Тема III – Основы математического анализа (стр. 5 )

Теорема 11.10. Если функция y = f(x) монотонна и ограничена при x<x0 (x>x0), то существует

( ).

11.3. Предел последовательности

§  Числовой последовательностью называется упорядоченный набор чисел

{an}: a1, a2, …, an,…

Последовательность является функцией натурального аргумента:
an=a(n), nÎN. Характерной особенностью натурального аргумента является то, что он может стремиться только к +∞. Таким образом, определения и свойства, сформулированные для пределов функций справедливы и для пределов последовательностей, но только при n®+¥.

В частности, .

11.4. Техника вычисления пределов. Примеры

Для вычисления пределов вида , где Pn(x) и Qm(x) многочлены степеней n и m, необходимо вынести за скобку в числителе xn и в знаменателе xm.

Пример 1.

.

Для вычисления пределов вида необходимо привести их к пределам вида .

Пример 2.

(В данной задаче для преобразования предела к виду использовалось приведение к общему знаменателю).

Пример 3.

(В данной задаче для преобразования предела к виду умножили и разделили на сопряженное).

Для вычисления пределов вида необходимо выяснить, определена ли функция при x=x0. Если x=x0 принадлежит области определения функции , то .

Пример 4. .

Если g(x0)=0 и , то.

Пример 5. .

При g(x0)=0 и f(x0)=0, т. е. если , необходимо (в случае f(x)=Pn(x) и g(x)=Qm(x)) разделить числитель и знаменатель на (x-x0).

Пример 6. .

Пример 7.

.

11.5. Первый замечательный предел

Рассмотрим функцию . Она не определена при x=0, так как числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. Однако можно заметить, что если , то значения функций y=x и y=sinx приблизительно одинаковые. Это можно увидеть на представленном ниже рисунке и сравнить значения в таблице.

x
y=x	0,785	0,523	0,17	0,017
y=sinx	0,71	0,5	0,17	0,017

Чем ближе , тем больше y=x и y=sinx схожи в значениях. Таким образом, можно заключить, что при функция .

Для доказательства этого рассмотрим единичную окружность. Пусть . , AB=sinx, DC=tgx.

Так как , то sinx<x<tgx.

Разделим данное неравенство на sinx. Знак неравенства при этом не изменится, поскольку x лежит в I четверти. Получим:

.

Следовательно,. Воспользуемся теоремой о пределе промежуточной функции. Поскольку при функция и , тогда при .

Итак,

Эта формула называется первым замечательным пределом.

11.6. Эквивалентные функции

§  Если , где α(x) и β(x) БМФ, то α(x) называется эквивалентной к β(x) при , пишут .

Таким образом, поскольку функции y=x и y=sinx являются бесконечно малыми при , то они являются эквивалентными при , т. е. .

Теорема 11.11. Предел отношения двух бесконечно малых не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей БМФ.

Примеры.

1)

2) . В данном случае заменить невозможно, поскольку функция y=sin3x не является бесконечно малой при .

§  Вообще говоря, если α(x) и β(x) БМФ при , то:

1.  если , то ;

2.  если существует конечный предел , то α(x) и β(x) – БМФ одного порядка малости;

3.  если , то α(x) – БМФ более высокого порядка малости, чем β(x);