Тема III – Основы математического анализа (стр. 10 )

§  Дифференциалом функции y = f(x) в точке x называется главная часть приращения функции, равная произведению производной функции на приращение аргумента и обозначается dy, т. е. .

Рассмотрим функцию у=х. Имеем: , то естьDx = dx.

Таким образом, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной, т. е.

.

Тогда, согласно данной формуле, производную функции можно записать, как отношение ее дифференциалов: .

14.2. Основные теоремы о дифференциалах

Теорема 14.1. Дифференциал суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций определяются следующими формулами: ,

,

.

Теорема 14.2. Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

если , то .

Это свойство дифференциала называют инвариантностью (неизменностью) формы первого дифференциала.

Пример. Функция y = ln cosx является сложной. Здесь y = ln u, где u = cosx. Тогда .

14.3. Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Для функции y = f(x) приращение функции Dy состоит из двух слагаемых, одно из которых является бесконечно малой более высокого порядка чем Dx, что дает нам право им пренебречь:

, т. е.

или .

Данные формулы используются для приближенных вычислений.

Пример. Вычислить приближенно e0,01.

Рассмотрим функцию . По формуле имеем: , т. е. . Так как x+Dx=0,01, то при x=0 и Dx=0,01, получаем: .

§15. Исследование функций при помощи производных

15.1. Правило Лопиталя

Для вычисления пределов часто используют следующую теорему.

Теорема 15.1. (правило Лопиталя).

Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки x0 (за исключением может быть самой точки), f(x0) = 0 и g(x0) = 0 (или ), причем в некоторой окрестности точки х0, тогда

.

Так, неопределенности вида или приводятся к неопределенностям вида с помощью алгебраических преобразований. Неопределенности вида с помощью логарифмирования сводятся к неопределенности вида . В некоторых случаях для решения задачи требуется неоднократное применение правила Лопиталя.

Примеры.

1)

.

2)

.

15.2. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях

Теорема 15.2 (Ролля).

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема в интервале (a, b) и на концах отрезка принимает одинаковые значения f(a)=f(b), то найдется такая точка , в которой производная обращается в нуль: .

Геометрически теорема Ролля означает. что на графике функции y=f(x) найдется точка, в которой касательная к графику параллельна оси Ох.

Наример, для функции на рисунке таких точек две.

Теорема 15.3. (Лагранжа).

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема в интервале (a;b), то найдется такая точка , что выполняется равенство .

Перепишем формулу Лагранжа в виде . Отношение есть угловой коэффициент секущей графика функции, проходящей через концевые точки.

Таким образом, геометрически теорема Лагранжа означает, что на графике функции найдется точка С, в которой касательная параллельна секущей АВ.

Следствие. Если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то функция постоянна на этом промежутке.

Обобщением теоремы Лагранжа является

Теорема 15. 4. (Коши).

Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a;b] и дифференцируемы в интервале (a;b), причем в этом интервале, то найдется такая точка , что выполняется равенство

.

15.3. Исследование поведения функций и построение графиков

ü  Возрастание и убывание функций

Теорема 15.5. 1) Если функция f(x), имеющая производную на отрезке [a;b], возрастает (убывает) на этом отрезке, то ее производная на отрезке [a;b]неотрицательна (неположительна), т. е. ().

2) Если функция непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема в промежутке (a;b), причем () для a<x<b, то эта функция возрастает (убывает) на [a;b].

Геометрический смысл этой теоремы в том, что касательные к графику дифференцируемой возрастающей функции образуют острые углы, а убывающей функции – тупые углы с положительным направлением оси Ox.

ü  Максимум и минимум функций.

§  Функция f(x) в точке x1 имеет максимум, если значение функции f(x) в точке x1 больше, чем ее значения во всех точках некоторой окрестности точки x1.Иначе говоря, функция f(x) имеет максимум при x = x1, если f(x1+Dx) < f(x1), при всех достаточно малых Dx.