Тема III – Основы математического анализа (стр. 7 )

Теорема 12.2. Пусть функция u = φ(x) непрерывна в точке х0, а функция y = f(u)непрерывна в точке u0 = φ(x0). Тогда сложная функция f(φ(x))непрерывна в точке х0.

Теорема 12.3. Функция, обратная для непрерывной монотонной функции также непрерывна и монотонна.

Теорема 12.4 (Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

Теорема 12.5 (Больцано-Коши). Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке
[a, b] и принимает на его концах неравные значения f(a)=A, F(b)=B, то на этом отрезке она принимает все промежуточные значения между A и B.

12.3. Классификация точек разрыва

Пусть x = x0 точка разрыва функции y = f(x).

§  Точка x = x0 называется точкой устранимого разрыва первого рода, если
f(x0–0) = f(x0+0) = A ≠∞.

§  Точка x = x0 называется точкой неустранимого разрыва первого рода, если f(x0–0) = A ≠∞, а f(x0+0) = B ≠∞., причем A≠B.

§  Точка x = x0 называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов (справа или слева) не существует или равен бесконечности.

§13. Производная функции

13.1. Приращение аргумента и приращение функции

Рассмотрим функцию y = f(x). Пусть x – некоторое значение аргумента, f(x) – соответствующее значение функции. Перейдем от значения x к другому значению аргумента x1. Разность x – x1 обозначим через Dx и назовем приращением аргумента.

Значению аргумента x1 = x + Dx соответствует значение функции, f(x+Dx). Разность f(x+Dx)–f(x) называется приращением функции в точке x, соответствующим приращению аргумента Dx, и обозначается Dy:

Dy = f(x+Dx) – f(x).

13.2. Определение производной функции в точке

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x. Дадим аргументу x приращение Dx (при этом предполагается, что точка x+Dx принадлежит области определения функции). Тогда функция получит приращение Dy=f(x+Dx)–f(x).

§  Производной функции f(x) в точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если этот предел существует и конечен.

Производная функции y = f(x) в точке x обозначается символами . Итак, по определению

.

Как следует из определения, производная функции f(x) в точке x есть число, зависящее от рассматриваемого значения x (но не зависящее от Dx). Рассматривая производную функции f(x) в различных точках x мы будем получать, вообще говоря, различные значения. Таким образом, производная является функцией переменной x, определенной в области определения функции f(x) или в части этой области.

13.3. Геометрический смысл производной

Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку M0. Возьмем на кривой точку M1 и проведем секущую M0M1. Если точка M1 неограниченно приближается по кривой к точке M0, то секущая M0M1 принимает различные положения. Предельное положение данной секущей – касательная.

Рассмотрим функцию y = f(x).

Пусть M0(x0; y0),

M1(x0+Dx; y0+Dy),

M0M1 – секущая, . Если M1 неограниченно приближается к M0, то . Тогда

.

Следовательно, значение производной при данном значении аргумента x равняется тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси Ox касательной к графику функции f(x) в соответствующей точке M0(x0; y0).

Вспомнив вид уравнения прямой на плоскости с угловым коэффициентом, мы можем написать уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке касания (х0, у0), где y0 = f(x0):

13.4. Физический смысл производной

Пусть материальная точка движется неравномерно по прямой. Каждому моменту времени t соответствует определенное расстояние S от этой точки до некоторой фиксированной точки прямой. Это расстояние зависит от времени: S=S(t).

Как известно, отношение приращения расстояния DS ко времени Dt, за которое произошло это перемещение, выражает среднюю скорость точки: .

Предел средней скорости движения при стремлении к нулю промежутка времени Dt называется мгновенной скоростью:

.

Таким образом, скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная от пути по времени: .

Вообще, если функция y = f(x) описывает какой-либо физический процесс, то производная у´ есть скорость протекания этого процесса.

Пример 1. Скорость химической реакции.

Пусть дана функция m = m(t), где m – количество некоторого вещества, вступившего в химическую реакцию к моменту времени t. Приращению времени Dt будет соответствовать приращение Dm величины m. Отношение – средняя скорость химической реакции за промежуток времени Dt. Предел этого отношения при стремлении Dt к нулю, т. е. есть скорость химической реакции в данный момент времени.

Пример 2. Рост популяции

Пусть p = p(t) – размер популяции бактерий в момент времени t, тогда Dp изменение размера популяции за время Dt. Отношение – средняя скорость изменения размера популяции за время Dt. Следовательно, – скорость роста популяции в данный момент времени .

Таким образом, на основании приведенных выше примеров можно заключить, что производная есть скорость изменения функции.

13.5. Дифференцируемость функций

§  Если функция y = f(x) имеет производную в точке x = x0, т. е. если существует , то мы говорим, что при данном значении x = x0 функция дифференцируема или имеет производную.

§  Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого интервала (a;b), то она называется дифференцируемой на интервале (a;b).

Теорема 13.1. Если функция y = f(x) дифференцируема в некоторой точке, то она в этой точке непрерывна.