Методические рекомендации и задания для самостоятельной работы студентов по теме "Ряды" (стр. 12 )

Отбросим в данном ряду все члены, начиная с третьего. Тогда . Имеем: , . .

Следовательно,

Рассмотрим разложение в ряд функции

С помощью этого ряда можно вычислить число , так как .

3. Известно, что существуют так называемые эллиптические интегралы, которые не берутся в конечном виде, т. е. первообразная для подынтегральной функции не может быть выражена никакой конечной комбинацией элементарных функций. С помощью степенных рядов можно находить приближенные значения следующих интегралов: , , , , , , , и т. д.

Пример 3. Найдем с точностью до 0,0001 значение интеграла .

Решение. Заменяя функцию ее степенным рядом и почленно интегрируя, находим:

.

Так как , то для получения нужной точности достаточно взять первые два члена ряда: .

4.  Степенные ряды могут быть использованы при вычислении логарифмической функции.

Воспользуемся разложением

Тогда формула для вычисления логарифмов любых чисел имеет вид:

.

Пример 4. Вычислить с точностью до 0,0001.

Решение. Рассмотрим разложение

Получим ряд Лейбница. Известно, что остаток ряда типа Лейбница не превосходит по абсолютной величине первого из отброшенных членов: . Отбросим в данном ряду все члены, начиная с третьего: .

Следовательно, .

Пример 5. Вычислить с точностью до 0,0001.

Решение. Воспользуемся разложением . Путем подбора можно определить, что достаточно взять первые четыре члена разложения

5.  Степенные ряды могут быть использованы при вычислении пределов.

Пример 6. Найдем: .

Решение. Так как , соответственно , то искомый предел равен: . Разложим функции, входящие в числитель и знаменатель этой дроби, в ряд по степеням . Имеем: , , и потому . Кроме того, .

Теперь легко найти, что .

Литература:

. Глава 4, § 17.

. Раздел 7, Глава 22, § 6,7.

Основные вопросы для повторения

1.  Каким образом используют ряды для приближенных вычислений?

2.  Какие виды разложений вы знаете?

Задания для самостоятельного решения

Вычислить с точностью до 0,0001 следующие значения:

1. ,	14. ,
2. .	15. ,
3.,	16. ,
4. ,	17. ,
5. ,	18. ,
6.,	19. ,
7.,	20. ,
8.,	21.
9. ,	22. ,
10. ,	23. ,
11. ,	24,
12. ,	25. .
13.

§9. Ряды Фурье

9.1. Периодические функции

Функция называется периодической, если существует такое постоянное Т (Т0), что для любого х, взятого из области определения функции, имеет место равенство

Простейшей периодической функцией является синусоидальная функция, часто называемая простой гармоникой, . Период этой функции равен .

Синусоидальная функция описывает гармонические колебания, которые возникают в силу ряда самых разнообразных причин.

Представим заданную периодическую функцию в виде суммы конечного или бесконечного числа слагаемых (гармоник).

Широкий класс функций можно представить бесконечным тригонометрическим рядом вида

Постоянные называются коэффициентами ряда. Свободный член записывается в виде .