, ряд сходится, если , и расходится, если .

Определение7.Говорят, что функциональный ряд

сходится в точке , если сходится числовой ряд

Определение 8. Множество значений аргумента , при которых сходится функциональный ряд , называется областью сходимости этого ряда.

Определение 9. Функциональный ряд называется равномерно сходящимся к сумме на множестве , если последовательность частичных сумм этого ряда равномерно сходится к функции на множестве .

Рассмотрим некоторые свойства равномерно сходящихся рядов.

Теорема 2. Пусть функции определены на множестве . Для того, чтобы функциональный ряд равномерно сходился на множестве к сумме , необходимо и достаточно, чтобы для любого сколь угодно малого положительного существовал номер такой, что при всех и всех одновременно для всех выполнялось неравенство: .

Теорема 3. Пусть функции определены на множестве . Если для функционального ряда существует положительный сходящийся числовой ряд , что при любом на множестве выполняется неравенство , то ряд на множестве сходится равномерно и абсолютно.

Теорема 4. Если функциональный ряд равномерно сходится на отрезке к функции и члены ряда непрерывны на этом отрезке, то справедливо равенство: , то есть функциональный ряд можно почленно интегрировать на отрезке .

Теорема 5. Если функциональный ряд равномерно сходится на отрезке к функции и члены ряда определены и непрерывно дифференцируемы на отрезке и ряд сходится равномерно на отрезке к функции , то функция также непрерывно дифференцируема на и имеет место равенство: , то есть . Функциональный ряд можно почленно дифференцировать на отрезке .